2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第12章 反比例函数 一、选择题 1. （2011广东汕头，6，4分）已知反比例函数 的图象经过（1，－2）．则 ． 【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】－2 2．（2011湖南邵阳，5，3分）已知点（1,1）在反比例函数 （k为常数，k≠0）的图像上，则这个反比例函数的大致图像是（ ） 【答案】C提示：反比例函数过第一象限（也可由点（1,1）求得k=1），故选C。 3. （2011江苏连云港，4，3分）关于反比例函数 的图象，下列说法正确的是（ ） A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称 【答案】D 4. （2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数 的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为 A．1 B．－3 C．4 D．1或－3 【答案】D 5. （2011湖南怀化，5，3分）函数 与函数 在同一坐标系中的大致图像是 【答案】D 6. （2011江苏淮安，8，3分）如图，反比例函数 的图象经过点A(-1,-2).则当x＞1时，函数值y的取值范围是（ ） A.y＞1 B.0＜y＜1 C. y＞2 D.0＜ y＜2 【答案】D 7. （2011四川乐山10，3分）如图（6），直线 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则 A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 8. （2011湖北黄石，3，3分）若双曲线y= 的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 A.k＞ B. k＜ C. k= D. 不存在 【答案】B 9. （2011湖南邵阳，5，3分）已知点（1,1）在反比例函数 （k为常数，k≠0）的图像上，则这个反比例函数的大致图像是（ ） 【答案】C 10. （2011贵州贵阳，10，3分）如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x的取值范围是 （第10题图） （A）-1＜x＜0 （B）-1＜x＜1 （C）x＜-1或0＜x＜1 （D）-1＜x＜0或x＞1 【答案】C 11. （2011广东茂名，6，3分）若函数 的图象在其象限内 的值随 值的增大而增大，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 12．（2011江苏盐城，6，3分）对于反比例函数y = ，下列说法正确的是 A．图象经过点（1，-1） B．图象位于第二、四象限 C．图象是中心对称图形 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 【答案】C 13. （2011山东东营，10，3分）如图,直线 和双曲线 交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（ ） A. S1＜S2＜S3 B. S1>S2>S3 C. S1=S2>S3 D. S1=S2
0 4. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y= (k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 . 【答案】6或﹣6. 5. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 【答案】（＋1，－1） 6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的 轴于点 ，斜边 ,反比例函数 的图像经过 的中点 ，且与 交于点 ,则点 的坐标为 . 【答案】 7. (2011浙江绍兴，13，5分) 若点 是双曲线 上的点，则 （填“>”,“<”“=”）. 【答案】> 8. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= EQ \f(k,x) ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′. （1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 . （2）设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 . 【答案】（1）(4，0)；（2）4≤t≤2或－2≤t≤－4 9. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________. 【答案】 10．（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A的坐标为（ ，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y= （k>0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD，以点C为圆心，CA的 倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”） 【答案】相交 11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数 的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】x＞1 12. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系 中，已知反比例函数 满足：当 时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线 都经过点P，且 ，则实数k=_________. 【答案】 . 13. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数 经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（ ）的圆内切于△ABC，则k的值为 ． 【答案】4 14. （2011广东省，6，4分）已知反比例函数 的图象经过（1，－2）．则 ． 【答案】－2 1 5. (2011江苏南京，15，2分)设函数 与 的图象的交战坐标为（a，b），则 的值为__________． 【答案】 16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数 （k是常数，k≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是__________． 【答案】 17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D在双曲线y= 上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=_____． 【答案】12 18. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A在双曲线 上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______． 【答案】－4 19. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y= 的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 。 【答案】k<- 20．（2011湖南常德，3，3分）函数 中自变量 的取值范围是_______________. 【答案】 21. （2011湖南永州，7，3分）若点P1(1，m)，P2（2，n）在反比例函数 的图象上，则m_____n(填“＞”、“＜”或“=”号）． 【答案】＜ 22. （2011内蒙古乌兰察布，17，4分）函数 , 的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ② 当 时， ③ 当 时， BC = 8 ④当 逐渐增大时， 随着 的增大而增大， 随着 的增大而减小．其中正确结论的序号是＿ . 【答案】①③④ 23. （2011广东中山，6,4分）已知反比例函数 的图象经过（1，－2）．则 ． 【答案】－2 24. （2011湖北鄂州，4，3分）如图：点A在双曲线 上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______． 【答案】－4 25. （2010湖北孝感，15，3分） 如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上， 且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为 . 【答案】2 26. （2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线 经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与 轴正半 轴的夹角，AB∥ 轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是 . 【答案】2 27. 三、解答题 1. （2011浙江省舟山，19，6分）如图，已知直线 经过点P（ ， ），点P关于 轴的对称 点P′在反比例函数 （ ）的图象上． （1）求 的值； （2）直接写出点P′的坐标； （3）求反比例函数的解析式． 【答案】（1）将P（-2，a）代入 得a=-2×(-2)=4; (2) P′（2，4） （3）将P′（2，4）代入 得4= ，解得k=8，∴反比例函数的解析式为 ． 2. （2011安徽，21，12分）如图，函数 的图象与函数 （ ）的图象交于A、B两点，与 轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）． （1）求函数 的表达式和B点的坐标； （2）观察图象，比较当 时， 与 的大小. 【答案】（1）由题意，得 解得 ∴ ; 又A点在函数 上，所以 ，解得 , 所以 ; 解方程组 得 , ． 所以点B的坐标为（1, 2）． （2）当x=1或x=2时，y1=y2； 当1＜x＜2时，y1＞y2； 当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2． 3. （2011广东广州市，23，12分） 已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y = 的图象上，且sin∠BAC= ． （1）求k的值和边AC的长； （2）求点B的坐标． 【答案】（1）把C（1，3）代入y = 得k=3 设斜边AB上的高为CD，则 sin∠BAC== ∵C（1，3） ∴CD=3，∴AC=5 （2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有： AD==4，AO=4－1=3 ∵△ACD∽ABC ∴AC2=AD·AB ∴AB== ∴OB=AB－AO=－3= 此时B点坐标为（，0） 图1 图2 当点B在点A左侧时，如图2 此时AO=4＋1=5 OB= AB－AO=－5= 此时B点坐标为（－，0） 所以点B的坐标为（，0）或（－，0）． 4. （2011山东菏泽，17（1），7分）已知一次函数 与反比例函数 ，其中一次函数 的图象经过点P( ，5)． ①试确定反比例函数的表达式； ②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标 【答案】解：因一次函数y=x＋2的图象经过点P(k，5)， 所以得5=k＋2，解得k=3 所以反比例函数的表达式为 （2）联立得方程组 解得 或 故第三象限的交点Q的坐标为(－3，－1) 5. （2011山东济宁，20，7分）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于 点，过 点作 轴的垂线，垂足为 ，已知 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式； （2）如果 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 与点 不重合），且 点的横坐标为1，在 轴上求一点 ，使 最小. 【答案】（1） 设 点的坐标为（ ， ），则 .∴ . ∵ ,∴ .∴ . ∴反比例函数的解析式为 . 3分 (2) 由 得 ∴ 为（ ， ）. 4分 设 点关于 轴的对称点为 ，则 点的坐标为（ ， ）. 令直线 的解析式为 . ∵ 为（ ， ）∴ ∴ ∴ 的解析式为 . 6分 当 时， .∴ 点为（ ， ）.…………………………7分 6. （2011山东泰安，26 ，10分）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。 （1）求一次函数和反比全例函数的表达式。 （2）在x轴上存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。 【答案】（1）∵直线y=k1x+b过A（0，-2），B（1，0） ∴ ∴ ∴一次函数的表达式为y=2x-2 设M（m,n），作MD⊥x轴于点D ∵S△OBM=2 ∴OB·MD=2 ∴n=2 ∴n=4 将M（m，4）代入y=2x-2得：4=2m-2 ∴m=3 ∵4= ∴k2=12 所以反比例函数的表达式为y= (2)过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P ∵MD⊥BP ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO ∴tan∠PMD= tan∠MBD= tan∠ABO===2 ∴在Rt△PDM中，=2 ∴PD=2MD=8 ∴PO=OD+PD=11 ∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0） 7. （2011山东烟台，22,8分）如图，已知反比例函数 （k1＞0）与一次函数 相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的 面积为1，且tan∠AOC＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？ 【答案】解（1）在Rt△OAC中，设OC＝m. ∵tan∠AOC＝ ＝2， ∴AC＝2×OC＝2m. ∵S△OAC＝ ×OC×AC＝ ×m×2m＝1， ∴m2＝1 ∴m＝1（负值舍去）. ∴A点的坐标为（1，2）. 把A点的坐标代入 中，得 k1＝2. ∴反比例函数的表达式为 . 把A点的坐标代入 中，得 k2＋1＝2， ∴k2＝1. ∴一次函数的表达式 . （2）B点的坐标为（－2，－1）. 当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2. 8. （2011浙江省，18，8分）若反比例函数 与一次函数 的图象都经过点A（a,2） (1)求反比例函数 的解析式； (2) 当反比例函数 的值大于一次函数 的值时，求自变量x的取值范围． 【答案】(1)∵ 的图象过点A（a,2） ∴ a=3 ∵ 过点A（3,2） ∴ k=6 ∴ (2) 求反比例函数 与一次函数 的图象的交点坐标，得到方程： 解得：x1= 3 , x2= -1 ∴ 另外一个交点是（-1，-6） ∴ 当x<-1或00）的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为 . （1）求k和m的值； （2）点C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围； （3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值. 【答案】（1）∵A(2，m) ∴OB=2 AB=m ∴S△AOB= •OB•AB= ×2×m= ∴m= ∴点A的坐标为（2， ） 把A（2， ）代入y= ，得 = ∴k=1 （2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y= 又 ∵反比例函数y= 在x>0时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为 ≤y≤1。 （3） 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2 。 10．（2011四川重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ (m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝． (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC的面积． 【答案】(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝ ，OA＝5， ∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝ ＝＝ ， ∴AD＝4，DO＝=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)， 将A的坐标为(－3，4)代入y＝ ，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y＝－， ∵点B在反比例函数y＝－的图象上，∴n＝－＝－2，点B的坐标为(6，－2)，∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过A、B两点， ∴，∴eq \b\lc\{(\a\al\co(k＝－，,, b＝2)) ∴该一次函数解析式为y＝－x＋2． (2)在y＝－x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3， ∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3， 又DA=4， ∴S△AOC＝×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6． 11. （2011浙江省嘉兴，19，8分）如图，已知直线 经过点P（ ， ），点P关于 轴的对称点P′在反比例函数 （ ）的图象上． （1）求点P′的坐标； （2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围． 【答案】（1）将P（-2，a）代入 得a=-2×(-2)=4，∴P′（2，4）． (2) 将P′（2，4）代入 得4= ，解得k=8，∴反比例函数的解析式为 ． 自变量x的取值范围x<0或x>4． 12. （2011江西，19，6分）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。 ⑴求点D的坐标； ⑵求经过点C的反比例函数解析式. 【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°， 所以AB= = =5. 因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5， 所以OD=AD-AO=1, 因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为（-1,0）. (2)设反比例函数解析式为 . 因为BC=AB=5，OB=3, 所以点C的坐标为（-3，-5）. 因为反比例函数解析式 经过点C, 所以反比例函数解析式为 . 13. （2011甘肃兰州，24，7分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 （x>0）的图象交于点P，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、点D，且S△DBP=27， 。 （1）求点D的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 【答案】（1）D（0，3） （2）设P（a，b），则OA=a，OC= ，得C（ ，0） 因点C在直线y=kx+3上，得 ，ka=－9 DB=3－b=3－(ka+3)=－ka=9，BP=a 由 得a=6，所以 ，b=－6，m=－36 一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 （3）x>6 14. （2011江苏宿迁,26,10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B． （1）判断P是否在线段AB上，并说明理由； （2）求△AOB的面积； （3）Q是反比例函数y＝ （x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB． 【答案】 解：（1）点P在线段AB上，理由如下： ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90° ∴AB是⊙P的直径 ∴点P在线段AB上． （2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2 是△AOB的中位线，故S△AOB＝ OA×OB＝ ×2 PP1×PP2 ∵P是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的任意一点 ∴S△AOB＝ OA×OB＝ ×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12． （3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12． ∴OA·OB＝OM·ON ∴ ∵∠AON＝∠MOB ∴△AON∽△MOB ∴∠OAN＝∠OMB ∴AN∥MB． 15. （2011山东聊城，24，10分）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数 （x>0）图象于点A、B，交x轴于点C． （1）求m的取值范围； （2）若点A的坐标是（2，－4），且 ，求m的值和一次函数的解析式； 【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2；（2）因点A(2，－4)在反比例函数图象上，所以－4＝ ，解得m＝6，过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°，又因为∠BCN＝∠AMC，所以△BCN∽△ACM，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，因为AM＝4，所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y＝－1时，x＝8，所以点B的坐标为（8，－1），因为一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2，－4)，B(8，－1)，所以 ，解得 ，所以一次函数的解析式为y＝ x－5 16. （2011四川成都，19,10分） 如图，已知反比例函数 的图象经过点（ ，8），直线 经过该反比例函数图象上的点Q(4， )． (1)求上述反比例函数和直线的函数表达式； (2)设该直线与 轴、 轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积． 【答案】解：（1）由反比例函数的图象经过点（ ，8），可知 ，所以反比例函数解析式为 ，∵点Q是反比例函数和直线 的交点，∴ ，∴点Q的坐标是（4，1），∴ ，∴直线的解析式为 . （2）如图所示：由直线的解析式 可知与 轴和 轴交点坐标点A与点B的坐标分别为（5，0）、（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC⊥ 轴，垂足为C，过点Q作QD⊥ 轴，垂足为D， ∴S△OPQ=S△AOB-S△OAQ-S△OBP = ×OA×OB- ×OA×QD- ×OB×PC = ×25- ×5×1- ×5×1= . 17. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=－x+l，直线l2的方程为y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线 与直线l1的另一交点为Q（3．M）. （1）求双曲线的解析式． （2）根据图象直接写出不等式 ＞－x+l的解集． 【答案】解：（1）依题意： 解得： ∴双曲线的解析式为：y= （2）－2＜x＜0或x>3 18. （2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数 与反比例函数 相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D， 且S△BDO=4。过点A的一次函数 与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。 （1）求正比例函数 、反比例函数 和一次函数 的解析式； （2）结合图像，求出当 时x的取值范围。 【答案】（1）设B（p，q），则 又S△BDO= =4，得 ，所以 ，所以 得A(4，2) ，得 ，所以 由 得 ，所以 （2） 或 19. （2011四川宜宾,21,7分）如图，一次函数的图象与反比例函数 （x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值． （1）求一次函数的解析式； （2）设函数 （x＞0）的图象与 （x＜0）的图象关于y轴对称，在 （x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标． 【答案】解：⑴∵ 时，一次函数值大于反比例函数值，当 时，一次函数值小于反比例函数值． ∴A点的横坐标是-1，∴A（-1,3） 设一次函数解析式为 ，因直线过A、C 则 解得 ∴一次函数的解析式为 ． ⑵∵ 的图象与 的图象关于y轴对称， ∴ ∵B点是直线 与y轴的交点，∴B（0,2） 设P(n， )， ，S四边形BCQP=S梯形BOQP-S△BOC=2 ∴ ， ， ∴P（ ， ） 20．(2011重庆綦江，23，10分)如图，已知A（4，a），B（－2，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象 和反比例函数 的图象的交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积. 【答案】：解: （1）将B(－2，－4）代入 ，解得 m＝8 ∴反比例函数的解析式为 ，又∵点A在 图象上，∴a＝2 即点A坐标为(4，2) 将A(4，2)； B(－2，－4）代入y＝kx＋b得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x－2 (2)设直线与x轴相交于点C，则C点的坐标为（2，0） （平方单位） 注：若设直线与y轴相交于点D,求出D点坐标（0，－2）， （平方单位）同样给分. 21. （2011江西南昌，19，6分）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）。 ⑴求点D的坐标； ⑵求经过点C的反比例函数解析式. 【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°， 所以AB= = =5. 因为四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5， 所以OD=AD-AO=1, 因为点D在y轴负半轴，所以点D的坐标为（-1,0）. (2)设反比例函数解析式为 . 因为BC=AB=5，OB=3, 所以点C的坐标为（-3，-5）. 因为反比例函数解析式 经过点C, 所以反比例函数解析式为 . 22. （2011江苏南通，28，14分）（本小题满分14分） 如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝ （x＞0）交于点B(2，1)，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝ （x＞0）和y＝－ （x＜0）于M，N两点. （1）求 m的值及直线l的解析式； （2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝ 上， ∴ ，得m＝2. 设直线l的解析式为y＝kx＋b ∵直线l过A(1，0)和B(2，1) ∴ ，解得 ∴直线l的解析式为y＝x－1. (2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1） 在直线l上，如图. ∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上， ∴p－1＝2，解得p＝3 ∴P(3，2) ∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2 把y＝2分别代入双曲线y＝ 和y＝ ，得M(1,2),N(-1,2) ∴ ，即M是PN的中点， 同理：B是PA的中点， ∴BM∥AN ∴△PMB∽△PNA. （3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1）， ∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1） 把y＝p－1分别代入双曲线y＝ （x＞0）和y＝－ （x＜0）， 得M的横坐标x＝ 和N的横坐标x＝－ （其中p＞1） ∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上， ∴ ,得MN=4PM 即 ＝4(p－ )，整理得：p2－p－3＝0， 解得：p＝ 由于p＞1，∴负值舍去 ∴p＝ 经检验p＝ 是原题的解， ∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM， p的值为 . 23. （2011山东临沂，24，10分)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝ 的图象交于A（2，3），B（－3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞ 的解集______________； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 【解】（1）∵点A（2，3）在y＝ 的图象上， ∴m＝6，……………………………………………………………………………（ 1分） ∴反比例函数的解析式为y＝ ， ∴n＝ ＝－2，……………………………………………………………………（2分） ∵点A（2，3），B（－3，－2）在y＝kx＋b的图象上， ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为y＝x＋1．…………………………………………………（4分） （2）－3＜x＜0或x＞2；……………………………………………………………（7分） （3）方法一：设AB交x轴于点D，则D的坐标为（－1,0）， ∴CD＝2，………………………………………………………………………（ 8分） ∴S△ABC＝S△BCD＋S△ACD ＝ ×2×2＋ ×2×3＝5．……………………………………………（ 10分） 方法二：以BC为底，则BC边上的高为3＋2＝5，…………………（ 8分） ∴S△ABC＝ ×2×5＝5．………………………………………………（ 10分） 24. （2011四川绵阳，21，12）右图中曲线是反比例函数y= 的图像的一支。 （1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若一次函数y= 的图像与反比例函数图像交于点A，与x交于B，△AOB的面积为2，求n的值。 【答案】（1）第四象限，n＜-7 （2）∵y= 与x轴的交点是y=0，∴B点坐标为（2，0）又∵△AOB面积是2 ，∴A点纵坐标是2，代入y= 可得A点横从标是-1，所以n+7= -2,n= -9 25. （2011湖南衡阳，25，8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0， )，B(2，0)直线AB与反比例函数 的图像交与点C和点D（-1，a）． (1)求直线AB和反比例函数的解析式； (2)求∠ACO的度数； (3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转 α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长． 【解】(1)设直线AB的解析式为 ，将A(0， )，B(2，0)代入解析式 中，得 ，解得 ．∴直线AB的解析式为 ；将D（-1，a）代入 得 ，∴点D坐标为（-1， ），将D（-1， ）代入 中得 ，∴反比例函数的解析式为 ． (2)解方程组 得 ， ，∴点C坐标为（3， ）， 过点C作CM⊥ 轴于点M，则在Rt△OMC中， ， ，∴ ，∴ ， 在Rt△AOB中， = ，∴ ， ∴∠ACO= ． (3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°， ∴ = ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′= =60°， ∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°，∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°， ∴∠AOB′=∠OAB， ∴AB′= OB′=2． 答：当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2． 26. （2011广东肇庆，23，8分）如图，一次函数 的图象经过点B（ ，0），且与反比例函数 （ 为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点 （1， ）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）当 时，反比例函数 的取值范围． 【答案】解：（1）将点B（ ，0）代入 得： ∴b＝1. ∴一次函数的解析式是 ∵点 （1， ）在一次函数 的图象上，将点 （1， ）代入 得： ＝1+1，∴ ＝2 即点 的坐标为（1，2），代入 得： ，解得： ∴反比例函数 的解析式是 (2）对于反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减少， 而当 时， ；当 时， ∴当 时，反比例函数 的取值范围是 27. （2011湖北襄阳，18，5分） 已知直线 与双曲线 交于点P（－1，n）. （1）求m的值； （2）若点 ， 在双曲线 上，且 ，试比较 ， 的大小. 【答案】 （1）∵点P（－1，n）在直线 上，∴ . 1分 ∵点P（－1，n）在双曲线 上，∴ ，即m＝2. 3分 （2）∵ ，∴当x＜0时，y随x的增大而增大 又∵点 ， 在双曲线 上，且 ， ∴ ＜ . 5分 28. (20011江苏镇江,28,10分)在平面直角坐标系xOy中,直线 过点A(1,0)且与y轴平行,直线 过点B(0,2)且与x轴平行,直线 与 相交于P.点E为直线 一点,反比例函数 (k>0)的图象过点E且与直线 相交于点F. (1)若点E与点P重合,求k的值; (2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积2倍,求点E的坐标; (3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】 （1）k=1×2=2. （2）当k>2时，如图，点E、F分别在P点的右侧和上方过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于G，则四边形OCGD为矩形。 ∵ PF⊥PE. ∴ 四边形OCGD为矩形 ∴ =2 = 解得k=6或2.因为k=2时,E、F重合,所以k=6. 所以E点的坐标为(3,2) （3）存在点E及y轴上的点M,使得△MEF与△PEF全等 ①当k<2时，如图，只可能△MEF≌△PEF。 作FH⊥y轴于H， △FHM∽△MBE得： . ∵FH=1,EM=PE=1- ,FM=PF=2-k ∴ ,BM= , 在Rt△MBE中，由勾股定理得 , ∴ ,解得k= ,此时E点的坐标为（ ，2） ②当k>2时，如图 只可能只可能△MEF≌△PEF，作作FQ⊥y轴于Q， △FQM∽△MBE得： ∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE= , ∴ ,BM=2, 在Rt△MBE中，由勾股定理得 , 解得k= 或0，但k=0不符合题意，所以k= 。 此时E点的坐标为（ ，2），符合条件的E点坐标为 （ ，2）和（ ，2）。 29. （2011重庆市潼南,23,10分）如图, 在平面直角坐标系中，一次函数 (k≠0)的图象与反比例函数 (m≠0)的图象相交于A、B两点． 求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）根 据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值. 【答案】解：（1）由图象可知：点A的坐标为（2， ） 点B的坐标为（-1，-1） --------------2分 ∵反比例函数 (m≠0)的图像经过点（2， ） ∴ m=1 ∴反比例函数的解析式为: ---------------------4分 ∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点（2， ）点B（-1，-1） ∴ 解得：k= b=- ∴一次函数的解析式为 ----------------------6分 (2)由图象可知：当x＞2 或 -1＜x＜0时一次函数值大于反比例函数值 --- -----10分 30. （2011贵州安顺，23，10分）如图，已知反比例函数 的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点C（n，一2）． ⑴求直线y=ax+b的解析式； ⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长． 【答案】（1）∵点A（-1，m）在第二象限内，∴AB = m，OB = 1，∴ 即： ，解得 ，∴A (-1,4)， ∵点A (-1,4)，在反比例函数 的图像上，∴4 = ，解得 ， ∵反比例函数为 ，又∵反比例函数 的图像经过C（n， ） ∴ ，解得 ，∴C (2,-2)， ∵直线 过点A (-1,4)，C (2,-2) ∴ 解方程组得 ∴直线 的解析式为 ； （2）当y = 0时，即 解得 ，即点M（1，0） 在 中，∵AB = 4，BM = BO +OM = 1+1 = 2， 由勾股定理得AM= ． 31. （2011湖南湘潭市，23，8分）（本题满分8分） 如图，已知一次函数 的图像与 轴， 轴分别交于A（1，0）、B（0，－1）两点，且又与反比例函数 的图像在第一象限交于C点，C点的横坐标为2. ⑴ 求一次函数的解析式； ⑵ 求C点坐标及反比例函数的解析式. 【答案】解：（1）由题意得： ，解得 ， 所以一次函数的解析式为y=x-1。 （2）当x=2时，y=2-1=1，所以C点坐标为（2,1）；又C点在反比例函数 图象上，所以 ，解得m=2，所以反比例函数的解析式为： 。 32.
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