2006年天津市大学数学竞赛试题 Lyndon-Xia 天津市大学数学竞赛试题集 2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。） 1. 函数 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 2. 设函数y = y(x) 由方程 所确定，则 。 3. 由曲线 与x轴所围成的图形的面积A = 。 4. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。 5．设L是顺时针方向的椭圆 ，其周长为l ，则 4l 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 若 且 ，则（ D ） （A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C均不正确。 2. 设 ， ，则当 时，（ A ） （A） 与 为同阶但非等价无穷小； （B） 与 为等价无穷小； （C） 是比 更高阶的无穷小； （D） 是比 更低阶的无穷小。 3. 设函数 对任意x都满足 ，且 ，其中a、b均为非零常数，则 在x = 1处（ D ） （A）不可导； （B）可导，且 ； （C）可导，且 ； （D）可导，且 。 4. 设 为连续函数，且 不恒为零，I= ，其中s > 0，t > 0，则I的值（ C ） （A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关； （C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。 5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，则（ B ）。 （A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。 以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。 三、求极限 。（本题6分） 解： ； ； ； 由此得到： 。 四、计算 。（本题6分） 解： 命： ，于是 五、设函数 的所有二阶偏导数都连续， ， ，求 。（本题6分） 解： 两边对x求导，得到 代入 ，求得 ， 两边对x求导，得到 ， 两边对x求导，得到 。 以上两式与已知 联立，又二阶导数连续，所以 ，故 。 六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分） 解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为 则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。 设 ， 问题转化成求 在 上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y > z，而由假设x + y + z = 2p，即 z = 2p－（x + y），故有x + y > z = 2p－（x + y），所以有x + y > p。 由 ， 求出 在D内的唯一驻点 。因 在有界闭区域 上连续，故 在 上有最大值。注意到 在 的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故 在D内取得它在 上的最大值。由于 在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有 ， 此时x = y = z = ，即三角形为等边三角形。 七、计算 。（本题8分） 解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到 。 八、计算曲面积分 ，其中Σ为上半球面 的上侧。（本题7分） 解：记S为平面z = 0（ x2 + y2 ≤ a2 )的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域， 九、已知a>0，x1>0，定义 求证： 存在，并求其值。（本题8分） 解：第一步：证明数列 的极限存在： 注意到：当n ≥ 2时， ≥ ，因此数列 有下界。又 ≤ ，即xn+1≤xn ，所以 单调递减，由极限存在准则知，数列 有极限。 第二步：求数列 的极限 设： ，则有 ≥ 。 由 ， 有 ，解得 （舍掉负根），即 。 十、证明不等式 。（本题7分） 证明：设 ，则 。 命 ，得到驻点 x = 0。由 可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为 ，于是对任意 有 ，即所证不等式成立。 十一、设函数 在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且 ，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点 ，使得 。（本题7分） 证明：由积分中值定理知，存在 ，使得 又函数 在区间 上连续， 内可导，由罗尔定理知，至少存在一点 ，使得 。 十二、设 在区间 上具有二阶导数，且 ， ， 。证明 。（本题8分） 证明：对任意的 ，及任意的h > 0，使x + h ∈ (a，+∞)，于是有 ，其中 。 即 故 ，（ ，h > 0） 命 ，试求其最小值。 命 ，得到 ， ， 所以， 在 处得极小值，亦即最小值， 。 故 ，（ ）。 2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1． 。 2．设摆线方程为 则此曲线在 处的法线方程为 。 3． 。 4．设 在点(－1,1)处沿方向 的方向导数 。 5．设Σ为曲面 介于0≤Z≤R的部分，则 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 曲线 的渐近线有（ B ） （A） 1条； （B） 2条； （C） 3条； （D） 4条。 2. 