2021年人教版高中数学选择性必修第一册第1章习题课件：《1.1.2空间向量的数量积运算》(含答案)

第一章　§1.1　空间向量及其运算1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一　空间向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.∠AOB2.范围：.特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.0≤〈a，b〉≤π思考　当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向.知识点二　空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔_______②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律).③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).|a||b|cos〈a，b〉a·b＝0思考1　向量的数量积运算是否满足结合律？答案　不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的.答案　不能，向量没有除法.知识点三　向量a的投影1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)).2.如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.2.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)3.对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　　)4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√2题型探究PARTTWO一、数量积的计算例1　如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：＝cos60°－cos60°＝0.反思感悟求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.跟踪训练1　(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于A.1B.2C.3D.4√解析　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.2＝4－0＋0－2＝2.二、利用数量积证明垂直问题例2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.反思感悟用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.证明　在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，所以AD2＋BD2＝AB2，三、用数量积求解夹角和模例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.延伸探究2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉.(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离).A.30°B.60°C.90°D.120°√(2)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为√且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，3随堂演练PARTTHREE1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是12345√2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有√12345√123454.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____.12345解析　|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.1234560°1即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，方法二　根据向量的线性运算可得123451.知识清单：(1)空间向量的夹角、投影.(2)空间向量数量积、性质及运算律.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于√基础巩固12345678910111213141516解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝，则两直线的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°√12345678910111213141516所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.3.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为A.－6B.6C.3D.－3√12345678910111213141516解析　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为√123456789101112131415165.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是√解析　可用排除法.因为PA⊥平面ABCD，又由AD⊥AB，AD⊥PA可得AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，123456789101112131415166.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.1234567891011121314151622解析　|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.7.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____.60°解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，所以〈a，b〉＝60°.12345678910111213141516123456789101112131415160°0°90°由题意知OO1是正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，123456789101112131415169.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角.12345678910111213141516解　不妨设正方体的棱长为1，则|a|＝|b|＝|c|＝1，∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.1234567891011121314151610.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD⊥PC；12345678910111213141516∴BD⊥PC.12345678910111213141516＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos60°＋2a2cos60°＝5a2，A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形√综合运用即△ABC是等腰三角形.1234567891011121314151612.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是A.30°B.45°C.60°D.90°√1234567891011121314151612345678910111213141516∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.13.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为A.－13B.－5C.5D.13√12345678910111213141516解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，14.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为______.12345678910111213141516112345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151616.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.12345678910111213141516解　由AC⊥α，可知AC⊥AB，过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°，因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，12345678910111213141516因为BD⊥AB，AC⊥AB，＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，12345678910111213141516