圆中常见的辅助线

圆中常见辅助线的做法一．遇到弦时（解决有关弦的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC=BD证明:过O作OE⊥AB于E∵O为圆心，OE⊥AB∴AE=BECE=DE∴AC=BD练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10cm，PA=4cm.求⊙O的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：证明：（一）连结OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点∴OM=AO、ON=BO∵OA=OB∴OM=ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC=OD∴Rt△COM≌Rt△DON∴∠COA=∠DOB∴（二）连结AC、OC、OD、BD∵M、N分别是AO、BO的中点∴AC=OCBD=OD∵OC=OD∴AC=BD∴有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM证明：连结OM、ON∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点∴OM⊥ABON⊥CD∵AB=CD∴OM=ON∴∠OMN=∠ONM∵∠AMN=90o－∠OMN∠CNM=90o－∠ONM∴∠AMN=∠CNM证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2于A、C、D、B.求证：AC=BD证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N∴∵O1P=O2P∴O1M=O2N∴AC=BD二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径⑵连结等弧所对的弦⑶连结等弧所对的圆心角例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD=CE证明：连结OC∵C为弧AB的中点∴∴∠AOC=∠BOC∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO=BO∴OD=OE=AO=BO又∵OC=OC∴△ODC≌△OEC∴CD=CE有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC=DC证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP=90o∵AC=PC∴AC=CD=AP例（2005年自贡市）如图2，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且。求证：PA是⊙O的切线。证明：作⊙O的直径AD，连BD，则即∴∵∴即∴PA为⊙O的切线。 四．遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90o,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：五.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD=∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD=CE，∠1=∠2，求证：AB=AC（提示如图）六.有弦中点时，常构造三角形中位线.例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=AD证明：作直径CF，连结DF、BF∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴∴AD=BF∵OE⊥BCO为圆心CO=FO∴CE=BE∴OE=BF∴OE=AD七.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，求证：AB·AC=AD·AE证明：连结BE∵∠1=∠3∠2=∠1∴∠3=∠2∵四边形ACBE为圆内接四边形∴∠ACD=∠E∴△ABE∽△ADC∴∴AB·AC=AD·AE八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证：CE∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF=∠C同理可证：∠ABE=∠D∵∠ABF＋∠ABE=180o∴∠C＋∠D=180o∴CE∥DF九.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例1：如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.求证：PA、PB为⊙O的切线证明：连结OA∵PO为直径∴∠PAO=90o∴OA⊥PA∵OA为⊙O的半径∴PA为⊙O的切线同理：PB也为⊙O的切线例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F∵OE为半径，AB为小圆的切线∴OE⊥AB∵OF⊥CD,AB=CD∴OF=OE∴CD为小圆的切线练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E,求证：PE是⊙O的切线十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求AD长.解：连结OE，则OE⊥AC∵BC⊥AC∴OE∥BC∴在Rt△ABC中，AB=∴∴OE=OB=∴BD=2OB=∴AD=AB－DB=15－=答：AD的长为.练习：如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC=CD十一． 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。十二．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①   内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②   内心到三角形三条边的距离相等。在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。十三．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。十四．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：①利用切线的性质；②   利用解直角三角形的有关知识。十五．遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；②利用圆内接四边形的性质；③利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。1.作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。例1.如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线CD、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。求证：CE＝DF。图1分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。证明：连结AB因为又所以即CE//DF又CD//EF所以四边形CEFD为平行四边形即CE＝DF2.作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。