一类非仿射非线性系统的H_控制

646 Proceedings of the 26th Chinese Control Conference July 26-31, 2007, Zhangjiajie, Hunan, China 一类非仿射非线性系统的 H∞控制* 黄洪艺1，彭侠夫2 1. 厦门大学计算机科学系，厦门 361005 E-mail: hyhuang@xmu.edu.cn 2. 厦门大学自动化系，厦门 361005 E-mail: xfpeng@xmu.edu.cn 摘 要：本文将仿射非线性系统的 H∞控制 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 推广至一类非仿射非线性系统。主要方法是利用反函数组理论，将非 仿射非线性系统转化为仿射非线性系统，在控制输入满足一个不等式的假设下，利用仿射非线性系统的 HJI不等式得 到非仿射非线性系统存在 2L 增益且渐近稳定的充分条件，而且本文给出了非仿射非线性系统的状态反馈控制。 关键词：非仿射非线性系统， 2L 增益，反函数 H∞ Control of a Class of Non-affine Nonlinear System Huang Hongyi1，Peng Xiafu2 1. Department of Computer Science, Xiamen Univ., Xiamen 361005, P. R. China 2. Department of Automation, Xiamen Univ., Xiamen 361005, P. R. China Abstract: By employing the inverse function theory, a class of Non-Affine Nonlinear System was converted into Affine Nonlinear System. Under the assumption that the input satisfy a inequality, a sufficient condition such that the class of Non-Affine Nonlinear Systems is asymptotically stable and has limited 2L -gain was provided according to the Hamiltor Jacobi-inequality subject to the Affine Nonlinear System. Moreover, a state feedback control law was presented. Key Words: Non-affine Nonlinear Systems, 2L -gain, Inverse function 1 引言(Introduction) H¥控制方法是非线性系统的重要方法之一，文 [1-4]研究了非线性系统具有 2L 增益的充分条件及充 要条件，讨论了H¥状态反馈与输出反馈控制。文[5-7] 用H¥方法研究了不确定非线性系统的控制问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。这 些文章中采用的非线性系统模型基本都是仿射非线 性系统模型，控制输入与干扰均线性地出现在系统方 程中。但是，由于运动的复杂性与建模方法的多样性， 系统方程中控制输入呈非线性的情况常常出现。例 如，[8]中的微分方程建模法与泰勒级数展开法相结合 的建模方法所产生的系统模型就包含控制输入的高 次项，属非仿射非线性系统。已有的方法是抛弃控制 输入的高次项，将模型近似简化为仿射系统，但模型 不准确必将产生控制的不精确。 本文寻求从非仿射非线性模型直接获得使系统 具有 2L 增益且渐近稳定的状态反馈控制的方法。研究 该种非线性系统的控制无疑将推动各类模型的应用 与复杂运动系统的控制改进。 2 系统描述(System Description) 本文主要研究如下一类非仿射非线性系统： * 此项工作由厦门大学 985二期信息创新平台项目资助。 1 2( ) ( ) ( , ) ( ) x f x g x g x u h x z u w= + +ì ï é ùí = ê úï ë ûî & (2.1) 式中， 1 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )m g x u g x u g x u g x u é ù ê ú ê ú= ê ú ê ú ê úë û M 为m维向量， mu Î R ，设 0x 为系统的一个平衡点，W 为 ( )0 ,0x 的一个邻域， 2 ( , )g x u 及其一阶偏导数在W 内连续。 此处， 2 ( , )g x u 不可写为 2 ( )g x u的形式，所以系 统(2.1)不是仿射非线性系统。 3 概念与引理(Concept and lemmas) 定义 1 给定 0g > ，如果对任意的 0T > 和 [ ]2 0,L Tw Î ，系统 1( ) ( ) ( ) x f x g x z h x w= +ì í =î & 的输入输出信息满足 2 22 T T z g w< ，则称该系统的 2L 增益小于g ，其中： 2 T 0 ( ) ( )d T T z z t z t t= ò ； 2 T 0 ( ) ( )d T T t t tw w w= ò 。 