例说高考中直线与圆方程题目的分类解析剖析

例说高考中直线与圆方程 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目的分类解析（教师）考点 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 高考对解析几何的考查一般是三个小题一个大题，所占分值约３０分。其规律是线性规划、直线与圆各一个小题，涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质的问题一个小题，直线与圆锥曲线的综合问题一个大题。解析几何的重点仍然是圆锥曲线的性质，包括：直线的倾斜角、斜率、夹角、距离、平行垂直、点对称、直线对称、线性规划有关问题等等。直线和圆锥曲线的位置关系以及轨迹问题，仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。坐标法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。相关交汇试题应运而生，涉及圆锥曲线参数的取值范围问题也是命题亮点。知识要点1、直线的倾斜角、斜率（1）k=tanα，α∈[0，由正切 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 可知，当α∈（0，），α递增时，斜率k→+∞。当α∈（，π），α递减时，斜率k→-∞。当涉及到斜率参数时，通常对k是否存在分类讨论。（2）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（3）应用：证明三点共线：。2、直线方程 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。确定直线方程需要有两个互相独立的条件，本质是确定方程中的两个独立系数(一点和斜率：在x轴上的截距和斜率、两点、在两坐标轴上的截距).设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为.3、两条直线平行与垂直，两条直线所成的角和点到直线的距离 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设(1)则或(2)到的角是指直线绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角，且tan=()；与相交,则，其夹角公式为，其中k1，k2分别表示1及2斜率，当1或2斜率不存在时，画图通过三角形求解，1与2夹角为θ∈（0，](3)与重合,则或(4)则；若直线和的方向向量（5）点到直线的距离；（6）两平行线（C1≠C2）间的距离为。4、对称（中心对称、轴对称和特殊点对称）问题此为高考的热点问题，一般包括点关于点、曲线关于点、点关于直线、曲线关于直线的对称，除掌握通法外，还应记住一些常用的结论.（1）曲线关于点对称曲线的方程是（2）曲线关于直线的对称曲线的求法（代入法）①设所求曲线上任意一点关于直线的对称点是，由求出；②把点代入方程即为所求曲线.5、曲线和方程、与圆有关的轨迹问题.圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。6、圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程、一般方程和参数方程确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法。圆方程常见形式：①标准式；②一般式；③参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的参数式为：x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；。圆的参数方程，沟通了这一知识与三角函数之间的联系。7、两圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含。圆与圆的位置关系主要研究两个方面，一是用几何方法判断圆与圆的位置关系；二是对应位置关系下的简单的几何特征如切线或弦长．8、综合问题此类题难度较大，一般以解答题形式出现，要注意数形结合的思想，利用圆的几何性质简化解题过程。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法）。（1）直线与圆的位置关系直线：和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切；②几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。（2）圆的切线与弦长：切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。④切线长：（3）直线被圆截得弦长的求法：①几何法：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②代数法：设直线与圆相交于两点.将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于的方程，求出，则（4）圆与圆锥曲线的交汇题目类型及解题策略一、有关直线的倾斜角、斜率问题例1（2010重庆理）直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为A.B.C.D.解析：数形结合由圆的性质可知，故高考怎样考？1.（2008安徽文理）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（C）A.B.C.D.2.（2010江西理）直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是A.B.C.D.解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得；解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A3.（2009全国卷Ⅰ文）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是①②③④⑤其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写①或⑤4.（2006全国Ⅱ）过点（1，）的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=5.（2008宁夏海南文）已知直线和圆.（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：（Ⅰ），∴当k≠0时，解得且k≠0又当k＝0时，m＝0，方程有解，所以，综上所述（Ⅱ）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．设直线与圆交于A，B两点，则∠ACB＝120°．∵圆，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．故有，整理得．∵，∴无实数解．因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．二、直线方程例2已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为解析：由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。高考怎样考？1．（07天津）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．2.（2008四川文理）将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为（A）A.B.C.D.解析：旋转则与原直线垂直，故旋转后斜率为．再右移1得．3.（2008广东文）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（C）A.x＋y＋1＝0B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0D.x－y－1＝04.（2008重庆理）直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为．答案：x－y＋1＝0三、与两条直线的位置有关问题例3（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是________解析：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）.高考怎样考？1.（07安徽文）若圆的圆心到直线的距离为,则的值为（Ｃ）A.-2或2B.C.2或0D.-2或02（2008福建文）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的（C）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.（2010上海文）圆的圆心到直线的距离解析：圆心（1,2）到直线距离为4.（2011年浙江文)若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______解析：，即四、对称问题例4(2011年福建理)已知直线l：y=x+m，m∈R。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。解法一：（I）依题意，点P的坐标为（0，m）因为，所以，解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径故所求圆的方程为（II）因为直线的方程为所以直线的方程为由，（1）当时，直线与抛物线C相切（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。解法二：（1）所求圆半径为，则圆方程为可设为依题意，所求圆与直线相切于，则解得，所以所求圆的方程为高考怎样考？1.（07浙江理）直线关于直线对称的直线方程是（）答案DA.B.C.D.2.（2009宁夏海南文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A.+=1；B.+=1；C.+=1；D.+=1解析：设圆的圆心为，则依题意，有，解得：对称圆的半径不变，为1，故选B。.3.若圆关于直线对称，则的取值范围是()A.B.C.D.解：由条件可知直线过圆心，所以，即,所以.故选A.4.（2010湖南文）若不同两点的坐标分别为，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为-1,圆关于直线对称的圆的方程为5.（2011年山东文)在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.解：（Ⅰ）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,由韦达定理得:=,,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点.