第四节函数展开成幂级数

第四节函数展开成幂级数第四节函数展开成幂级数第一页，共45页。引言幂级数1、有简单的收敛域；2、其和s(x)在（-R,R）内有良好的性质；3、其形式便于上机计算。问题：用来研究函数f(x)第二页，共45页。一、泰勒级数求幂级数的和函数得存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数.问题:2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?第三页，共45页。复习Taylor公式第四页，共45页。第五页，共45页。定义Taylor级数定理1第六页，共45页。证第七页，共45页。证毕第八页，共45页。Maclaurin级数Taylor级数第九页...

第四节函数展开成幂级数第一页，共45页。引言幂级数1、有简单的收敛域；2、其和s(x)在（-R,R）内有良好的性质；3、其形式便于上机计算。问题：用来研究函数f(x)第二页，共45页。一、泰勒级数求幂级数的和函数得存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数.问题:2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?第三页，共45页。复习Taylor 公式第四页，共45页。第五页，共45页。定义Taylor级数定理1第六页，共45页。证第七页，共45页。证毕第八页，共45页。Maclaurin级数Taylor级数第九页，共45页。定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则显然结论成立.机动目录上页下页返回结束第十页，共45页。定理2’证第十一页，共45页。第十二页，共45页。二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)第一步第二步第十三页，共45页。第三步第四步第十四页，共45页。例1解第十五页，共45页。第十六页，共45页。如图，第十七页，共45页。例2解第十八页，共45页。例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,第十九页，共45页。则为避免研究余项,设此级数的和函数为第二十页，共45页。称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得第二十一页，共45页。第二十二页，共45页。双阶乘第二十三页，共45页。2.间接展开法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法，求展开式.例如第二十四页，共45页。例4解因为第二十五页，共45页。例5解第二十六页，共45页。第二十七页，共45页。例6解第二十八页，共45页。例7解第二十九页，共45页。第三十页，共45页。例8解因为第三十一页，共45页。第三十二页，共45页。例9解因为第三十三页，共45页。所以第三十四页，共45页。例10解因为第三十五页，共45页。所以第三十六页，共45页。例11解第三十七页，共45页。例12解第三十八页，共45页。例13解第三十九页，共45页。第四十页，共45页。例14解第四十一页，共45页。例15证第四十二页，共45页。第四十三页，共45页。第四十四页，共45页。内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束第四十五页，共45页。

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