2017年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第八章立体几何第08节立体几何中的向量方注（II：■-求空间角与距离【最新考纲解读】内容要求备注ABC\立体几何i•掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题•V对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在
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中分别用A、B、C表示）•了解：要求对所列知识的含义有初步的，感性的理解，知道这个知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在相关问题中识别和理解它•理解：要求对所列知识有较深刻的理性理解，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作准确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对相关问题作比较，判断，讨论，具备利用所学知识解决简单问题的水平•掌握：要求对所列的知识内容能够推导证明，利用所学知识对问题能够实行分析，研究，讨论，并且加以解决•2.会用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题•V3.了解向量方法在研究几何问题中的作用•V【考点深度剖析】空间的角与距离的计算是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式表现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题•距离问题往往在与相关面积、体积的计算中加以考查.【课前检测训练】［判一判］1•设正方体ABCD—AiBiCiDi的棱长为2，则点Di到平面AiBD的距离是（）.32A.B.32,3C.TD.V
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：D解析：如图建立空间直角坐标系，则DMQR.A}(2.Q.2\D(Qfifl)rBQ72fi\:.D^=(io:o)±n^=(io±2),n^=(2rio),设平面占他的法向量为rt=<环则匕空》+2"。[nDB=lx+2\^0令工二1>则n-{lf-1,T"•••点D!到平面A^D的距离是d」DlAn||n|AB=AD2.【2019高考新课标3理数】如图，四棱锥求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.P-ABC中，PA_地面ABCD,ADBC,(I)证明MN平面PAB;223_3_3=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中占八、、♦DC(II)8i525解析：(i)由已知得AM=2AD=2，取BP的中点T,连接AT,TN，由N为PC中点3答案:(i)见解析；(n)1知TN〃BC,TN=BC=2.2又貝QBC,故TXffASIf四边形AAZ为平行四边形，于是肚VAT.因为Jfc平面PAB,平面PAB7所以」fT平面PAB.(II)取方C的中点连结”匹，宙川B=.4C得一辽_5C,从而AE-.4DAE=/曲：_RE】=I貝护-d)：=J?.以.为坐标原爲忑的方向为工轴正方向，建豈如團所示的空间直角坐标系J由题意知，mo：4)}3/(0:10),PJ7=(0±2±-4)、-芒-P\f—0设可=(砂声)为平面p^fx的法向量，则{H-P.V=O可取^=(0.2.0,于是|…AN*|nANJ85|n||AN|25［练一练］81.若向量a=(1,入，2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为9，贝卩入=【答案】—2或55【解析】由已知得8=］；•=2——,9|a||b|^5+；f\98寸5+於=3(6—入)解得入=—2或入=~.2•如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上,EM与AF所成的角为二，则COSV的最大值为【答案】25—11【解析】建立坐标系如图所示一设^=1,则=计臥凤£卫0）股MQyJXXy"）,则■EM=,由于异面直^所咸角的范围为（0=耳，所決cos6=—2二一-士丁）1后J」T：+§74v+58i+]厶一二，^-8i-+l=rl
=-^=—工^\CBWn/.co5=60'…：直线阮与平面刊C所成的角为90=-60:=30\4.【安徽省示范高中2019届高三第一次联考】如图，在三棱锥P-ABC中，PA_平面ABC,2AC=PC=2,AC_BC,F为AP的中点，M,N,D,E分别为线段PC,PB,AC,AB上的动点，且MNBCDE.⑴求证：DE_面PAC；⑵若M是PC的中点，D是线段AC靠近A的一个三等分点，求二面角F-MN-D的余弦【答案】（1）见解析;值•⑵7.14【解析】(I)证明：丁血_平面ABCPA_BC又AC_BC,「.RC_平面PAC?又：BCDEfDE—面PAC.5分(II)6?;因为EDE,结合(I)中结论，・：砂_平面以。…m一EV/ZV一DM,:上FMD即为二面角F-UX-D的平面角.丁分1由条件可得：GE=6C>一0=30\KU=-:CD=-,AEB5.【2019高考新课标1卷】(本小题满分为12分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF为正方形，AF=2FD,/AFD=9。，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.(I)证明：平面ABEF_平面EFDC(II)求二面角E-BC-A的余弦值.\E【答案】（I）见解析（II）21919【解析】
试题