若 ，则当n>2时 （ A ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 3. 已知函数f (x)在（－∞，+∞）内有定义，且x0是函数f (x)的极大值点，则（ C ） （A）x0是f (x)驻点； （B）在（－∞，+∞）内恒有f (x)≤f (x0)； （C）－x0是－f (－x)的极小值点； （D）－x0是－f (x)的极小值点。 4. 设 ，则z = z (x,y)在点（0，0）（ D ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微； （C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在。 5. 设 ，其中Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0则 （ D ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、已知极限 ，试确定常数n和C的值。（本题6分） 解： ， 故 。 四、已知函数f (x) 连续， ，求 。（本题6分） 解：命u = t － x，则当 t = 0 时，u = －x；t = x 时，u = 0，于是 五、设方程 ， ⑴ 当常数a ，b满足何种关系时，方程有唯一实根？ ⑵ 当常数a ，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分） 解：设 ，－∞ 0时 ，因而 在区间(0,1)内单调减少，即 ，于是有 ，即 。 十二、设C是取正向的圆周 ，f (x)是正的连续函数，证明： （本题8分） 证明：由格林公式有 ， 其中D是由 ( x – 1 )2 + ( y – 1 )2 = 1所围成的区域。而 ， ， 即 ， 所以 。 2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设对一切实数x和y,恒有 ，且知 ，则 。 2．设 在x = 0处连续，则a = 。 3．设 ，其中 是由方程 所确定的隐函数，则 。 4． 。 5．曲线 在点M (1,1,1)处的切线方程为 （或 ）。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 当 时，下列无穷小量 ① ； ② ； ③ ； ④ ， 从低阶到高阶的排列顺序为（ D ） （A） ①②③④； （B） ③①②④； （C） ④③②①； （D） ④②①③。 设 ，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为（ B ） （A） 1阶； （B） 2阶； （C） 3阶； （D）4阶。 设函数 在 x = 1处有连续的导函数，又 ，则x = 1是（ B ） （A）曲线 拐点的横坐标； （B）函数 的极小值点； （C）函数 的极大值点； （D）以上答案均不正确。 设函数f，g在区间[a，b]上连续，且 （m为常数），则曲线 和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为（ A ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 设 ， 为 在第一卦限中的部分，则有（ C ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、a，b，c为何值时，下式成立 。 （本题6分） 解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用诺必达法则得到 ， 由上式可知：当 时，若 ，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则 。 综上所述，得到如下结论： ，b = 0，c = 0； 或a = 1，b = 0，c = －2。 四、设函数 ，其中 具有连续二阶导函数，且 。 ⑴ 确定a的值，使 在点x = 0处可导，并求 。 ⑵ 讨论 在点x = 0处的连续性。（本题8分） 解：⑴ 欲使 在点x = 0处可导， 在点x = 0处必须连续，于是有 即当 时， 在点x = 0处连续。 当 时， ； 当x = 0时， 故： 。 ⑵ 因为 所以， 在点x = 0处连续。 五、设正值函数 在 上连续，求函数 的最小值点。（本题6分） 解： 注意到：在 上 ，因此，当x > 1时， 。 命： ，得 ，解此方程得到唯一驻点 x = 2。 又，当 时， ；当x > 2时， ，所以 在点x = 2处取得极小值 ，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是 的最小值点，最小值为 。 六、设 ，且 ，求 。（本题6分） 解： 七、设变换 ，把方程 化为 ，试确定a 。（本题7分） 解： 计算一、二阶偏导数 代入方程 ，得到 ， 于是有 ，所以 。 八、设函数 在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分 与路径无关，并且对任意的t恒有 ，求 。（本题7分） 解：由曲线积分与路径无关知 ， 所以 ，其中 为待定函数。又 ； 。 根据题设，有 ， 上式两边对t求导，得到 ，于是知 ，即 ，故 。 九、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且 。在曲线y = f (x)上任意取一点 作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作 ，求 。（本题8分） 解： 过点 的曲线y = f (x)的切线方程为： ， 注意到：由于 ，所以当 时， 。因此，此直线在x轴上的截距为 。且 。 利用泰勒公式将 在 点处展开，得到 。 类似可得： 。代入得 十、设函数f (x)在闭区间 上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的ξ和η，使得 。 （本题7分） 证明：取数 ，由连续函数介值定理知，存在 ，使得 。