2019年最新江苏省高考数学模拟试卷(5月)及答案解析

江苏省高考数学模拟试卷　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．设集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=　　　　　　．2．若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为　　　　　　．3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是　　　　　　．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为　　　　　　．5．执行如图所示的 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图，则输出的k的值为　　　　　　．6．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于　　　　　　．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A﹣A1EF的体积是　　　　　　．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且它的图象过点（﹣，﹣），则φ的值为　　　　　　．9．已知f（x）=，不等式f（x）≥﹣1的解集是　　　　　　．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是　　　　　　．11．在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且=2，AD=，则AC的长为　　　　　　．12．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　　　　　　．13．已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是　　　　　　．14．若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为　　　　　　．　二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤.15．已知α为锐角，cos（α+）=．（1）求tan（α+）的值；（2）求sin（2α+）的值．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．17．如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？18．在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：+=1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0，），且=SHAPE\*MERGEFORMAT．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣），求直线l的方程；②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．19．对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N*）个数x0，x1，x2，…，xn，使得a=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=b，记S=|f（xi+1）﹣f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．（1）若函数f（x）=﹣2x+1，给定区间为[﹣1，1]，求S的值；（2）若函数f（x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx﹣x2在区间[1，e]上具有性质V．20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（﹣1）nSn+pn（p为常数，p≠0）．（1）求p的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设集合An={a2n﹣1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．　参考答案与试题解析　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．设集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=　{x|﹣2＜x＜1}　．【考点】并集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．　2．若复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为　﹣2　．【考点】复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的概念，确定复数的实部和虚部满足的条件即可．【解答】解：z=（1+mi）（2﹣i）=2+m+（m﹣1）i，∵复数z=（1+mi）（2﹣i）（i是虚数单位）是纯虚数，∴2+m=0，即m=﹣2，故答案为：﹣2．　3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是　　．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，将一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件的事件是至少出现一次1点向上的结果有5+5+1种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵将一颗骰子掷两次，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是至少出现一次1点向上的结果有5+5+1=11种结果，∴至少出现一次点数1的概率是，故答案为：．　4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为　9　．【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得：日销售量不少于150个的频率为（0.004+0.002）×50=0.3，则估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为：30×0.3=9．