圆锥曲线用一个平面去截取一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆。改变上述平面的位置，观察截得的图形的变换情况。问题：平面截得圆锥面还能得到哪些不同曲线？MQF2PO1O2VF1古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切〔切点分别为F1，F2〕，又分别与圆锥面的侧面相切〔两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2〕．过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，MF1+MF2＝MP+MQ＝PQ＝定值MQF2PO1O2VF1如图，两个球都与圆锥面相切，切点轨迹分别是⊙O1和⊙O2；同时两球分别与截面切于点F1、F2．设M是截线上任意一点，那么MF1、MF2是由点M向两个球所作的切线的长，又圆锥过点M的母线与两球分别切于P、Q两点．|MF2－MF1|＝|MQ－MP|＝QP(常数)AMF＝MP＝MN如图，球与圆锥面相切，切点轨迹是⊙O，同时球与截面切于点F．设M是截线上任意一点，那么MF是由点M向球所作的切线的长，又圆锥过点M的母线与球切于点P．设⊙O所在的平面为α，MH⊥α于H，截面与平面α交于l，HN⊥l于N，那么MN⊥l．1、推导说明(1)中截法中，截线上任意一点到两个定点的距离的和等于常数。2、椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．说明：假设动点M到的距离之和为2a，|F1F2|=2c那么当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆;当a=c>0时，动点M的轨迹是线段F1F2；当0<a<c时，动点M无轨迹3、双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．说明：假设动点M到两定点的距离之差的绝对值为2a，|F1F2|=2c当c>a>0时，动点M的轨迹是双曲线;当a=c>0时，动点M的轨迹是两条射线；当0<c<a时，动点M无轨迹抛物线的定义：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线说明：(1)点F不能在直线l上，否那么其轨迹是过点F且与l垂直的直线(2)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点和一条准线圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线例1、试用适当的方法作出以两个定点F1、F2为焦点的一个椭圆。例2、曲线上的点到两个定点F1(-5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于①6②10③12满足条件的曲线假设存在，是什么样曲线？假设不存在，请说明理由例3、到定点F(1,1)和定直线l：x+y-2=0的距离相等的点的轨迹是什么？例4.(课本P24练习2)定点F和定直线l,点F不在直线l上,动圆M过F点且与直线l相切,求证:圆心M的轨迹是一条抛物线.练习1.24习题中,B(-3,0),C(3,0),且AB,BC,AC成等差数列.(1)求证:点A在一个椭圆上运动;(2)写出这个椭圆的焦点坐标.习题2.ΔABC中,BC的长为6,周长为16,那么顶点A在怎样的曲线上运动?
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