在区间[0,C]与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有 显然 。 由于 ，所以 ，即 。从而 ， 注意到：若取 ，则 ，并且 ，代入得 。 十一、设 ，试证明在区间 上 有且仅有两个实根。（本题7分） 证明： 由于 是偶函数，所以 是奇函数， 是偶函数，于是知 为偶函数。 又注意到： ，（当x > 0时）。 因此，函数 在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又 为偶函数，所以 在闭区间 上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数 在闭区间 上有且仅有两个实根。 十二、设函数 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明： 其中：D为圆域 。（本题8分） 证明：取极坐标系，由 ，得到 ， 将上式两端同乘r，得到 。 于是有 由积分中值定理，有 ，其中 。 故 。 2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设函数 ，则函数 的定义域为 。 2．设要使函数 在区间 上连续，则 。 3．设函数 由参数方程 所确定，其中f可导，且 ，则 3 。 4．由方程 所确定的函数 在点 处的全微分dz = 。 5．设 ，其中 f 、 具有二阶连续导数，则 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 已知 ，则 ( A ) （A） 12； （B）3； （C） 1； （D）0。 设函数 在 的一个邻域内有定义，则在 点处存在连续函数 使 是 在 点处可导的（ C ） （A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。 设 ，则F(x)=（ D ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) 。 函数 ，在点 处 （ B ） （A）可微； （B）偏导数存在，但不可微； （C）连续，但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。 设 为区间 上的正值连续函数， 与 为任意常数，区域 ，则 （ D ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、设函数 在点 的某邻域内具有二阶导数，且 。 求： ， ， 及 。（本题6分） 解：因为 ， 所以 。 由无穷小比较，可知 ， 以及 。 从而 ，其中 ， 即 。 由此可得 ， ， 。 并有 。 四、计算 。（本题6分） 解： 五、求函数 在 点处的100阶导数值。（本题6分） 解：方法一：利用莱布尼兹公式 ， 又 由归纳法可得 。 故 。 所以 。 方法二：利用泰勒公式 ，故 ， 。 六、设 为定义在 上，以T > 0为周期的连续函数，且 。求 。（本题7分） 解：对于充分大的x > 0，必存在正整数n，使得 。 又 ， 故有 ， 及 。 注意到： ， 且当 时， 。由夹逼定理可知 。 七、在椭球面 上求一点，使函数 在该点沿方向 的方向导数最大。（本题8分） 解： 函数 的方向导数的表达式为 。 其中： 为方向 的方向余弦。因此 。 于是，按照题意，即求函数 在条件 下的最大值。设 ， 则由 得 以及 ，即得驻点为 与 。 因最大值必存在，故只需比较 ， ， 的大小。由此可知 为所求。 八、设正整数 ，证明方程 至少有两个实根。（本题6分） 证明：设 ，则其在区间 上连续，且 ， 。 因而，当 时，必存在 ，使得 。由连续函数的介值定理可知，至少有一点 ，使得 。 同理，当 时，必存在 ，使得 。由连续函数的介值定理可知，至少有一点 ，使得 。 综上可知，方程 至少有两个实根。 九、设 。证明 存在，并求之。（本题8分） 证明： 证明 存在： 注意到：对于一切的n恒有 ， ， 因此知数列 有界。又 ， ，……， ， 于是可知 与 同号，故当 时，数列 单调递增；当 时，数列 单调递减。也就是说，数列 为单调有界数列，而单调有界数列必有极限。 求 ： 设 ，则 ， 解之得 ，即 。 十、计算曲面积分 ，其中 是曲线 绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分） 解： 旋转曲面的方程为 。补充曲面 其法线向量与z轴正向相反；和 其法线向量与z轴正向相同。 设由曲面 所围空间区域为 ，则 十一、设 具有连续的偏导数，且对以任意点 为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L： ，恒有 。 证明： （本题8分） 证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有 其中： 为某一点。另一方面 。 于是有 ， 即 。 命 ，两边取极限，得到 ，由 的任意性知 ；且 ，即 。 类似 。 十二、设函数 在[0，1]上连续，且 ，试证： ⑴ ，使得 ； ⑵ ，使得 。（本题8分） 证明： ⑴ 使用反证法，即假设当 时，恒有 成立，于是有 。 因此有 ， 。 从而有 。 于是有 ，即 ，这显然与 矛盾，故 ，使得 为真。 ⑵ 仍然使用反证法。 只需证 ，使得 即可。这是显然的，因为若不然，则由 在[0，1]上的连续性知，必有 或 成立，这与 矛盾，再由 的连续性及⑴的结果，利用介值定理即可证得 ，使得 。 2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1． 1 。 2．曲线 ，在点 处的法线方程为 2x＋y－1=0 。 3．设 为连续函数，且 ，则 。 4．函数 在点 处，沿点A指向点 方向的方向导数为 。 5．设(a×b)·c = 2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)= 4 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 设函数 与 在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若 ，则 ； ⑵ 若 ，则 。 