阿波罗尼斯圆

精心整理精心整理阿波罗尼斯圆、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等;3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为a,b,c，中线长分别为ma,mb,mc,则：（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数■（■=1）的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”2+y2忙+1x——2——a九—1丿^21—a,0，半径为0-1丿（三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比化简得:轨迹为圆心2-1—3——aIa-1.丿■2-1a的圆I内分AB和外分AB所得的两个分点;2、直线CM平分.ACB，直线CN平分.ACB的外角;3、■・1时，点B在圆0内；0：：「：：：1,点A在圆0内；4、若AC,AD是切线，则CD与A0的交点即为B；5、若点B做圆0的不与CD重合的弦EF，则AB平分EAF；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为•’=1的内、外分点，则以PQ（即圆O为直径的圆0上任意点到A,B两点的距离之比等于常数证明：不妨设■・1由相交弦定理及勾股定理得：从而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于，的曲线圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此上任意点到A,B两点距离之比等于常数。2、关于性质6的补充若已知圆O及圆O外一点A，则可作出与点A对应的点B，只要过点A作圆O两条切线,切点分别为C,D，连结CD与AQ即交于点B。反之，可作出与点B对应的点A四、典型例题1例1(教材例题)已知一曲线是与两个定点0(0,0)、A(3,0)距离的比为—的点的轨2迹，求此曲线的方程，并画出曲线。解：设点M(x,y)是曲线上任意一点，则：xy—，整理即得到该曲线的方程为：佢-3)*222(x1)y=4。例2(2003北京春季文)设A(—c,0),B(c,0)(c.0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a.0)，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为（x，y）22由|PA|/c、泪P（x+c）+yTOC\o"1-5"\h\z由a（a0），得’2丨PB丨.（x「c）2y化简得（1_a2）x22c（1a2）xc2（1一a2）（1一a2）y2=0.22当a"时，得x22c（1a）xc2y^0，整理得（x—12ac）2y^（^ac）21-aa-1a-1当a=1时，化简得x=0.所以当a"时，P点的轨迹是以(a2—艰,0)为圆心，|-fac-|为半径的圆;a—1a—1当a=1时，P点的轨迹为y轴.O2yPM\\Np1o*O2XMO例3（2005江苏高考数学）如图，圆01与圆02的半径都是1,O1O2=4，过动点P分别作圆Oi.圆。2的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得PM=2PN+试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程•解：以OiO2的中点0为原点，OiO2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则Oi（-2，0），O2（2，0），由已知PM2PN，得PM2=2PN2・因为两圆的半径均为1，所以设P（x,y），则（X2）2y2_1=2［（x-2）2y2—1］，即（X-6）2y2=33，所以所求轨迹方程为（x「6）2•y2二33+（或x2•y2「12x•3=0）例4（2006四川高考理）已知两定点A（—2,0）、B（1,0），如果动点P满足PA=2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）（A）p（B）4p（C）8p（D）9p解：BZI.I例5（2008江苏高考）UABC中，AB=2,AC=2BC，则Sabc的最大值为答案：43变形：AABC中，AB=4,CA:CB=5:3，则S也bc的最大值为答案：152例6设点代B,C,D依次在同一直线上，AB=6,BC=3,CD=2，已知点P在直线AD夕卜,满足.APB=/.BPC=/CPD，试确定点P的几何位置。解：先作线段AC关于2:1的阿氏圆1，再作线段BD关于3:2的阿氏圆2，两圆交点所求。的中xOy即为点P，同时该点关于直线AD的对称点也为例7（2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上线长为.3，则该三角形面积的最大值为例8（2013江苏高考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0,3），直线丨：y=2x-4•设圆C的半径为1，圆心在I上.（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：（1）联立：丿y=xT，得圆心为：C(3,2).、y=2x—4y设切线为：y=kx3，・A精心整理d」3k亠…i，得:一1k2k=0ork=4故所求切线为：y=0ory--3x，3.4(2)设点M(x,y)，由MA=2M0，知:,x2_(y匚3)2=2..%2一y2,化简得：x2(y•1)2=4,即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.故：1W|CD|W3,其中CD|=Ja2+(2a-3)2.解之得：0wa<.例9圆0仆圆02不等且外离，现有一点P，它对于圆所张的视角与对于圆02所张的视角相等，试确定点P的几何位置答案：做圆，圆02的内、外公切线，分别交连心线0Q于点A,B，以线段AB为直径的圆，就是线段0Q2关于da的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。精心整理例10在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆X2y^4上任意一点到A、B1两点的距离之比为常数-？如果存在，求出点A、B坐标；如果不存在，请说明理由。2解：假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆x2•y2=4上任意一点到A、1B两点的距离之比为常数—，设P(x,y)、人(知0)、B(X2,0)，其中x?■Xi■02即xjy=］对满足x2+y2=4的任何实数对(x,y)恒成立，(X-X2)2y22整理得：2x(4xi-x2)■x；-4xi2=3(x2y2)，将x2y2=4代入得：2x(4Xi-X2)*；-4好=12，这个式子对任意x［-2,2］恒成立，所以一定有：x)=1、x2=4。牛_x2=0」22，因为X2AX1>0，所以解得：xf-4X12=12所以，在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0)，使得圆X2•y2=4上任意一点1到A、B两点的距离之比为常数一。2例11铁路线上线段AB=100km,工厂C到铁路的距离CA=20km。现要在A、B之间某一点D处，向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点D应选在何处？解：建立如图所示直角坐标系，3先求到定点A、C的距离之比为3的动CA点P(x,y)的轨迹方程,即：53厂3，整理即得动点\x2(y-20)25P(x,y)的轨迹方程：224x4y90y-900.0，令y=0，得x=_15(舍去正值)即得点D(-15,0)DA=15,DC=25下面证明此点D即为所求点：自点B作CD延长线的垂线，垂足为E，在线段BA上任取点D1，连接CD1，再作D1E1_BE于E1。设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k0)，则每吨货物运输1km的公路费用为5k，如果选址在D1处，那么总运输费用为y=3kBD1•5kD1^(3BD15D1C)k，而：BE1D1s：BEDsCADBD1CD255E1D1AD1533BD^5E1D1那么总费用y=(3BD15DQ)k=(E1D「DQ)5k_(CDDE)5k=5kCE，当且仅当点C、D1、E1共线时取等号总上所述，点D即为所求点TOC\o"1-5"\h\z例12已知点P3,4，点代B分别为圆x—4^y_4?=4及直线.,3x—y—10=0上一点，则AB+2AP的最小值为.答案：7例13ABC中，BC=3,AD为.A的角平分线，且满足ADJAB」AC，则Sabc的最大33值为.答案：3