故答案为：9．　5．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为　5　．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=27时满足条件S＞16，退出循环，输出k的值为5．【解答】解：由题意，执行程序框图，可得k=1，S=1，S=3，k=2不满足条件S＞16，S=8，k=3不满足条件S＞16，S=16，k=4不满足条件S＞16，S=27，k=5满足条件S＞16，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．　6．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于　19　．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由等比数列的中项的性质，运用等差数列的求和公式，可得d=2a1，再由S3=a22，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求值．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由S1，S2，S4成等比数列，可得：S22=S1S4，即有（2a1+d）2=a1（4a1+6d），可得d=2a1，由S3=a22，可得3a1+3d=（a1+d）2，即有9a1=9a12，解得a1=1，d=2，即有a10=a1+9d=1+9×2=19．故答案为：19．　7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A﹣A1EF的体积是　8　．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】用三棱柱的体积减去三棱锥A1﹣EFC1B1和三棱锥A﹣BCFE的体积．【解答】解：取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1．∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AD=2．∵AA1∥平面BCC1B1，E，F是BB1，CC1的中点，∴VA﹣BCFE=V===8，∴V=V﹣2VA﹣BCFE=﹣2×=8．故答案为：8　8．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且它的图象过点（﹣，﹣），则φ的值为　﹣　．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据最小正周期为π，利用周期公式即可求出ω的值，利用图象经过点（﹣，﹣），结合其范围即可求出φ的值．【解答】解：依题意可得：=π，解得：ω=2，…又图象过点（﹣，﹣），故2sin[2×（﹣）+φ]=﹣，解得：sin（φ﹣）=﹣，…因为|φ|＜，所以φ=﹣．…故答案为：﹣．　9．已知f（x）=，不等式f（x）≥﹣1的解集是　{x|﹣4≤x≤2}　．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由不等式f（x）≥﹣1可得①，或②．分别求出①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：∵已知f（x）=，故由不等式f（x）≥﹣1可得①，或②．解①可得﹣4＜x≤0，解②可得0＜x≤2．综上可得，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}，故答案为{x|﹣4≤x≤2}．　10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是　y=±2x　．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，F共线，可得=，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线的方程，可得A（，），B（，﹣），由A，B，F三点共线，可得：=，即有b=2a，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．故答案为：y=±2x．　11．在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且=2，AD=，则AC的长为　3　．【考点】解三角形；向量在几何中的应用．【分析】画出图形，结合图形，利用=2，得出﹣=2（﹣），再利用平面向量的数量积求出||即可【解答】解：如图所示：△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，点D在边BC上，=2，∴=﹣，=﹣，∴﹣=2（﹣），∴3=2+，两边平方得92=42+4•+2，又AD=，∴9×（）2=42+4×||×4×cos120°+42，化简得||2﹣2||﹣3=0，解得||=3或||=﹣1（不合题意舍去），故答案为：3．　12．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为　[]　．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．【解答】解：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4），∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]．　13．已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是　　．【考点】空集的定义、性质及运算；交集及其运算．【分析】根据不等式解集对应的关系，得到﹣2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：∵不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，对于任意正数t，P∩Q≠∅，∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0，则4a﹣2﹣b≥0，即1≤2a﹣；又由题意知，﹣的最大值必是正数，则﹣=（﹣）×1≤（﹣）×（2a﹣）=2﹣﹣+≤﹣2=，即﹣的最大值是．故答案为：．　14．若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为　a＜0或a≥　．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln=0，即1+a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=有解，则≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故答案为：a＜0或a≥．　二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知α为锐角，cos（α+）=．（1）求tan（α+）的值；（2）求sin（2α+）的值．【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦．【分析】（1）利用同角的三角函数的关系式进行求解．（2）利用两角和差的正弦公式进行转化求解．【解答】解（1）∵α为锐角，∴0＜x＜，∴＜α+＜，∵cos（α+）=．∴sin（α+）==则tan（α+）==2；（2）∵cos2（α+）=2cos2（α+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴cos（2α+）=﹣sin2α=﹣，∴sin2α=，∵＜α+＜，cos（α+）=．∴＜α+＜，即0＜α＜，则0＜2α＜，则cos2α=，则sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=×+×=．　16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；（2）若Ac=BC，求证：PA⊥平面MNC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据中位线定理可得MN∥PB，故而PB∥平面MNC．（2）由三线合一可得CM⊥AB，再有面面垂直得出CM⊥平面PAB，故CM⊥PA，由AP⊥PB，MN∥PB可得PA⊥MN，故而PA⊥平面MNC．【解答】证明：（1）∵M，N分别为AB，PA的中点，∴MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，∴PB∥平面MNC．（2）∵AC=BC，M是AB中点，∴CM⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴AP⊥CM．∵PA⊥PB，MN∥PB，∴PA⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，∴PA⊥平面MNC．　17．如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；在实际问题中建立三角函数模型．【分析】分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．【解答】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），则直线AB方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．因为AB与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，所以=1，化简得ab﹣2（a+b）+2=0，即ab=2（a+b）﹣2，因此AB====，因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，于是AB=2﹣（a+b）．又ab=2（a+b）﹣2≤（）2，解得0＜a+b≤4﹣2，或a+b≥4+2，因为0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4﹣2，所以AB=2﹣（a+b）≥2﹣（4﹣2）=2﹣2，当且仅当a=b=2﹣时取等号，所以AB最小值为2﹣2，此时a=b=2﹣．答：当A，B两点离道路的交点都为2﹣（百米）时，小道AB最短．　18．在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：+=1（a＞b＞0）上，若点A（﹣a，0），B（0，），且=SHAPE\*MERGEFORMAT．（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点．线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．①若点P（﹣3，0），直线l过点（0，﹣），求直线l的方程；②若直线l过点（0，﹣1），且与x轴的交点为D．求D点横坐标的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设C（m，n），由向量共线的坐标表示，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值；（2）①由题意可得c=2，a=3，b==，可得椭圆方程，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得k，进而得到所求直线方程；②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得4m=5+9k2，再由中点在椭圆内，可得k的范围，再由直线l的方程可得D的横坐标的范围．【解答】解：（1）设C（m，n），由=SHAPE\*MERGEFORMAT，可得（a，a）=（m，n﹣），可得m=a，n=a，即C（a，a），即有+=1，即为b2=a2，c2=a2﹣b2=a2，则e==；（2）①由题意可得c=2，a=3，b==，即有椭圆方程为+=1，设直线PQ的方程为y=k（x+3），代入椭圆方程可得（5+9k2）x2+54k2x+81k2﹣45=0，x1+x2=﹣，PQ的中点H为（﹣，），由题意可得直线l的斜率为=﹣，解得k=1或，即有直线l的方程为y=﹣x﹣或y=﹣x﹣；②设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程可得，（5+9k2）x2+18kmx+9m2﹣45=0，可得x1+x2=﹣，即有PQ的中点为（﹣，），由题意可得直线l的斜率为=﹣，化简可得4m=5+9k2，中点坐标即为（﹣，），由中点在椭圆内，可得+＜1，解得﹣＜k＜，由直线l的方程为y=﹣x﹣1，可得D的横坐标为﹣k，可得范围是（﹣，0）∪（0，）．　19．对于函数f（x），在给定区间[a，b]内任取n+1（n≥2，n∈N*）个数x0，x1，x2，…，xn，使得a=x0＜x1＜x2＜…＜xn﹣1＜xn=b，记S=|f（xi+1）﹣f（xi）|．若存在与n及xi（i≤n，i∈N）均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f（x）在区间[a，b]上具有性质V．（1）若函数f（x）=﹣2x+1，给定区间为[﹣1，1]，求S的值；（2）若函数f（x）=，给定区间为[0，2]，求S的最大值；（3）对于给定的实数k，求证：函数f（x）=klnx﹣x2在区间[1，e]上具有性质V．