则（ B ） （A）两个命题均正确； （B）两个命题均不正确； （C）命题⑴正确，命题⑵不正确； （D）命题⑴不正确，命题⑵正确。 设函数 连续，F(x)是 的原函数，则（ A ） (A) 当 为奇函数时，F(x)必为偶函数； (B) 当 为偶函数时，F(x)必为奇函数； (C) 当 为周期函数时，F(x)必为周期函数； (D) 当 为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。 设平面 位于平面 ： 与平面 ： 之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面 的一个方程为（ D ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 设 为非零的连续函数， ，则当t→0时（ C ） （A） 与t为同阶无穷小； （B） 与t2为同阶无穷小； （C） 与t3为同阶无穷小； （D） 是比t3高阶的无穷小。 设函数 满足等式 ，且 ，则 在点 处（ A ）。 （A）取得极小值； （B）取得极大值； （C）在点 的一个邻域内单调增加； （D）在点 的一个邻域内单调减少。 三、求函数 的值域。（本题6分） 解：要求 的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数 为偶函数，故只需考虑x≥0的情况。为计算方便，命t=x2，得到 ， 显然， 与 有相同的值域。求 的驻点： 。 命 ，得到驻点 ，其对应的函数值为 ， 显然，当k=2m(m=0,1,2,…)时， ，其中最大值为 ；当k=2m+1 (m=0,1,2,…)时， ，其中最小值为 。于是得到函数 的值域，亦即函数 的值域为： 。 四、设 ，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求 。（本题6分） 解： ， 五、设二元函数 在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上 ，并满足 ，求 的表达式。（本题6分） 解：显然 满足题目条件。下面证明只有 满足题目条件。 事实上，若 不恒等于0，则至少存在一点 ，使得 ，不妨假设 ，同时，也必在D内至少存在一点 ，使 为 在D上的最大值。因为 在D上可微，所以必有 ，于是得到 。 然而，由题设知 ，因此应有 ，这与 的假设矛盾；同理可证： 的情况。 因此可知在D上 。 六、设二元函数 具有一阶连续偏导数，且 ，求 。（本题7分） 解：注意到：被积函数 ，由于此积分与路径无关，所以必有 ，即有 ， 从而有 ，代入原积分式，得到 ， 即 ， 。 将上式两端对t求导，得到： ， 即 ， 从而得到 。 七、设曲线 与 交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线 围成一平面图形，试问： ⑴ 当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？ ⑵ 最大体积为多少？（本题7分） 解：当x≥0时，由 ，解得A点的坐标为 ，故直线OA的方程为 。 于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为： 。 上式两边对a求导： 。 命 ，得到a=4。由于a=4是当 时 的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最大体积，故 在a=4时取最大值。其最大体积为： 。 八、设S为椭球面 的上半部分，点 ， 为S在点P处的切平面， 为点 到平面 的距离，求 。（本题7分） 解：设 为 上任意一点，则 的方程为 ， 从而知 。 由 ，有 ， 于是 。 所以 。 九、证明 。（本题8分） 证明：方法一（利用积分估值定理） 命 ， 对上式右端的第二个积分，取变换 ，则 ，于是 注意到：被积函数的两个因子在区间 上异号（ ， ），由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。 方法二（利用积分中值定理） 命 ， 由积分中值定理，并在区间 上取变换 ，同时注意到： ，得 十、设正值函数 在闭区间[a,b]上连续， ，证明： 。 （本题8分） 证明：化为二重积分证明。记 ，则原式 十一、设函数 在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得 。 （本题7分） 证明：将函数 在点 处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到 ； 。 两式相加得到 。 由于 连续，由介值定理知，存在 使得 ，从而得 ， 即 。 十二、设函数 在闭区间[-2,2]上具有二阶导数， ，且 ，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得 。（本题8分） 证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数 应用拉格朗日中值定理 ； 。 注意到： ，因此 ， 。 命： ，则 在区间[-2,2]上可导，且 ； ； 。 故 在闭区间 上的最大值 ，且 。由弗马定理知 。而 ， 故 。 由于 ，所以 ，从而 。 2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．若 是 上的连续函数，则a = －1 。 2．函数 在区间 上的最大值为 。 3． 。 4．由曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为 。 5．