647 引理 1 如果在W 内， 2 ( , )det 0g x u u ¶æ ö ¹ç ÷¶è ø 时，系统 (2.1)等价于如下系统(3.1)： 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) x f x g x Bv h x z g x Bv w - = + +ì ï é ùí = ê úï ë ûî & (3.1) 式中， 12 ( , )g x Bv u - = 为 2 ( , )g x u 的反函数， B为任一 可逆矩阵， 1 2 ( , )v B g x u -= 。 证明： 取一个可逆矩阵 B， 1 2 ( , )v B g x u -= ，(2.1)的状 态方程可化为(3.1)的状态方程。 因为在 W 内 2 ( , ) det 0 g x u u ¶æ ö ¹ç ÷¶è ø , 根据反函数组 定理，有连续唯一函数 12 ( , )g x Bv - ，使 12 ( , )u g x Bv -= 且 1 2 2( , ( , ))Bv g x g x Bv -= 。 将 12 ( , )u g x Bv -= 代入(2.1)，可得系统(3.1)。因u、 v 的值一一对应，两个系统等价。 引理2 如果在W 内， 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 的秩为 1m ( 1m m< ), 系统(2.1)可写为如下系统(3.2)： 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) x f x g x Bv h x z g x v w - = + +ì ï é ùí = ê úï ë ûî & (3.2) 式中， 1 1 1 1 ( )1 0 ( ) m m m m m B x E I - ´- ´ é ù = ê ú ë û ， 2 ( , )g x u 由 2 ( , )g x u 中的 1m 行组成，E 为行变换满足 2 2 0 ( , ) ( , ) Eg x u g x u é ù = ê ú ë û ； 2 ( , )v g x u= , 1 2 ( , )g x v - 为 2 ( , )g x u 的反函数。 证明： 因为 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 的秩为 1m ( 1m m< )，记 {s h= h 为 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 中 1m 个线性无关行的行号 }； { js = j 为行号， 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 的第 j行可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为 s中行的线性组 合 }； 则对每个 j sÎ ，有 m个方程成立： 1 2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) j hm h hi ih j g x u g x uk x u u= ¹ ¶ ¶ = ¶ ¶å 1, ,i m= L 式中， 2 ( , ) jg x u 表示 2 ( , )g x u 的第 j行。 将上面等式两边关于 iu ， 1, ,i m= L 积分得： 1 2 2 1 ( , ) ( , ) d ( ) d j hm i h i hi ih j g x u g x uu k x u u u= ¹ ¶ ¶ = ¶ ¶åò ò 1, ,i m= L 可推得： 1 2 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , , , , ) m j h h i m m i h h j g x u k g x u T x u u u ¹ = ¹ - =å L 1, ,i m= L 上面 m 个方程的左边是关于 i 不变的，且右边 1 2( , , , , )i m m iT x u u u ¹L 的自变量中只有 x是共有的，因 此 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( , ) m j h h h h j g x u k x g x u = ¹ - å 只能是 x的函数，即： 1 2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) m j h h i h h j g x u k g x u T x = ¹ - =å ( 1, ,i m= L ) 不失一般性，设 2 ( , )g x u 中没有与u无关的加项， 若有，可将其并入 f(x)。因此， ( ) 0iT x = 。 