建立空间直角坐标系，解立体几何
高考
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题
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立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式：1、求线段的长度：2、求P点到平面的距离：，（N为垂足，M为斜足，为平面的法向量）3、求直线l与平面所成的角：，(,,为的法向量)4、求两异面直线AB与CD的夹角：5、求二面角的平面角：，（，为二面角的两个面的法向量）6、求二面角的平面角：，（射影面积法）7、求法向量：①找；②求：设为平面内的任意两个向量，为的法向量，则由方程组，可求得法向量．高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性
分析
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，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一﹑直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1.(2002年全国高考题)如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）。（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由CM=BN=a，M(，0，),N（，，0）∴=(0，，)∴==（）（2）由（1）=所以，当a=时，=，即M﹑N分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为。（3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=AN，BM=BN，所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角。MN的长最小时M(，0，),N（，，0）由中点坐标公式P(，，),又A（1，0，0），B（0，0，0）∴=(，-，-)，=(-，-，-)∴cos∠APB===-∴面MNA与面MNB所成二面角α的大小为π-arccos例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E﹑F分别是AB﹑AD的中点，GC⊥面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题意C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0）∴=（2，4，-2），=（4，2，-2），=（2，0，0）设平面EFG的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，得，令z=1，得x=，y=，即=（，，1），在方向上的射影的长度为d====例3.(2000年二省一市高考题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA1=2，M﹑N分别是A1B1﹑A1A的中点。（1）求的长；（2）求cos；（3）求证：A1B⊥C1M解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），B（0，1，0），N（1，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），M(，，2)（1）=（1，-1，1），故=；（2）=（0，1，2），=（1，-1，2）∴cos===（3）=（-1，1，-2），=(，，0)∴?=-1×+1×+(-2)×0=0∴A1B⊥C1M二﹑利用图形中的对称关系建系。有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。例4.(2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，高OV为h。（1）求cos；（2）记面BCV为α，面DVC为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED。解：（1）由题意B（a，a，0），D（-a，-a，0），E（-，，）∴=（-，-，），=（，，）cos===（2）∵V（0，0，h），C（-a，a，0）∴=（-a，a，-h）又∠BED是二面角α-VC-β的平面角∴⊥，⊥即·=--=a2-=0，a2=代入cos==-即∠BED=π-arccos三﹑利用面面垂直的性质建系。有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。例5.(2000年全国高考题)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a。（1）建立适当的坐标系，并写出A﹑B﹑A1﹑C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角。解：（1）如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，以经过原点且与ABB1A1垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 由已知得：A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（-，，a）（2）取A1B1的中点M，于是有M（0，，a），连AM﹑MC1有=（-，0，0），且=（0，a，0），=（0，0，a）由于·=0，·=0，故MC1⊥平面ABB1A1。∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。∵=（-，，a），=（0，，a）,∴·=0++2a2=,==a，==∴cos==∴与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30o。例6.(2002年上海高考题)如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=600,∠AOB=900，且OB=OO1=2，OA=。求：（1）二面角O1–AB–O的大小；（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小。（结果用反三角
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数值表示）解：（1）如图，取OB的中点D，连接O1D，则O1D⊥OB∵平面OBB1O1⊥平面OAB，∴O1D⊥面OAB，过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E，则O1E⊥OB，∠DEO1为二面角O1–AB-O的平面角。由题设得O1D=sin∠OBA==∴DE=DBsin∠OBA=∵在RtΔO1DE中，tan∠DEO1=∴∠DEO1=arctan，即二面角O1–AB–O的大小为arctan。（2）以O为原点，分别以OA﹑OB所在直线为x﹑y轴，过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0），A1（，1，），B（0，2，0），则=（-，1，-），=（，-1，-）cos〈，〉===-故异面直线A1B与AO1所成角的大小arccos。姓名：张传法地址：山东临沂市罗庄区一中（276017）E-mail:（注：本文发表于《数学通讯》2004年第6期）
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