设函数 由方程 所确定，则 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 设函数f (x)可导，并且 ，则当 时，该函数在点 处微分dy是 的（ A ） （A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小； （C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。 设函数f (x)在点x = a处可导，则 在点x = a处不可导的充要条件是（ C ） （A）f (a) = 0，且 ； （B）f (a)≠0，但 ； （C）f (a) = 0，且 ； （D）f (a)≠0，且 。 曲线 （ B ） （A）没有渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线。 设 均为可微函数，且 。已知 是 在约束条件 下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ） （A）若 ，则 ； （B）若 ，则 ； （C）若 ，则 ； （D）若 ，则 。 设曲面 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且 ， ，求 。（本题6分） 解：由题设可推知f (0) = 0， ，于是有 。 故 。 四、设函数 由参数方程 所确定，求 。（本题6分） 解：由 ， ，得到 ，所以 。 而当x = 9时，由 及t > 1，得t = 2，故 。 五、设n为自然数，计算积分 。（本题7分） 解：注意到：对于每个固定的n，总有 ， 所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又 ， 于是有 ， 上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有 。所以 。 六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。（本题7分） 证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以 存在，设为A，则A≠0；又因f (x)为奇函数，所以 。 命： 则 在x = 0点处连续，从而 在 上处处连续，且 是奇函数： 当x > 0，则－x < 0， ； 当x < 0，则－x > 0， , 即 是连续的奇函数，于是 是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又 ， 即 ， 所以 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。 七、设f (u, v)有一阶连续偏导数， ， ，证明： 。 （本题7分） 解： 设： ，则 类似可得 ， 代入原式左边，得到 八、设函数f (u)连续，在点u = 0处可导，且f(0)= 0， 求： 。（本题7分） 解：记 ，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有 于是有 。 九、计算 ，其中L为 正向一周。（本题7分） 解：因为L为 ，故 其中D为L所围区域，故 为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 故D的面积为2×1=2。从而 。 十、⑴ 证明：当 充分小时，不等式 成立。 ⑵ 设 ，求 。（本题8分） 证明：⑴ 因为 ， 又注意到当 充分小时， ，所以成立不等式 。 ⑵ 由⑴知，当n充分大时有， ，故 ， 而 ，于是 ， 由夹逼定理知 。 十一、设常数 ，证明：当x > 0且x ≠ 1时， 。（本题8分） 证明：设函数 ， 故要证 ， 只需证：当 ；当 。 显然： 。 命： ，则 。 当x = 2时， ，x = 2为唯一驻点。又 ， ，所以x = 2为 的唯一极小值点，故 为 的最小值(x > 0)，即当x > 0时 ，从而 严格单调递增。 又因 ，所以当 ；当 。 十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a > R ，求此半球壳对棒的引力。（本题7分） 解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影 及 均为零。 设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为： 记 。在球坐标下计算 ，得到 若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则 。 2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 设函数 ， ，且当x→0时， 与 为等价无穷小，则a = 3 。 设函数 在 点处取得极小值，则 。 。 曲线 在点（1，1，2）处的切线方程为 。 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 设函数 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ A ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 2. 设函数 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ D ） （A）若 只有一个零点，则 必至少有两个零点； （B）若 至少有一个零点，则 必至少有两个零点； （C）若 没有零点，则 至少有一个零点； （D）若 没有零点，则 至多有一个零点。 3. 设函数 在区间 内具有二阶导数，满足 ， ，又 ，则当 时恒有（ B ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 4.考虑二元函数 在点 处的下面四条性质： ①连续； ②可微； ③ 与 存在； ④ 与 连续。 若用“P Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（ B ） （A）② ③ ①； （B）④ ② ①； （C）② ④ ①； （D）④ ③ ②。 5.