1 2 2 1 ( , ) ( , ) 0 m j h h h h j g x u k g x u = ¹ - =å 1, ,i m= L (3.3) 由此可见，通过行变换 E，可以将 2 ( , )g x u 化为 2 0 ( , )g x u é ù ê ú ë û 的形式，其中 2 ( , )g x u 为 1m 维向量且 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 的秩为 1m 。 设 2 ( , )v g x u= , 1 1 1 1 ( )1 0 ( ) m m m m m B x E I - ´- ´ é ù = ê ú ë û ，则系统 (2.1)可写为： 1( ) ( ) ( ) x f x g x Bv h x z u w= + +ì ï é ùí = ê úï ë ûî & 下面证存在反函数 12 ( , )g x v - ，使从 v 的值可推出 u的值： 因为 mu Î R ， 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 为 1m m´ 矩阵，但 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 的秩为 1m ( 1m m< ), 因此在 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 中 有 1m 列线性无关，设这些列分别是关于 iu 的偏导数， 11 2 , , , mi i i i= L 记 1 2 1 1 m i i i u u u u é ù ê ú ê ú= ê ú ê ú ê úë û M , 1 2 1 2 m m j j j u u u u - é ù ê ú ê ú= ê ú ê ú ê úë û M 则 2 1, 22 1 1 ( , )( , ) det det 0 g x u ug x u u u ¶æ ö æ ö¶ = ¹ç ÷ ç ÷¶ ¶è ø è ø ，有反函数 1 2 2( , , )g x v u -¢ ，使 11 2 2( , , )u g x v u -¢= 。当 2u 取固定值后， u 中其余分量 1u 为 ,x v 的函数，本处 2u 取 0，则 1 1 1 2 2( , ) ( , ,0)u g x v g x v - -¢= = 。 不考虑 0输出，则系统(2.1)可写为如下形式： 648 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) x f x g x Bv h x z g x v w - = + +ì ï é ùí = ê úï ë ûî & 4 主要结果(Main Result ) 定理 1 考虑系统(2.1)。在W 内， 2 ( , ) det g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 0¹ 。 如 果 存 在 1g 与 可 逆 矩 阵 B ， 使 22 2 1 1 2 ( , )u B g x ug -≤ ；并且对给定的 0g > ，存在可 微正定函数 ( )V x , 0( ) 0V x = ，当 0x x¹ 时，满足 1 T T 12 2 T T T 1( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 0 2 2 V V Vf x g x g x x x x V VBB h x h x x x g ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - + < ¶ ¶ (4.1) 式中， 2 1max(1, ) g g g = ； 则系统(2.1)的 L2增益小于g ，即 2 22 T T z g w< ；它 的非线性状态反馈控制器可由下式给出： T 1 T 2 , Vu g x BB x - æ ö¶= -ç ÷¶è ø 。 证明： 据引理 1知，此时系统(2.1)等价于系统(3.1)。设 存在可微正定函数 ( )V x , 使系统(2.1)满足公式(4.1)， 则该 ( )V x 也使系统(3.1)满足公式(4.1)。 现考虑如下系统(4.2)： 1 1 ( ) ( ) ( ) x f x g x Bv h x z v w= + +ì ï é ùí = ê úï ë ûî & % (4.2) 系统(4.2)的状态运动方程与系统(3.1)相同，因 此，当 v 取相同值时， x的运动曲线是一样的。输出 中 ( )h x 部分相同，因此，可推出该 ( )V x 可使系统(4.2) 满足公式(4.1)。 系统(4.2)是仿射非线性系统，根据仿射非线性系 统H¥理论，由上可推出 2 2 22 1 2 ( ) T T T h x z v g w= <% (4.3) 非线性状态反馈应取： T T( ) ( )VB x x x n ¶ = - ¶ 。 