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分析：＜1）先证明百F丄平面EFDC黠笆一迹二平面ABEF诃得平面ABEF丄平面EFDC.（ID建立空间坐标系分别求出平面BCE的法向量蹴及平面BCE的法问量；；：再利用0〈瓦厉〉=售待求二面网网I角一试题解析：＜1）由已知可得AT_DRAF_FE所臥AF丄平面EFDC・又AF二平面ABEF：故平面ABEF—平酉FFDC.（II）过D作DG_EFt垂足为G「由⑴知DG_平面ABEF.以G为坐标原点;狂的方向为耳轴正方向」苗|为单位长度’建立如图所示的空间直甬坐标系G-.r\z.由⑴知QFE为二面角D-M-E的平面甬:故-DFE二切贝J|DF|=2」DG|=3,可得---1,4,0,2-3,4,0，上一3,0,0,D0,0,3.由已知一三〃；：F,所以占〃平面；FDC.又平面JipD平面上FDC^DC,故「2//CD,CD//；：F.由三;：//ZF,可得:i'..平面iFDC,所以.CF为二面角C-刁：-F的平面角—C~F=6。.从而可得C-2,0,•：：：3i所以；Q=1,0,=0,4,0，-：C二-3,-4,=1—4,0,0.设n=x,y,z是平面EC-的法向量，则iios-41所汰可取19iiB2.'5C.55BEIAC=0设m是平面ABCD的法向量，则\—mAB=Q同理可取屈二［Q丨.则cos(^j?i)=pP7W故二面角E-BC-A的余弦值为-潜-19【答案】A【解析】不妨令CB=1，贝VCA=CG=2•可得0(0,0,0),B(0,0,1),G(0,2,0),A(2,0,0),Bi(0,2,1),二BCi=(0,2，-1),AB,=(-2,2,1)」8S又；FP—1,1,0,FG二-1,0,1,I-uv=0故，解得u=v=w.—u+w=0>取u=1，得平面二心尸；：的一个法向量n=(1,1,1)•又CD1二0,-2,1,TcDin尿所以直线CD1与平面A,GFE所成的角的正弦值大小为15.15BC=10,AA=8,与此长方体的面相【2-2】（本题满分12分）如图，长方体ABCD_ABQD^!中,AB=16,点E，F分别在AB，C1D1上,A,^=D1F=4.过点E,F的平面交，交线围成一个正方形.（I）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（H）求直线AF与平面〉所成角的正弦值.4J515【答案】（I）见解析；（n）45.55【解析】(I)交线围成的正方的EHGF如图：(【1)作£3/-ABr垂足为M,则AW=V=^EM二凡2=8，因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=IO.于是MH,EH：-EyS所以川7=10.汰D为坐标原点'页的方向为X轴的正方向,建立如图所示的空间直甬坐标系・_叱则丿(10』・JTU0.I0.0),£(10.4.8),——-In-FE=0*F£=(10r0r0),HE=©-&"设是平面EHC讦的法向曇则即\n-HE=0.P°x=°’所以可取n=(0,4,3)•又=(—10,4,8)，故-6y8z=0,45•所以直线AF与平面〉所成角的正弦值为4515154I彳nAfIcos=-1、：=V所以二面角FTCt的余弦倩为纟；A解法二：连接00'，过点F作FM_0B于点M,则有FM//00',又00'_平面ABC,所以FM丄平面ABC,可得FM二FB2-BM2=3,过点M作MN垂直BC于点N，连接FN,可得FN_BC,从而.FNM为二面角F-BC-A的平面角又AB二BC,AC是圆0的直径，从而FN42所以MN二BMsin452可得cos._FNM所以二面角F-BC-A的余弦值为7【3-2】【山西省右玉一中2019届高三下学期模拟】（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正死棱锥P-ABCD组合而成,AD_AF，AE=AD=2.（1）证明：平面PAD_平面ABFE；（2）当正四棱锥P-ABCD的高为1时，求二面角C-AF-P的余弦值•【答案】⑴证明见解析；⑵【解析】（L）证明：直三棱柱QE7CF中…矽一平面TDE,所以1一*卫？＞卫.-卫?QF}所以AD-平面ABFE…Q二平面P3D,所汰平面Pad一平面ABFE*（卩由⑴一平面一回花，以討为原点…拐方问为工丄沙轴建立空间直角坐标系A-Xyzf因为正四棱锥P-ABCD的高为1,.4E=AD=2f则<0.0.0);科2.20).■IBa-1,1).-则所以#=(22.0)」JC=(10.2),JP=(L-L1)设平面TCF的一个法向重石=(曲、Im•-AF-lx,-2i\-0则•」，|jtAC二2西4-2z:=0取.码=1』则y1=z1=-lJ所以恳=(—)+设平面afp的一个法冋量2=(a可,n•AF=0n・AP=0丄2x22y2=0，即y%-丫2性=0取x2=1，则y2=-1,z2=-2,所以n=(1,-1,-2)cos：：m,nT4于口申_1+1+2|m||n|3622，即二面角C-AF-P的余弦值是2233【基础知识】1.求二面角的大小⑴如图1,AB、CD是二面角a—I—B的两个面内与棱I垂直的直线，则二面角的大小0=.n-i⑵如图2、3,n1,r2分别是二面角a—I—B的两个半平面a,B的法向量，则二面角的大小二=：：：ri,压「.■-(或■■-：：：ri,r2：■■■).【思想方法】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.【温馨提醒】(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况.考点4利用向量求空间距离【4-1】(本小题满分10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA_平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD二，PA二AD=2,AB二BC=12求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长D【答案】⑴【解析】以;为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系-xyz则各点的坐标为三1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,?0,0,2.(1)因为_-_D_平面42，所以2d是平面的一个法向量，.-.^i0,2,0.因为me二1,1,—2,?D二0,2,—2.设平面mCD的法向量为m二x,y,z，则m?C=0，m?D=0，即xy-2z=02y-2z=0令y=1，解得z=1,x=1.所以m二1,1,1是平面?CD的一个法向量.ADw扛■■F所以平面辭与平面PCD所成二面角的余弦值好(2)因为BP=(-lr(l2),iftBQ=zBP=(-x¥0=2A)(0
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