全等三角形与旋转问题

全等三角形与旋转问题全等三角形与旋转问题PAGEPAGEPAGE23全等三角形与旋转问题全等三角形与旋转问题1、如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。A．1对B．2对C．3对D．4对2、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：．∵、是等边三角形，∴，，∴，∴3、如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：．∵与都是等边三角形∴，及∵，，三点共线∴，∴在与中∴，∴∵，∴在与中∴，∴．4、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：平分．过点作于，于，由，利用进而再证，可得到，故平分．如图，点为线段上一点，、是等边三角形．请你证明：⑴；⑵；⑶平分．此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．与三角形各内角相等，及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等…推到而得的：；，，，；，；，，；为等边三角形．⑴∵、是等边三角形，∴，，∴，∴⑵由易推得，所以，又，进而可得为等边三角形．易得．⑶过点作于，于，由，利用进而再证，可得，故平分．5、如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：．∵∴在和中∴∴6、如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．∵，∴，又∵、分别是、的中点，∴，∴，∴∴是等边三角形7、如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是线段和的中点，则是_____________。A．钝角三角形　　B．直角三角形C．等边三角形　　D．非等腰三角形如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．∵是等边三角形，∴，．∴，同理，．∴在与中，∴，∴．9、如图，是等边内的一点，且，，，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．连接，将条件，这两个条件，易得()，得，由，，(公共边)，知()，∴．故的度数是定值．10、如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．连结由上可知，，，，而，．∴，∴，∴．如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形中，，而，∴，∴∴，∴11、如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且．求证：．证明：因为四边形是正方形，所以，．因为，所以，所以，故≌，故．如图所示，在四边形中，，，于，若四边形的面积是16，求的长_____________。、如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把逆时针旋转，得到正方形)正方形的面积等于四边形面积为，∴．12、、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．延长至，使，连结，易证，，．再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有．13、在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是_____________。A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随、、的变化而变化如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，则，，，∴．∴，∴又易得，∴在中，有，故应选(B)如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．⑴求证：．⑵设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及．若不存在，请说明理由．　　　　⑴证明：如图，延长至点，使得，连结．因为是正方形，所以在和中，，，．∴，∴，．又∵是的平分线．∴，∴．即．∵，∴，∴，∴．即．∴，得证．⑵．∵，∴由⑴知，，所以．在中，，，∴，∴．由上式可知，当达到最大值时，最大．而，所以，当时，最大值为．14、请阅读下列材料：已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．⑴证明：根据绕点顺时针旋转得到∴∴，，，在中∵∴∴即∴又∵∴∴即∴∴∴⑵关系式仍然成立证明：将沿直线对折，得，连∴∴，，又∵，∴∵∴又∵∴∴，∴∴在中即15、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长_____________。如图所示，延长到使．在与中，因为，，，所以，故．因为，，所以．又因为，所以．在与中，，，，所以，则，所以的周长为．16、在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系_____________。⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示)BM+NC=MN;(2)猜想：仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE由是等边三角形，，，在与中的周长==而等边的周长(3)(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD;(2)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG．∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝，AB＝AD，∴．∴AG＝AF，．∴．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴．∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD(2)(1)中的结论仍然成立．17、平面上三个正三角形，，两两共只有一个顶点，求证：与平分．连接与∵，∴，∴在与中∴∴在与中∴∴∴为平行四边形，∴，互相平分．18、已知：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形．　　　　连结，∵，，，所以，并且与的夹角为，延长交于，则．又因为，．所以．所以，．19、如图，在△外面作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，求证：(1);(2)证明△≌△;(2)作，，先证△≌△，△≌△，再证△≌△以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG．易证，故，又，，故．20、如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积_____________。我们马上就会想到连接、，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断．我们回到已知条件中去，注意到，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如图所示)据此，连接，则发现≌，且，，，是底、高各为的三角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为．21、在五边形中，已知，，，连接．求证：平分．连接．由于，．