设二元函数 具有一阶连续偏导数，曲线L： 过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（ C ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、已知曲线 与曲线 在点(0,0)处具有相同的切线，写出该切线方程，并求极限 。（本题6分） 解：由已知，显然有 ，且在点(0,0)处 故 因此，所求切线方程为y = x。 。 四、证明：当x > 2时， 。（本题7分） 证明：设 ， ， 。 又设： ，则 。 由拉格朗日中值定理知，存在 ，使 ， 而 ，又 ，故 。从而，当x > 2时， ， 即 单调减少，从而 。命题得证。 五、设 ，求 。（本题7分） 解：利用牛顿—莱布尼兹公式： 。 设 ， 注意到： ； ， ， 。 故 ， 于是有 。 六、设当 时， ，且 ，试确定常数a的值，使 在x = 0点处可导，并求此导数。（本题7分） 解：首先写出 在 x < 0附近的表达式：当 时， 。由 知， ， 故有 显然， 在点 x = 0处连续，且 ， ， 。 因 在x = 0点处可导的充要条件为： ，即 ， 且 。 七、设函数 在区间 内连续，且满足 ， ⑴ 求 ； ⑵ 计算 ，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分） 解：⑴ 将原等式两边对x求导，得到 ， 所以 。 命： ，于是有 。 ⑵ 因为 ， 所以 。 于是可知I与积分路径无关，从而 ， 命： ，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12。 故 。 八、求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。（本题8分） 解：设所求平面的截距式方程为 。 因平面过点(a,b,c)，故有 。 四面体体积 。 应用拉格朗日乘数法，设 ， 命： 得到 。 显然 ，否则 ，这与题意不符。代入上述第四个方程，得到 ， 从而 是唯一驻点，也是唯一最小值点。故所求平面为 。 九、设 ，计算 。（本题7分） 解：将区域D分成三块： 于是 十、设函数 ，其中 在点(0,0)的一个邻域内连续，证明： 在点(0,0)处可微的充要条件是 。（本题8分） 证明：充分性 已知 ，欲证 在点(0,0)处可微，只需证 。 注意到： ， 所以 。 又 ，由夹逼定理知 。 从而 在点(0,0)处可微，并且 。 必要性 已知 在点(0,0)处可微，故 与 都存在。而 ， 其中当 时， ；当 时， 。由于 存在，故 。 十一、计算 ，其中 为一连续函数，Σ是平面 在第四卦限部分的上侧。（本题7分） 解：化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量 ，则 其中 。 故 。 十二、设函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有 ， ，则至少存在一点 ，使得 。（本题6分） 证明：由积分中值定理知，存在 ，使 。 又 ，故若设 ，显然 满足罗尔定理的各个条件，从而至少存在一点 使 。而 ， 从而有 。 2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 设f (0)>0， ，则 1 。 设函数 由方程 所确定，则曲线 上对应于x = 0点处的切线方程为 。 。 函数 在点M (1,1,1,)处，沿曲面 在该点的外法线方向 的方向导数 。 设函数 在区域 上具有连续的二阶偏导数，C为顺时针椭圆 ，则 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 设当 时， 是比 高阶的无穷小，而 是比 高阶的无穷小，则n等于（ B ） （A）4； （B）3； （C）2； （D）1。 2. 设 是单调增的正数列， 则数列 （ A ） （A）当 时收敛； （B）当 时收敛； （C）对任意 均收敛； （D）对任意 均发散。 3. 设 ，则函数 在点a处必（ D ） （A）取极大值； （B）取极小值； （C）可导； （D）不可导。 4. 设函数 在点 处有 ，则下列结论正确的是（ D ） （A） 存在，但 在 点处不连续； （B） 在 点处连续； （C） ； （D） 都存在，且相等。 5.设S为球面： ，其取外侧为 ，则两个曲面积分全为零的是（ C ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、对t的不同取值，讨论函数 在区间 上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分） 解：显然 的定义域为： ， ，得驻点： 。 于是有 x －2 1 － 0 ＋ ＋ ＋ 0 － y ↘ 极小值 ↗ 0 ↗ 极大值1 ↘ 又： 。 记： 与 分别表示 在区间 上的最大值与最小值。 从上表不难看出： ① 时， ； ② 时， ； ③ 时，无 ， ； ④ 时，无 ， 。 四、设 ，其中 ，讨论函数 在区间 内零点的个数。（本题7分） 解： ， 。 注意到：当 时， ，故方程 与方程 同解。 命： ， 。又： 。 由闭区间上连续函数零点定理知， 在区间 内至少有一个零点。又 ， 即 在区间 内单调减，所以 在区间 内至多有一个零点，从而函数 在区间 内有且仅有一个零点。 五、过曲线 上点A作切线，使该切线与曲线 及x轴所围平面图形D的面积 。 ⑴ 求点A的坐标； ⑵ 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分） 解：⑴ 设A点坐标为 ，则切线方程为： ，即 。 命：y = 0，得此切线与x轴的交点横坐标 ，从而图形D的面积为 。 。即A点的坐标为(1,1)。 ⑵ 平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为： 。 六、设函数 ，其中 是连续函数，且 。 ⑴ 求 ； ⑵ 讨论 的连续性。（本题7分） 解： ，由已知得 。 ⑴ 当 时，有 在 点处，由导数定义有 所以 ⑵ 因为 ， 故 在 点处连续；又当 时， 连续，所以 处处连续。 