例2.⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。求的度数。图2分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的度数，可利用角的和或差来求解。解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。连结O1、O2，交AB于C，则。分别在和中，利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3则综上可知或例2：已知，⊙O1与⊙O2交于A、B，⊙O1的弦AC切⊙O2于A，过B作直线交两圆于D、E。求证：DC∥AE。分析:由口诀“两个相交圆不离公共弦”,连结AB,可得∠D=∠CAB,由切线知∠CAB=∠E,即∠D=∠E即得证。练习：如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点。经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D；经过点B的直线EF于⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF.例、如图8，在梯形ABCD中，以两腰AD、BC分别为直径的两个圆相交于M、N两点，过M、N的直线与梯形上、下底交于E、F。求证：MN⊥AB。分析：因为MN是公共弦，若作辅助线O1O2，必有MN⊥O1O2，再由O1O2是梯形的中位线，得O1O2//AB，从而易证MN⊥AB。证明连结O1O2交EF于G=>MN⊥O1O2。DO1=O1A，CO2=O2B=>O1O2是梯形ABCD的中位线=>O1O2//AB=>∠EFA=∠EGO1=Rt∠=>MN⊥AB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。遇到两圆相切时两个相切圆不离公切线常常作连心线、公切线。作用：①利用连心线性质；②弦切角性质；③切线性质等。例3.如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。求证PC平分。图4分析：要证PC平分，即证而的边分布在两个圆中，难以直接证明。若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一个外角所以又从而有即PC平分例3:已知,⊙O1和⊙O2外切于A,直线BC切⊙O1于B,切⊙O2于C。求证：AB⊥AC(人教版课本P87例4）分析1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过A作两圆的公切线,则∠1=∠2,∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4=180,则∠2+∠3=90即AB⊥AC。分析2：口诀“两圆三圆连心线”，连结O1O2、O1B、O2C,则点A在O1O2上,易知O1B∥O2C,显然∠1+∠2=90,故AB⊥AC1.相切两圆常添公切线作辅助线.例2如图2,已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D.(1)求证:PC平分∠BPD;(2)将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的 结论 圆锥曲线的二级结论椭圆中二级结论圆锥曲线的二级结论圆锥曲线的二级结论探究欧姆定律实验步骤 是否仍然成立？画出图形并证明你的结论(武汉市中考题）.证明:(1)过P点作两圆公切线PQ∵∠QPC=∠PCQ,∠QPB=∠A,∠CPD=∠A+∠QCP，∴∠CPD=∠CPB,即PC平分∠BPD(2)上述结论仍然成立.如图3,过点P作两圆公切线PM,则∠MPB=∠A.∴∠BPC=∠MPC－∠MPB=∠BCP－∠A=∠CPA,∴PC平分∠BPD.说明:作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角.2、遇到三个圆两两外切时两圆三圆连心线常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线例3如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是_____________(辽宁省中考题).解:连O1O2、O2O3、O3O1，过O1作AO1⊥O2O3交⊙O1于A，交O2O3于B∵⊙O1、⊙O2、⊙O3是等圆,∴△O1O2O3是等边三角形.说明:三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题. 十七．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。例5.如图6，⊙O1与⊙O2外切于点O，两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A，且其夹角为，，求两圆的半径。图6分析：如图6，连结O1O2、O1A、O2B，过点O2作，构造，下面很容易求出结果。十八．相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，常用的辅助线是连结过交点的半径例10如图10，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且O2在⊙O1上，点P在⊙O1上，点Q在⊙O2上，若∠APB=40°，求∠AQB的度数。分析连结O2A、O2B，在⊙O1中利用圆内接四边形性质求得∠AO2B=140°，在⊙O2中，∠AQB=1/2∠AO2B=70°。切点三角形是直角三角形的应用.例4如图5,⊙O1与⊙O2外切于点C,⊙O1与⊙O2连心线与公切线交于P,外公切线与两圆切点分别为A、B,且A=4,BC=5.(1)求线段AB长；(2)证明：PC2=PA•PB.(2002年杭州市中考题)解：(1)过C作两圆公切线CQ,交AB于Q∵QA=QC=QB=AB∴∠ACB=90°∵AC=4BC=5∴AB=(2)∵∠ACB=90°∴∠PCA+∠1=90°,∠PBC+∠2=90°,从而∠PCA=∠PBC.∵∠P=∠P,∴△PCA∽△PBC∴PC2=PA•PB说明:A、B、C为切点，故有切点三角形为直三角形的重要结论，应用此结论解题能到事半功倍效果.辅助线，莫乱添，规律方法记心间；弦和弦心距，亲密紧相连；切点与圆心连线要领先；两个相交圆不离公共弦；两个相切圆不离公切线；两圆三圆连心线，四点是否有共圆；直角相对或共弦，应当想想辅助圆；要证直线是切线，还看是否有共点；直线和圆有共点，连出半径辅助线；直线和圆无共点，得过圆心作垂线；若遇直径想直角，灵活运用才方便。���������������CDEMNGABO2O1F图8ADQO2O1CB图2ADPO1CB图3MP图4AO1O2O3BPAQBO2O1.图10PAQBO1O2C12图5_1234567921.bin_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567953.unknown_1234567955.unknown_1234567957.unknown_1234567958.unknown_1234567956.unknown_1234567954.bin_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.bin_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.bin_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.bin_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown