求数列通项公式的方法 求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ，所以数列 的通项公式为 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 得 则 所以数列 的通项公式为 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解： 两边除以 ，得 ， 则 ，故 因此 ， 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。 三、累乘法 例5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 ，则 ，故 所以数列 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。 例6已知数列 满足 ，求 的通项公式。 解：因为 ① 所以 ② 用②式－①式得 则 故 所以 ③ 由 ， ，则 ，又知 ，则 ，代入③得 。 所以， 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。 四、待定系数法 例7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设 ④ 将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得 ⑤ 由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。 例8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设 ⑥ 将 代入⑥式，得 整理得 。 令 ，则 ，代入⑥式得 ⑦ 由 及⑦式， 得 ，则 ， 故数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，因此 ，则 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。 五.利用递推恒等式： 例4.已知 是正数组成的数列， ，且点 在函数 的图像上． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足 ， ，求证： ．（08福建卷．文20） 六.取倒数法: 例5.已知数列 的首项 ， ， ． （Ⅰ）证明：数列 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ．（08陕西卷．文20） 类题演练1.已知数列 的首项 ， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的 ， ， ； （Ⅲ）证明： ．（08陕西卷．理22） 七、对数变换法 例10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得 ⑩ 设 将⑩式代入式，得 ，两边消去 并整理，得 ，则 ，故 代入式，得 由 及式， 得 ， 则 ， 所以数列 是以 为首项，以5为公比的等比数列，则 ，因此 则 。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。 八、迭代法 例11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 又 ，所以数列 的通项公式为 。 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用对数得 ，即 ，再由累乘法可推知 ，从而 。 九、数学归纳法 例12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 及 ，得 由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当 时， ，所以等式成立。 （2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时， 由此可知，当 时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立。 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：令 ，则 故 ，代入 得 即 因为 ，故 则 ，即 ， 可化为 ， 所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此 ，则 ，即 ，得 。 评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。
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