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）推导出[f（xi+1）﹣f（xi）]=f（xi）﹣f（xi+1），从而S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=f（x0）﹣f（xn）=f（﹣1）﹣f（1），由此能求出S的值．（2）由=0，得x=1，由导数性质得f（x）在x=1时，取极大值．设xm≤1＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，由此能求出S=的最大值．（3），x∈[1，e]，根据当k≥e2，k≤1和1＜k＜e2三种情况进行分类讨论，利用导数性质能证明对于给定的实数k，函数f（x）=klnk﹣在[1，e]上具有性质V．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣2x+1在区间[﹣1，1]为减函数，∴f（xi+1）＜f（xi），∴[f（xi+1）﹣f（xi）]=f（xi）﹣f（xi+1），S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=[f（x0）﹣f（x1）]+[f（x1）﹣f（x2）]+…+[f（xn﹣1）﹣f（xn）]=f（x0）﹣f（xn）=f（﹣1）﹣f（1）=4．（2）由=0，得x=1，当x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，1）为增函数，当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）为减函数，∴f（x）在x=1时，取极大值．设xm≤1＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，则S==|f（x1）﹣f（0）|+…+|f（xm）﹣f（xm﹣1）|+|f（xm+1）﹣f（xm）|+|f（xm+2）﹣f（xm+1）|+…|f（2）﹣f（xn﹣1）|=[f（x1）﹣f（0）]+…+[f（xm）﹣f（xm﹣1）]+|f（xm+1）﹣f（xm）|+|f（xm+1）﹣f（xm+2）|+…+[f（xn﹣1）﹣f（2）]=[f（xm）﹣f（0）]+|f（xm+1）﹣f（xm）|+[f（xm+1）﹣f（2）]，∵|f（xm+1）﹣f（xm）|≤[f（1）﹣f（xm）]+[f（1）﹣f（xm+1）]，当xm=1时取等号，∴S≤f（xm）﹣f（0）+f（1）﹣f（xm+1）+f（1）﹣f（xm+1）+f（xm+1）﹣f（2）=2f（1）﹣f（0）﹣f（2）=．∴S的最大值为．证明：（3），x∈[1，e]，①当k≥e2时，k﹣x2≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴S==[f（x1）﹣f（x0）]+[f（x2）﹣f（x1）]+…+[f（xn）﹣f（xn﹣1）]=f（xn）﹣f（x0）=f（e）﹣f（1）=k+．∴存在正数A=k+，都有S≤A，∴f（x）在[1，e]上具有性质V．②当k≤1时，k﹣x2≤0恒成立，即f′（x）≤0恒成立，∴f（x）在[1，e]上为减函数，∴S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=[f（x0）﹣f（x1）]+[f（x1）﹣f（x2）]+…+[f（xn﹣1）﹣f（xn）]=f（x0）﹣f（xn）=f（1）﹣f（e）=．∴存在正数A=，都有S≤A，∴f（x）在[1，e]上具有性质V．③当1＜k＜e2时，由f′（x）=0，得x=，由f′（x）＞0，得1；由f′（x）＜0，得＜x≤e，∴f（x）在[1，）上为增函数，在[，e]上为减函数，设xm≤＜xm+1，m∈N，m≤n﹣1，则S=|f（xi+1）﹣f（xi）|=|f（xi）﹣f（x0）|+…+|f（xm）﹣f（xm﹣1）|+|f（xm+1）﹣f（xm）||+|f（xm+2）﹣f（xm+1）|+…+|f（xn）﹣f（xn﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+…+f（xm）﹣f（xm﹣1）+|f（xm+1）﹣f（xm）|+f（xm+1）﹣f（xm+2）+…+f（xn﹣1）﹣f（xn）=f（xm）﹣f（x0）+f（xm+1）﹣f（xn）+f（）﹣f（xm+1）+f（）﹣f（xm）=2f（）﹣f（x0）﹣f（xn）=klnk﹣k﹣[﹣]=klnk﹣2k+，∴存在正数A=klnk﹣2k+，都有S≤A，∴f（x）在[1，e]上具有性质V．综上，对于给定的实数k，函数f（x）=klnk﹣在[1，e]上具有性质V．　20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an=（﹣1）nSn+pn（p为常数，p≠0）．（1）求p的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设集合An={a2n﹣1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，求证：对任意n∈N，Pn≠Qn．【考点】数列的求和．【分析】（1）令n=1，n=2，可得p的方程，由p不为0，可得p的值；（2）讨论n为偶数，或奇数，将n换为n﹣1，两式相加可得所求通项公式；（3）求得An={a2n﹣1，a2n}={﹣（）n，（）n}，讨论bn，cn的情况，运用错位相减法求和，即可得证．【解答】（1）解：由题意可得n=1时，a1=（﹣1）S1+p=﹣a1+p，可得p=2a1；n=2时，a2=S2+p2=a1+a2+p2，可得+p2=0，解得p=﹣；（2）解：当n为偶数时，an=Sn+（﹣）n，可得an﹣1=﹣Sn﹣1+（﹣）n﹣1，两式相加可得，an+an﹣1=an﹣（﹣）n，即an﹣1=﹣（﹣）n，可得，当n为奇数时，an=﹣（﹣）n+1；当n为奇数时，an=﹣Sn+（﹣）n，可得an﹣1=Sn﹣1+（﹣）n﹣1，两式相加可得，an+an﹣1=﹣an﹣（﹣）n，即为2an+an﹣1=﹣（﹣）n，即有﹣2•（﹣）n+1+an﹣1=﹣（﹣）n，化简可得an﹣1=﹣2•（﹣）n，即有当n为偶数时，an=（﹣）n；则an=；（3）证明：由（2）可得An={a2n﹣1，a2n}={﹣（）n，（）n}，数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn，若b1≠c1，即有nbn=﹣n（）n，ncn=n（）n，即有前n项和为Qn=1•+2•+3•+…+n（）n，Qn=1•+2•+3•+…+n（）n+1，相减可得，Qn=+++…+（）n﹣n（）n+1，=﹣n（）n+1，可得Qn=﹣•，Pn=﹣+•，即有Pn≠Qn．由于An中相邻两项的和为0，b1≠c1，则Pn≠Qn．