又因系统 (2.1)满足 22 2 1 1 2 ( , )u B g x ug -≤ ，即 2 21 2 2 1( , )g x v g n - ≤ 2 T T 1 2 2 2 T T 1 22 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) max(1, )( ( ) ( ) ) max(1, ) z h x h x g x v g x v h x h x z g n n g - -= + + = % ≤ (4.4) 根据(4.3)、(4.4)可推得： 2 22 1 1 2 22 2 2 1 2 max(1, ) max(1, ) * T T T T z zg g g w g wé ù< =ë û %≤ 所以，关于系统(2.1)有 2 22 T T z g w< 。根据引 理 1可得： T 1 1 T 2 2( , ) , Vu g x Bv g x BB x - - æ ö¶= = -ç ÷¶è ø 下面证明系统(2.1)闭环内稳定，即证如下系统 (4.5) T T 1 2 ( ) ( ) ( , ) Vx f x BB x h x z g x n- ì ¶ = -ï ¶ï í é ùï = ê úï ë ûî & (4.5) 渐近稳定。 设 0( ) 0f x = ， 0 T 0 x x V x = ¶ = ¶ ，则 0x 为(4.5)的一个 平衡点。从(4.1)可推知： 1 T T T T 2 2 T T T 1 ( ) 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 V Vf x BB x x V V VBB x x x Vg x g x h x h x x g é ù¶ ¶ -ê ú¶ ¶ë û é ¶ ¶ ¶ < - +ê ¶ ¶ ¶ë ¶ ù+ ú¶ û < 则 0 d ( ) 0( ) d V x x x t < ¹ ，系统(4.5)渐近稳定。 当外部干扰为 0，非线性状态反馈按定理 1取时， 系统(2.1)即为系统(4.5)，因此该状态反馈控制可使系 统(2.1)渐近稳定。 定理 2 考虑系统(2.1)。在W 内， 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 的 秩 为 1m ( 1m m< ) 。 如 果 存 在 1g ， 使 2 22 1 1 2 ( , )u g x ug≤ ；并且对给定的 0g > ，存在可微 正定函数 ( )V x , 0( ) 0V x = ，当 0x x¹ 时，满足 1 T T 12 2 T T T 1( ) ( ) ( ) 2 1 1 ( ) ( ) 0 2 2 V V Vf x g x g x x x x V VBB h x h x x x g ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - + < ¶ ¶ (4.6) 式中， 2 1max(1, ) g g g = ； 1 1 1 1 ( )1 0 ( ) m m m m m B x E I - ´- ´ é ù = ê ú ë û ； 2 ( , )g x u 如引理 2 中定义；则系统(2.1)的 L2增益小于g ，即 2 22 T T z g w< ；它的非线性状态反馈控制器可由下 式给出： T 1 T 1 2 , Vu g x B x - æ ö¶= -ç ÷¶è ø ， 2 0u = 。 其中 1u 、 2u 如引理 2中定义。 649 证明 因为 2 ( , )g x u u ¶æ ö ç ÷¶è ø 的秩为 1m ，由引理 2 可 知：当 2u 的值取为 0， 1 1 1 1 ( )1 0 ( ) m m m m m B x E I - ´- ´ é ù = ê ú ë û ； 2 ( , )g x u 、 v 、 1u 如引理 2中定义时，系统(2.1)可写为系统(3.2) 的形式。此时， 2 T T 1 1 T 2 T 1 2 2 2 T T 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) max(1, )( ( ) ( ) ) z h x h x u x v u x v h x h x g x u g x u h x h x g g n n = + + + ≤ ≤ (4.7) 同定理 1 的证明，当取 T T( ) ( )VB x x x n ¶ = - ¶ 时， 该状态反馈可使系统(4.2)满足公式(4.3)。 系统(3.2)的状态运动方程与系统(4.2)相同，仅输 出 z不同。因此，当系统(3.2)的n 取 T T( ) ( )VB x x x ¶ - ¶ 时， 根据(4.3)、(4.7)可得： 2 22 1 1 2 22 2 2 1 2 max(1, ) max(1, ) * T T T T z zg g g w g wé ù< =ë û %≤ 由引理 2知，此时系统(2.1)应采用的状态反馈控 制器为 T 1 T 1 2 , Vu g x B x - æ ö¶= -ç ÷¶è ø ， 2 0u = 。 系统(2.1)闭环渐近稳定性的证明方法与定理 1相 同，此处省略。 推论 1 若系统(2.1)满足定理 2中条件，则当采 用定理 2中的H¥控制方法时，u中只有 1m 个控制是 必需的。 证明：设计n 使系统(3.2)的 2L 增益小于 2g 且渐 近稳定。