（ⅱ）假设点关于轴对称，则有的外接圆的圆心在轴上，又在线段的中垂线上.由（i）知点，所以点，又因为直线过定点，所以直线的斜率为，又因为，所以解得或1，又因为，所以舍去，即，此时，的中垂线为，圆心坐标为，圆半径为，圆方程为.综上所述，点关于轴对称，此时的外接圆的方程为五、曲线和方程、与圆有关的轨迹问题.例5（2011陕西理）如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．解：（1）设点M的坐标是，P的坐标是，因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且，所以，且，∵P在圆上，∴，即C的方程是．（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，，将直线方程代入C的方程得：，化简得，∴，，所以线段AB的长度是：，即所截线段的长度是高考怎样考？1.（2011广东文）设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（D）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆2.（07四川理）已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是3.(2011年广东理)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.解：（1）：设C的圆心的坐标为，由题设条件知化简得L的方程为（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得解得故与交点为因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故，若P不在直线MF上，在中有故只在T1点取得最大值2。六、圆的标准方程、一般方程和参数方程例6.（07全国文理)在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即．得圆的方程为．（2）不妨设．由即得．设，由成等比数列，得，即．，由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．高考怎样考？1.（2008山东文）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（B）A.B.C.D.2.（2009辽宁文）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（）A.B.C.D.解析：圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径EQ\r(2)即可.3.（07山东文）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是．4.（2010天津文）已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为。解析：令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为5.（2010广东理）已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是解析：．设圆心为，则，解得．6.（07广东文）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求圆的方程；(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解:(1)设圆C的圆心为(m,n)则解得所求的圆的方程为(2)由已知可得，椭圆的方程为,右焦点为假设存在Q点使,整理得代入得:,因此不存在符合题意的Q点.7.（2011年福建文)如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.解：（I）由得()因为直线与抛物线C相切,所以,解得.（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.8.（2011年全国新课标文)在平面直角坐标系中，曲线坐标轴的交点都在圆C上，（1）求圆C的方程；（2）如果圆C与直线交于A,B两点，且，求的值。解：（Ⅰ）曲线与轴交点为，与轴的交点为因而圆心坐标为则半径为，所以圆方程是（Ⅱ）设点满足解得：,点评：本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用，要对每一点熟练把握。七、两圆的位置关系：例7.（2009四川卷理）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是解析：由题知，且，又，所以有，∴。高考怎样考？1．（2008重庆理科）圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是（B）A．相离B．相交C．外切D．内切2.（2009天津理）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________。解析：由知的半径为，由图可知解之得3.（2009四川卷理）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是解析：由题知，且，又，所以有，∴。八、综合问题：此类题难度较大，一般以解答题形式出现（1）直线与圆的位置关系、切线与弦长例8-1.（2009江西卷文）如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆,其中为椭圆的左顶点.（1）求圆的半径;（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切．解:（1）设，过圆心作于,交长轴于由得,即(1)而点在椭圆上,(2)由(1)、(2)式得,解得或（舍去）(2)设过点与圆相切的直线方程为:(3)则,即(4)解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为:即则圆心到直线的距离故结论成立.高考怎样考？1．（07湖北理）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）ＡA．60条B．66条C．72条D．78条2．（2008辽宁文理）圆与直线没有公共点的充要条件是（C）A.B.C.D.3．（2008陕西文理）直线与圆相切，则实数等于（C）A.或B.或C.或D.或4.（2010全国Ⅰ理）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）A.B.C.D.解：设，则，，当且仅当，即时取等号，故选D5.（2011年重庆理）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（）A.B.C.D.解析：由题意，AC为直径，设圆心为F，则,圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线BD的方程为，F到BD的距离为，由此得，所以四边形ABCD的面积为6.（2009全国卷Ⅱ文）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于答案：解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。7.（2010北京文）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（Ⅱ）由题意知由得，所以圆P的半径为，解得，所以点P的坐标是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以，设，则.当，即，且，取最大值2.（2）圆与圆锥曲线的交汇1、人们把放大镜叫作凸透镜（边沿薄、中间厚、透明），它能把物体的图像放大，早在一千多年前，人们就发明了放大镜。放大镜在我们的生活、工作、学习中被广泛使用。例8-2（2009全国Ⅰ理）如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。（I）求得取值范围；12、太阳是太阳系里唯一发光的恒星，直径是1400000千米。（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得答：①利用微生物的作用，我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体，使它们变成植物需要的营养素。③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。．．．．．．．．．．．．．（＊）抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.（II）设四个交点的坐标分别为、、、。则由（I）根据韦达定理有，则令，则下面求的最大值。方法一：,当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。在铁制品表面涂上油漆或菜油，用完铁制品后擦干放在干燥的地方等。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。下面来处理点的坐标。设点的坐标为：由三点共线，则得。以下略。4、科学家研究表明昆虫头上的触角就是它们的“鼻子”，能分辨出各种气味，比人的鼻子灵敏得多。高考怎样考？16、大量的研究事实说明生命体都是由细胞组成的，生物是由细胞构成的。我们的皮肤表面，每平方厘米含有的细胞数量超过10万个。1.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线的渐近线与圆相切，则（A）A.B.2C.3D.6解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=2．(2011年江西理)若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A.(，)B.(，0)∪(0，)二、问答题：C.[，]D.(，)∪(，+)解：因为直线与曲线有两个不同的交点，要使曲线和曲线有四个不同的交点，只须直线与曲线有两个不同的交点即可，而曲线是一个圆，所以圆心到直线的距离为，且，故选B.3.（2009天津文）若圆与圆的公共弦长为，则________.答：连接北斗七星勺形前端的两颗星，并将连线向勺口方延长约5倍远，处于此位置的那颗星就是北极星。解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得7、我们每个人应该怎样保护身边的环境？4.(2011年重庆理)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为解析：为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：