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B选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算专题强化练1 空间向量的运算1.(2020山东德州一中模拟)P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1上一点,则PA·PC1的取值范围是( )A.-1,-14B.-12,-14C.[-1,0]D.-12,02.(2021上海模拟预测)设向量u=(a,b,0),v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,则下列判断错误的是( )A.向量v与z轴正方向的夹角为定值(与c,d的值无关)B.u·v的最大值为2C.u与v夹角的最大值为3π4D.ad+bc的最大值为13.(多选)(2020福建三明一中期末)在四面体P-ABC中,下列说法正确的是( )A.若AD=13AC+23AB,则BC=3BDB.若Q为△ABC的重心,则PQ=13PA+13PB+13PCC.若PA·BC=0,PC·AB=0,则PB·AC=0D.若四面体P-ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则|MN|=14.(2021浙江湖州期中)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,BC=4,SA⊥平面ABCD,若BC边上存在点P,使得SP⊥DP,则线段AB长度的最大值是 . 5.(2020河北衡水第二中学期末)如图,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,且AB=4,SA=3,E,F分别为线段BC,SB上的一点(不包含端点),满足SFBF=CEBE=λ,则当实数λ的值为 时,∠AFE为直角. 6.(2020浙江绍兴期末)已知OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2,M为OB的中点,点N在AC上,AN=2NC.(1)求MN的长;(2)若点P在线段BC上,设BPPC=λ,当AP⊥MN时,求实数λ的值.
答案
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与分层梯度式解析第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算专题强化练1空间向量的运算1.D 以D为原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(1,0,0),C1(0,1,1).设点P的坐标为(x,y,z),由题意可得0≤x≤1,0≤y≤1,z=1,∴PA=(1-x,-y,-1),PC1=(-x,1-y,0),∴PA·PC1=-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y=x-122+y-122-12,∴当x=y=12时,PA·PC1取得最小值,最小值为-12;当x=0或x=1,且y=0或y=1时,PA·PC1取得最大值,最大值为0.故PA·PC1的取值范围是-12,0.故选D.
方法
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点睛 建立空间直角坐标系,用坐标法研究向量的数量积,最后转化为利用二次函数求最值问题.2.B A中,设z轴正方向的方向向量为z=(0,0,t),t>0,设向量v与z轴正方向的夹角为α,则cosα=z·v|z|·|v|=tt·c2+d2+1=22,∴α=45°,∴向量v与z轴正方向的夹角为定值45°(与c,d的值无关),故A正确;B中,u·v=ac+bd≤a2+c22+b2+d22=a2+b2+c2+d22=1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此u·v的最大值为1,故B错误;C中,∵|u·v|≤1,∴-1≤u·v≤1,∴cos
=u·v|u|·|v|=ac+bda2+b2·c2+d2+1≥-11×2=-22,∴u与v的夹角的最大值为3π4,故C正确;D中,ad+bc≤a2+d22+b2+c22=a2+b2+c2+d22=1,当且仅当a=d,b=c时取等号,∴ad+bc的最大值为1,故D正确.3.ABC 对于A,∵AD=13AC+23AB,∴3AD=AC+2AB,∴2AD-2AB=AC-AD,∴2BD=DC,∴3BD=BD+DC,即3BD=BC,故A正确;对于B,若Q为△ABC的重心,则QA+QB+QC=0,∴3PQ+QA+QB+QC=3PQ,∴3PQ=PA+PB+PC,即PQ=13PA+13PB+13PC,故B正确;对于C,若PA·BC=0,PC·AB=0,则PA·BC+PC·AB=0,∴PA·BC+PC·(AC+CB)=0,∴PA·BC+PC·AC+PC·CB=0,∴PA·BC+PC·AC-PC·BC=0,∴(PA-PC)·BC+PC·AC=0,∴CA·BC+PC·AC=0,∴AC·CB+PC·AC=0,∴AC·(CB+PC)=0,∴AC·PB=0,故C正确;对于D,∵MN=PN-PM=12(PB+PC)-12PA=12(PB+PC-PA),∴|MN|=12|PA-PB-PC|.∵|PA-PB-PC|2=PA2+PB2+PC2-2PA·PB-2PA·PC+2PB·PC=22+22+22-2×2×2×12-2×2×2×12+2×2×2×12=8,∴|MN|=2,故D错误.故选ABC.4.答案 2解析 如图,以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,设AB=a,BP=x,SA=m,则A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,4,0),P(a,x,0),S(0,0,m),所以SP=(a,x,-m),DP=(a,x-4,0).因为SP⊥DP,所以SP·DP=0,即a2+x(x-4)=0,所以a2=-x(x-4)=-(x-2)2+4≤4,当x=2,即BP=2时,a2取得最大值4,所以a的最大值为2,即线段AB长度的最大值是2.5.答案 916解析 ∵SA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,∴可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.∵AB=4,SA=3,∴B(0,4,0),S(0,0,3).设BC=m,则C(m,4,0).∵SFBF=CEBE=λ,∴SF=λFB.∴SA+AF=λ(FA+AB),∴AF=11+λAS+λ1+λAB,∴F0,4λ1+λ,31+λ.同理,Em1+λ,4,0,∴FE=m1+λ,41+λ,-31+λ.要使∠AFE为直角,则AF⊥EF,即FE·FA=0,又∵FA=0,-4λ1+λ,-31+λ,∴m1+λ×0+41+λ×-4λ1+λ+-31+λ2=0,∴16λ=9,∴λ=916.故当λ=916时,∠AFE为直角.6.解析 (1)以O为坐标原点,OA,OB,OC所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3).由M为OB的中点,点N在AC上,AN=2NC,可得M(0,1,0),N(1,0,2),∴|MN|=(0-1)2+(1−0)2+(0−2)2=6.(2)设P(0,y,z),∵BPPC=λ,∴BP=λPC,即(0,y-2,z)=λ(0,-y,3-z),由此可得P0,21+λ,3λ1+λ.∵AP⊥MN,∴AP·MN=0,即-3,21+λ,3λ1+λ·(1,-1,2)=0,∴-3-21+λ+6λ1+λ=0,解得λ=53.
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