克拉默法则及习题课会计学1克拉默法则及习题课证明：1)存在性。Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj=把代入第j(j=1,2,…,n)个方程，得故是方程组的解。克拉默法则证明，存在性机动目录上页下页返回结束第1页/共44页克拉默法则证明，唯一性2)唯一性设(c1,c2,…,cn)是方程组的一个解，则得所以方程组有唯一解。左端相加右端相加从而ckD=Dk机动目录上页下页返回结束第2页/共44页例19解线性方程组解机动目录上页下页返回结束第3页/共44页机动目录上页下页返回结束第4页/共44页于是得机动目录上页下页返回结束第5页/...
会计学1克拉默法则及习题课证明：1)存在性。Dj=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj=把代入第j(j=1,2,…,n)个方程，得故是方程组的解。克拉默法则证明，存在性机动目录上页下页返回结束第1页/共44页克拉默法则证明，唯一性2)唯一性设(c1,c2,…,cn)是方程组的一个解，则得所以方程组有唯一解。左端相加右端相加从而ckD=Dk机动目录上页下页返回结束第2页/共44页例19解线性方程组解机动目录上页下页返回结束第3页/共44页机动目录上页下页返回结束第4页/共44页于是得机动目录上页下页返回结束第5页/共44页程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.机动目录上页下页返回结束第6页/共44页定理4如果线性方程组克拉默法则可叙述为下面的重要定理.式D0,则(8)一定有解,且解是唯一的.二、线性方程组有解的条件定理4的逆否命题为定理4′如果线性方程组(8)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零的系数行列机动目录上页下页返回结束第7页/共44页(9)当全为零时，即称（9）式为齐次线性方程组。一定是（9）式的解——零解。若有一组不全为零的数是（9）式的解——非零解。定理5如果齐次线性方程组（9）的系数行列式D≠0，则（9）式没有非零解（有唯一零解）。定理5’如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数行列式必为零。对于线性方程组（8）右端的常数项线性方程组（8）叫做非齐次线性方程组；不全为零时，机动目录上页下页返回结束第8页/共44页解例20问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解？（10）由定理5’知，要使（10）有非零解，则其系数行列式D=0。得、或。机动目录上页下页返回结束第9页/共44页典型例题主要内容机动目录上页下页返回结束第一章行列式习题课第10页/共44页１ 全排列机动目录上页下页返回结束一行列式定义1.二阶三阶行列式的对角线法则2.n阶行列式的定义注意:逆序数的求法第11页/共44页６ n阶行列式的性质机动目录上页下页返回结束 二.行列式的计算1.利用定义法2.利用性质(6条性质)（如化三角形行列式）3.利用展开定理(降阶法）4.利用已知结果（如范德蒙行列式）5.利用加边法（升阶法）6.利用递推公式法7.利用数学归纳法第12页/共44页注意：代数余子式的重要性质：第13页/共44页关于代数余子式的重要性质机动目录上页下页返回结束三.克拉默法则克拉默法则的理论价值定理5如果齐次线性方程组（9）的系数行列式D≠0，则（9）式没有非零解（有唯一零解）。定理5’如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数行列式必为零。第14页/共44页典 型 例 题一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式三、克拉默法则机动目录上页下页返回结束典 型 例 题第15页/共44页一、计算排列的逆序数（例１）解例１机动目录上页下页返回结束一、计算排列的逆序数第16页/共44页机动目录上页下页返回结束于是排列的逆序数为当为奇数时，排列为奇排列．当为偶数时，排列为偶排列．第17页/共44页二、计算（证明）行列式１ 用定义计算（证明）１ 用定义计算例２ 用行列式定义计算机动目录上页下页返回结束二、计算（证明）行列式第18页/共44页例２解解机动目录上页下页返回结束第19页/共44页２ 利用范德蒙行列式计算２ 利用范德蒙行列式计算例3 计算 利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。机动目录上页下页返回结束第20页/共44页例４解解机动目录上页下页返回结束第21页/共44页 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知机动目录上页下页返回结束第22页/共44页３ 用化三角形行列式计算３ 用化三角形行列式计算例4 计算机动目录上页下页返回结束第23页/共44页解机动目录上页下页返回结束例５解第24页/共44页提取第一列的公因子，得机动目录上页下页返回结束第25页/共44页机动目录上页下页返回结束第26页/共44页４ 用降阶法计算４ 用降阶法计算例5 计算解机动目录上页下页返回结束第27页/共44页机动目录上页下页返回结束第28页/共44页机动目录上页下页返回结束第29页/共44页机动目录上页下页返回结束第30页/共44页5 用递推法计算（例7）5 用递推法计算例6 计算解机动目录上页下页返回结束第31页/共44页机动目录上页下页返回结束化下三角形行列式按第一列展开第32页/共44页机动目录上页下页返回结束由此递推，得第33页/共44页如此继续下去，可得机动目录上页下页返回结束第34页/共44页6扩充行列式例8机动目录上页下页返回结束6 用加边(升阶)法计算例7 计算第35页/共44页机动目录上页下页返回结束把第1列的-1倍加到其余各列把第i行的倍加到第一行第36页/共44页机动目录上页下页返回结束第37页/共44页７ 用数学归纳法（例９）７ 用数学归纳法例8 证明机动目录上页下页返回结束第38页/共44页例９证明证对阶数n用数学归纳法机动目录上页下页返回结束第39页/共44页机动目录上页下页返回结束第40页/共44页小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．小结机动目录上页下页返回结束第41页/共44页 当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克拉默法则．三、克拉默法则机动目录上页下页返回结束解设所求的二次多项式为由题意得第42页/共44页由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为机动目录上页下页返回结束第43页/共44页
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