根据n 的值获得 1u 的值，可使系统(2.1)的 2L 增益小于g 且渐近稳定。 由引理 2 的证明可知 2u 的值取为 0， 1 1 2 ( , )u g x v -= 。因此，只有 1u 的 1m 个控制是必需的。 5 例子(Examples) 例 1 1 3 215 ( 8) 2 6 ux x xw æ ö= - + + + ç ÷ è ø & ， 2x z u é ù = ê ú ë û ， x=0 是平衡点， 1 3 2 2 ( , ) ( 8) 6 ug x u x æ ö= + ç ÷ è ø 。设 {Ω x= }[ 6,6], [ 6,6]uÎ - Î - ，取 B =1，则根据引理 1， 1 3 2( 8) 6 uv x æ ö= + ç ÷ è ø ，经计算可得在W 内， 2 2 2 2 2 2 3 3 ( , ) 2 2 u v g x uæ ö æ ö< =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ， 所以可取 1 3 2 g = 。 此外， 2 1 13 g" > , 取 2( ) 2V x x= ，满足 T T 2 2 22 2 1 1 1( 5 ) * 4 0 2 4 2 V V V V Vx x x x x x x g g æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - + - + <ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø 因此， 1 2 3 1max(1, ) * * 2 13 g g g= > ； 从定理 1可推知：当取非线性状态反馈控制器为 3 2 24 ( 8) xu x é ù- = ê ú+ë û 时， 2 22 T T z g w< 。 例 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 024 12 1 4 5 3 ( ) 4 ( ) x x x x x x x u u u u w é ù- +é ù é ù = +ê úê ú ê ú ë ûë û ë û é ùæ ö+ +ç ÷ê ú+ è øê ú ê ú+ë û & & 2 1 2 1 2 1 2 2 x x z u u é ù+ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ë û 取 1 2 1 21 5 53 3 4 4 0 1 x x x x E- é ùæ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷ê ú= è ø è øê ú ê úë û ， 则 1 2 5 3 4 1 x x B é ùæ ö+ç ÷ê ú= è øê ú ê úë û ； 21 2v u u= + ； 按引理 2 中方法，取 1 1u u= 、 2 2 0u u= = ，则 2 2 1 2 1( , )g x u u u u= + = ， 2 1 ( , ) det 1 0 g x u u æ ö¶ = ¹ç ÷¶è ø 且 2 2 1 2 ( , )u g x u= ， 1 1g = 。 0是系统平衡点，取 2 21 2 1 2 1( , ) 2 2 V x x x x= + , 则 2 T 1 2 22 21 024 12 1 10 41 42 x xV V V x x xx g æ öé ù- + é ù¶ ¶ ¶é ù+ ç ÷ê ú ê ú ë û¶ ¶ ¶ë ûë û è ø 2T 21 2 1 2 1 2 5 31 5 1 13 1 24 2 4 2 21 x xV Vx x x x x x é ù+¶ ¶é ù æ öê ú- + + +ç ÷ê úê ú¶ ¶ë û è ø ë û 2 2 2 2 4 1 1 2 12 2 9 5 1 2124 6 2 12 2 32 x x x x g é ù æ ö -æ ö æ ö< - + + - +ê ú ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è øê ú è øë û 因此，当取 { }1 2 1[ 5,5], ,x x R u RW = Î - Î Î 时，对给定 的 2 1 12 g > ，上式小于 0，即满足公式(4.6)。 从定理 2 可推知： 2 1 1* max(1, ) 12 g g g= > ，当取非 线性状态反馈控制器为： 2 1 1 2 2 5 3 4 4 0 x x x x u é ùæ ö- + +ç ÷ê ú= è øê ú ê úë û 时， 2 22 T T z g w< 。 650 6 小结(Conclusion) 通过论证，本文得出了系统方程中控制输入非线 性的一类非仿射非线性系统的H¥控制方法。推论还 表明有些输入控制可以起调节作用，但并不都是必须 的。本文有助于非仿射非线性系统及其不确定性的深 入研究。 参考文献(References) [1] 申铁龙. 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