我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，．所以．在与中，因为，，，故≌，因此，即平分．22、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由． 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：∵，，∴∴又∵∴23、已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．答案：∵∴在和中∴∴24、在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．答案：延长交延长线于点．是中点，，，，，在和中，，又，在和中，，25、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、的高．求证：．答案：由，利用进而再证，可得到．26、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．答案：连接．因为且，所以．因为是的中点，所以，且，则．因为，所以，所以，所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．27、如图，正方形中，．求证：．答案：延长至，使得，连接．易证得：，从而可得：，，故．28、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．答案：由条件，且，得．因为，，所以，因此，．因为，所以为等边三角形．29、、操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．（2）图③中，PD与PE之间是否还有上述数量关系？结合图③加以证明．30、如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与点P'之间的距离为多少，∠APB？31：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的动点，满足∠EAF=45°，求证:EF=DE+BF32：在等边△ABC中，O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=√3,求∠AOB，∠BOC的度数分别是多少？33．已知：PA=√2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.34.点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。35：如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为一个顶点作正方形A’B’C’O,说明正方形A’B’C’O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积不变。36.如图24－1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．（1）猜想：ME与MF的数量关系（2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M=∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明（3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．（4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M=∠B，AB:BC=m，其它条件不变，求出ME：MF的值。（直接写出答案） 类型四：倍长中线37：如图1，已知点D在AC上，△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，点M为EC的中点.（1）求证：△BMD为等腰直角三角形.（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2，（1）中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.（3）将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度，如图3，（1）中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗？38、原题：在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90O,△ADE为等腰直角三角形，DE⊥AD。M为线段EB的中点,连结DM、CM。请探究DM与CM的关系（如图1）。证明 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明DM与CM垂直且相等。问题：把等腰直角△ADE绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，其它条件不变，则上述命题的结论仍然成立吗？一、特殊位置时结论的证明图3旋转一：当线段AD旋转到线段AC上时（如图2）。图2图1图5证明分析（如图3）：设线段AE与线段BC的延长线相交于点N。由直角三角形斜边中线性质可得，AM＝EM；由等腰直角三角形的定义可得，AD=ED，所以，根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可得DM⊥AE，可证DM∥AB。同理，CM∥AN，综合可证△CDM是等腰直角三角形。于是，命题得证。图4旋转二：当E、D、B三点旋转到同一条直线上时（如图4）。证明分析（如图5）：延长AD至N，使DN=DM，连结CN。△EDA是等腰直角三角形，所以可证得AN=EM=BM。由三角形内角和可证∠NAC=∠CBM，用“SAS”证明△CBM≌△CAN。得∠MCB=∠NCA，证出∠NCM=90O，再由△CBM≌△CAN可得∠N=∠DMC,由四边形内角和可证得∠N=∠DMC=90O，从而证明四边形DMCN为正方形。于是命题得以证明。图6旋转三：当点E、A、B三点在同一条直线上时（如图6）。图7证明分析(如图7)：作DF⊥BE于F，CN⊥AB于点N，设DF=a，CN=b，根据等腰直角三角形的定义与性质可得BE=2(a+b)，所以有EM=BM=a+b。计算证出DF=NM，FM=CN。用“SAS”证△MDF≌△CMN，可证结论成立。下列四种情况，请读者证明结论的正确性。已知△ABC和△ADE为等腰直角三角形，M为线段EB的中点,连结DM、CM。请探究DM与CM的关系。1）当D、A、B三点在同一条直线上时（如图8）图9图82）当D、A、C三点在同一条直线上时（如图9）3)　当D、E、B三点在同直线时（如图10）图114）　当A、E、B三点在同直线时（如图11）图10图13图12二、一般位置时结论的证明旋转四：当旋转角度小于45O时（如图12）。证明分析：（如图13）作DN⊥DM，取DN=DM。连结AN交BE于点P,连结CN。用“SAS”证△ADN≌△EDM，则∠PNO=∠DMO，在△NPO和△ODM中利用内角和定理证明∠NPO=90O,同理在△PAQ和△BQC中证明∠PAQ=∠CBQ。另一方面由△ADN≌△EDM可证明AN=EM=BM。用“SAS”证明△CBM≌△CAN，仿前变式二证明∠NCM=90O，连结DC，证∠DNC=∠DMC，利用四边形内角和证∠DNC=∠DMC=90O，于是可证四边形DMCN为正方形，得DM=CM,且DM⊥CM。请读者证明下列几种变化情况。图15图14如下列图14，图15，图16，其它条件不变，即：△ABC和△ADE为等腰直角三角形，M为线段EB的中点,连结DM、CM。请探究DM与CM的关系。图17图1639、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG.。（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明。