*17.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点) 一、情境导入解下列方程，将得到的解填入下面的
表
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格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x2－2x＝0；(2)x2＋3x－4＝0；(3)x2－5x＋6＝0.方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝0x2＋3x－4＝0x2－5x＋6＝0二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积．解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．解：这里a＝3，b＝6，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq\f(1,3).
方法
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总结
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：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ＝b2－4ac≥0，有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x1＋2)(x2＋2)； (2)eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2).解析：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－eq\f(3,2).(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－eq\f(3,2)＋2×(－2)＋4＝－eq\f(3,2)；(2)eq\f(x2,x1)＋eq\f(x1,x2)＝eq\f(xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,1),x1x2)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq\f(（－2）2－2×（－\f(3,2)）,－\f(3,2))＝－eq\f(14,3).方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体带入求解即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．解析：由方程5x2＋kx－6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值．解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－eq\f(6,5)，∴x1＝－eq\f(3,5).又∵x1＋2＝－eq\f(k,5)，∴－eq\f(3,5)＋2＝－eq\f(k,5)，∴k＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝－1，求m的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝－1建立方程，求m的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.又∵eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝eq\f(α＋β,αβ)＝eq\f(－（2m＋3）,m2)＝－1，化简整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m＝－1.当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解，∴m＝－1应舍去．当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根．综上所述，m＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神
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