空间向量专题

1.如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角的的余弦值；（Ⅱ）求点到面的距离.2.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，，点E是棱AB上一点．且．（1） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：；（2）若二面角D1—EC—B的大小为，求的值．ABCDD1A1B1C1E（第22 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ）3.23、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角的余弦值；（3）求二面角A-MC-B所成的余弦值。4.22．（本小题满分10分）如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝eq\R(,2)，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝eq\F(1,3)BD．（1）若PM＝eq\F(1,3)PA，求证：MN⊥AD；（2）若二面角M－BD－A的大小为eq\F(π,4)，求线段MN的长度．C··PMABDN(第22题图)522．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝EQ\F(1,3)BB1，C1F＝EQ\F(1,3)CC1.（1）求异面直线AE与A1F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.6.24.（本题满分10分）如图，在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）。（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；（2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由。7ABCC1B1A1FD如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝eq\r(2)，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.[来源:Zxxk.Com]22．在正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.A1BADCBAO（第22题）EBAB1CBAA1CBACBAC1D1（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.1.(Ⅰ)∵∴．在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）由题意有，设，则由直线与直线所成的解为，得，即，解得∴，设平面的一个法向量为，则，取，得，平面的法向量取为设与所成的角为，则．显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．………………5分（Ⅱ），，，，．设平面的一个法向量，则，取，得，则点到平面的距离．2.3.23、解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（Ⅰ）证明：因由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.（Ⅱ）解：因（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使为所求二面角的平面角.4.22．（本小题满分10分）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝eq\R(,2)，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．（1）由eq\o(BN,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\F(1,3)eq\o(BD,\d\fo1()\s\up7(→))，得N(0，eq\F(1,3)，0)，由eq\o(PM,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\F(1,3)eq\o(PA,\d\fo1()\s\up7(→))，得M(eq\F(1,3)，0，eq\F(2,3))，所以eq\o(MN,\d\fo1()\s\up7(→))＝(－eq\F(1,3)，eq\F(1,3)，－eq\F(2,3))，eq\o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))＝(－1，－1，0)．因为eq\o(MN,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(AD,\d\fo1()\s\up7(→))＝0．所以MN⊥AD．………………………………………4分（2）因为M在PA上，可设eq\o(PM,\d\fo1()\s\up7(→))＝λeq\o(PA,\d\fo1()\s\up7(→))，得M(λ，0，1－λ)．所以eq\o(BM,\d\fo1()\s\up7(→))＝(λ，－1，1－λ)，eq\o(BD,\d\fo1()\s\up7(→))＝(0，－2，0)．设平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\al(n·eq\o(BD,\d\fo1()\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(BM,\d\fo1()\s\up7(→))＝0，))得eq\b\lc\{(\a\al(－2y＝0，,λx－y＋(1－λ)z＝0，))其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取n＝(λ－1，0，λ)．………………………………8分因为平面ABD的法向量为eq\o(OP,\d\fo1()\s\up7(→))＝(0，0，1)，所以coseq\F(π,4)＝|eq\F(n·eq\o(OP,\d\fo1()\s\up7(→)),|n||eq\o(OP,\d\fo1()\s\up7(→))|)|，即eq\F(eq\R(,2),2)＝eq\F(λ,eq\R(,(λ－1)2＋λ2))，解得λ＝eq\F(1,2)，从而M(eq\F(1,2)，0，eq\F(1,2))，N(0，eq\F(1,3)，0)，所以MN＝eq\R(,(eq\F(1,2)－0)2＋(0－eq\F(1,3))2＋(eq\F(1,2)－0)2)＝eq\F(eq\R(,22),6)．………………………………………10分5.解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则,,,，从而,.………………2分记与的夹角为，则有.由异面直线与所成角的范围为，得异面直线与所成角为60º.……4分（2）记平面和平面的法向量分别为n和m，则由题设可令，且有平面的法向量为,,.由，得；由，得.所以，即.………………8分记平面与平面所成的角为，有.由题意可知为锐角，所以.………………10分6.24.由解得取，则，因为，，，所以因为，所以是锐角，是直线与平面所成角的余角，所以直线与平面所成角的正弦值为．⑵假设，则，因为，，所以，化简，得，因为，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线垂直．7.3、解：（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝eq\f(π,2)．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝EQ\r(2)，(eq\r(2),0,0)从而B(0，0，0)，A(eq\r(2),0,0)，C(0,eq\r(2),0)，B1(0，0，3)，A1A(eq\r(2),0,3)，C1(0,eq\r(2),3)，D(eq\f(eq\r(2),2),eq\f(eq\r(2),2),3)，E(0,eq\f(eq\r(2),2),eq\f(3,2))．所以eq\o(\s\up6(→),\s\do0(CA1))＝(eq\r(2),－eq\r(2),3)，设AF＝x，则F(EQ\r(2)，0，x)，eq\o(\s\up6(→),\s\do0(CF))＝(eq\r(2),－eq\r(2),x)，eq\o(\s\up6(→),\s\do0(B1F))＝(eq\r(2),0,x－3)，eq\o(\s\up6(→),\s\do0(B1D))＝(eq\f(eq\r(2),2),eq\f(eq\r(2),2),0)∴eq\o(\s\up6(→),\s\do0(CF))·eq\o(\s\up6(→),\s\do0(B1D))＝···＝0，所以eq\o(\s\up6(→),\s\do0(CF))⊥eq\o(\s\up6(→),\s\do0(B1D))要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.由eq\o(\s\up6(→),\s\do0(CF))·eq\o(\s\up6(→),\s\do0(B1F))＝2＋x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．（2）由（1）知平面ABC的法向量为m＝(0,0,1).设平面B1CF的法向量为n＝(x,y,z)，则由eq\b\lc\{(\a\al(eq\a(n·eq\o(\s\up6(→),\s\do0(CF))＝0),eq\a(n·eq\o(\s\up6(→),\s\do0(B1F))＝0)))得eq\b\lc\{(\a\al(eq\a(eq\r(2)x－eq\r(2)y＋z＝0),eq\a(eq\r(2)x－2z＝0)))令z＝1得n＝(eq\r(2),eq\f(3,2)eq\r(2),1)，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos＜m,n＞＝eq\f(eq\r(30),eq\a(15))8.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E，于是，.由cos＝＝.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.……………………5分（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0得取x1＝1，得y1＝z1＝1，即m=(1，1，1).……………………7分由D1E＝λEO，则E，=.又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0.得取x2=2，得z2＝－λ，即n＝(－2，0，λ).因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n＝0，得λ＝2．……………………10分