七、设函数 在闭区间 上具有连续的导数， ，且 。 ⑴ 求 ； ⑵ 证明 。（本题7分） ⑴ 解： 。 ⑵ 证明：令 ， 因对任何实数λ，被积函数≥0，故 ，所以其判别式 ， 即 。 八、设二元函数 具有二阶连续偏导数，证明： 可经过变量替换 化为等式 。（本题6分） 证明：由题意可解得 ，从而 。 ， ， 故 ，即 。 九、求λ的值，使两曲面： 与 在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（本题8分） 解：曲面 在点 处切平面的法向量为 。 曲面 在点 处切平面的法向量为 。 欲使两曲面在点 处相切，必须 ，即 。 由 ，得 ，即 。 于是有 ，解得 。 公共切平面方程为 ，化简得 。 十、计算三重积分 ，其中Ω是由yoz平面内z = 0，z = 2以及曲线 所围成的平面区域绕z轴旋转而成的空间区域。（本题7分） 解：由题设知，区域Ω是由旋转面 与平面z = 0，z = 2所围成。用与z轴垂直的平面截立体Ω，设截面为 ，于是 。 显然 是圆域，圆心为 ，半径为 。 所以 。 十一、计算曲线积分 ，其中曲线C： 是从点A(－1,0)到点B(1,0)的一条不经过坐标原点的光滑曲线。（本题8分） 解： ， 。 作上半圆 ， ，逆时针方向，取r充分小使C1位与曲线C的下部且二者不相交。又在x轴上分别取1到r与－r到－1两个线段l1与l2，于是有 ，其中D是由 所围成的区域。 从而， 十二、求证 。（本题6分） 证明：记 ，则 。 注意到： ，故 ； 同理： ， 开方得： ，即 。 2009年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 。 设 ，则使 存在的最大n = 4 。 0 。 设 ， ，若 与OZ轴垂直，则λ= 2 。 设L为正向圆周 在第一象限中的部分，则 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 函数 的第一类间断点的个数为（ C ）。 （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 2. 设 与 具有任意阶导数，且 ， ， ，则（ A ）。 （A） 为函数 的极小值； （B） 为函数 的极大值； （C）点（0,1）为曲线 的拐点； （D）极值与拐点由 确定。 3. 设函数 ， ，又 与 都不存在，则下列结论正确的是（ D ）。 （A）若 不存在，则 必不存在；（B）若 不存在，则 必存在； （C）若 存在，则 必存在； （D）若 存在，则 必不存在。 4. 设 具有2阶连续偏导数， ， ， 。若 是由方程 所确定的在点 附近的隐函数，则 是 的极小值点的一个充分条件为（ B ） （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 5. 设L为折线 的正向一周，则 （ C ）。 （A）－2sin2； （B）－1； （C）0； （D）1。 三、设函数 ⑴ a 为何值时， 在 x = 0点处连续； ⑵ a 为何值时，x = 0为 的可去间断点。（本题7分） 解：因为 命： ，即 ，解得 。 当 时， ，故 在 x = 0点处连续。 当 时， ，故x = 0为 的可去间断点。 四、设 （n为正整数）， ⑴ 求 在闭区间[0,1]上的最大值M（n）； ⑵ 求 。（本题7分） 解：⑴ 命 ，得 ， 。 当 时， ； 时， ， 故 为 的极大值点， 为对应的极大值。 又 ，故 即为 在闭区间[0,1]上的最大值： 。 ⑵ 。 五、计算 。（本题6分） 解： ，其中 ，故 。 六、设对任意x，都有 ，且 在x = 0点处连续， ，证明： 在x = 0点处也连续。（本题6分） 证明：首先，由 ，知 ，从而 。 又由 ，知 。又 在x = 0点处连续， ，知 ， ，于是有 。即 。所以， 在x = 0点处也连续。 七、设 ， ，计算 。（本题7分） 解：用曲线 将区域D分成三部分 则 八、在椭球面 上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。（本题7分） 解：设 ，切点为（x0,y0,z0），故该点处切平面的法向量为 ， ， 。 切平面方程为 ，即 。 依题意，有截距 ，即 。 由于切点在椭球面上，故有 ，即 ， 从而解得 ， 于是有 。 切平面方程为 。 九、设 为连续函数，求证 ，其中 。 （本题7分） 证明： 十、设函数 在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且 ， ， 。证明：存在一点ξ∈（a,b）使得 。（本题7分） 证明：因为 在闭区间[a,b]上连续，且 ， ，以及 ，故在开区间（a,b）内至少存在一个小区间使得 在其内为正，从而知 在闭区间[a,b]上的最大值为正，且最大值点η∈（a,b）， 。 对于x ∈[a,b]，有泰勒公式 ，其中ξ位于x与η之间。命x = a，则 ， 因其中 ， ，故 。 十一、设二元函数 具有二阶偏导数，且 ，证明 的充要条件为： 。 （本题8分） 证明：必要性 若 ，则 ，显然有 。 充分性 若 ，则 ，由于 ，所以 ， 即 ，因此 不含y，故可设 。从而有 ， ， 即 。 十二、计算曲面积分 ，其中Σ为空间区域 边界曲面的外侧。（本题8分） 解：命 ， ， 。 作辅助曲面Σ1为球面 的外则，其中 0 <ε< 1。则 ， 其中 （Ω1为Σ与Σ1之间的空间区域）。所以 2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 设 ，则 。 已知 的一个原函数为 ，则 。 1 。 设a，b为非零向量，且满足（a + 3b）⊥（7a – 5b），（a – 4b）⊥（7a – 2b），则a与b的夹角为 。 根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量 的估计公式为（单位：十亿桶/年）： ， 式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为： ， 则自1995年至2015年共节省原油 12亿桶 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 设函数 其中 是有界函数，则 在 点处（ C ）。 （A）极限不存在； （B）极限存在，但不连续； （C）连续但不可导； （D）可导。 2. 设曲线的极坐标方程为 ，则在其上对应于 点处的切线的直角坐标方程为（ A ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 3. 设函数 连续，则 （ D ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 4. 设 为一函数的全微分，则下面正确的答案为（ C ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 5. 设曲面 ，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（ B ）。 （A） ； （B） ； （C） ； （D） 。 三、计算 。（本题7分） 解：先求 。令 ，当 时， ，则 从而 四、设 ，求 。（本题6分） 解： ，即 。 （※） 等式（※）两边再对x求2阶导数得： ， 令 ，得 。 等式（※）两边对x求4阶导数得： ， 令 ，得 。 五、对k的不同取值，分别讨论方程 在区间 内根的个数。（本题7分） 解：设 ， ， ， ⑴ 当 时， ，即 在 上单调增加，又 ，故原方程在区间 内无根； ⑵ 当 时： ， ， 单调减少； ， ， 单调增加。 所以 是 的极小值点，极小值 。 于是，当 ，即 时，原方程在区间 内无根； 当 ，即 时，原方程在区间 内有唯一的根； 当 ，即 时，原方程在区间 内有两个根。 六、设a，b均为常数且 ， ，问a，b为何值时，有 。（本题7分） 解： 因为极限存在，故必有 ，即 。所以有 。 由题意得 ， 即 。 七、设 ， ，证明： 存在并求其值。（本题8分） 证明：因为 ，所以 与 的符号相同，且类似可得与 同号。 而 ， 于是 当 时，有 ，即数列 单调增加； 当 时，也有 ，数列 单调增加； 当 时，有 ，数列 单调减少； 当 时， 。 又 ，即 与 同号。 所以，当 时，或 时， ，即数列 有上界，此时数列 单调增加且有上界， 收敛。 当 时， ，数列 有下界，此时数列 单调减少且有下界， 收敛。 当 时， ，常数数列 显然收敛。 综上所述， 存在，设其值为A，故 ， 有 ， ，得A = 4（A = －3舍去，因 ）。 八、设 是区间 上的函数，且 ， ，证明： ， 。（本题7分） 证明：对 ， 的泰勒公式为： ， 。 当 时，分别有 ， ； ， 。 两式相减得 ， 故 而 ，故 ， 。 （附：若取 ， ，则 ， 。显然 ， ）。 九、设 是由 所确定的二元函数，求： ， 。（本题6分） 解：将等式 两边分别对x，y求偏导数： ， 。 ， 。 。 。 十、求 ，其中曲线L是 位于上半平面，从点 到 的部分。（本题7分） 解： ， ， ，即积分与路径无关。 但因在点 处 与 无定义，故应选积分路径：从 到 再到 最后到 的折线段。于是 十一、计算 ，其中Σ为由曲面 与 所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分） 解：对右端的第一个积分使用高斯公式 其中Ω是Σ所围的空间区域，Ω1是Ω位于第1卦限的部分。 对于右端的第二个积分 ， 其中Σ1是平面 上 的部分上侧，显然 。Σ2是 的外侧， ， 所以 。 十二、在曲面 上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面 所围空间区域的体积最小。（本题8分） 解：因为 ，其中 和 分别是以曲面 和P点处的切平面为顶，以 为底，以圆柱面 为侧面的区域的体积，且 是常数，所以求 的最小值可转化为求 的最大值。 设点P的坐标为 ，则曲面在该点处的法向量为 ，切平面方程为 又 ，故切平面方程为 。 于是 其中 。 利用极坐标计算 即 。 由 解得唯一驻点为 ， 。对应的 。 又当 为区域D边界上的点时，有 ，即 ， 所以 恒为常数 。可知 只在区域D的内部取到最大值。而点（1,0）是D内的唯一驻点，故 在此唯一驻点处的值 是最大值。 此时切点P的坐标 为所求。切平面方程为 ，最小体积为 。 2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类) 填空题（本题15分，每小题3分）: 设 是连续函数, 且 , 则 设 , 若 则 设 是连续函数, 且 其中 由x轴、y轴以及直线 围成, 则 椭球面 平行于平面 的切平面方程为 和 选择题（本题15分，每小题3分）: 设 则 在 处 , (B) , (C) , (D) 不可导. 答: (A) 设函数 具有二阶导数, 且满足方程 已知 则 在 的某个邻域中单调增加, (B) 在 的某个邻域中单调增少, (C) 在 处取得极小值, (D) 在 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为 , 函数 在区间 上有连续的导数, 则积分 表示 (A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D) 4. 设在区间 上的函数 且 令 则 (A) (B) (C) (D) 答: (C ) 5. 设 曲面 取上侧为正, 是 在 的部分, 则曲面积分 (B) (C) (D) 答: (B) (6分) 设函数 其中函数 处处连续. 讨论 在 处的连续性及可导性. 解 因此, 在 处连续. 因此, 在 处可导, 且 (6分) 设函数 由方程 确定, 又函数 由方程 确定, 求复合函数 的导数 解 方程 两边对 求导 当 t=0时, x=0, 故 方程 两边对x求导 当 时, 故 因此, (6分) 设函数 在 上二阶可导，且 ，记 ，求 的导数，并讨论 在 处的连续性. 解 由已知的极限知 从而有 当 时, 从而有 因为 所以, 在 处连续. 当 时, 在 处, 由 有 所以, 而 故 在 处连续. (7分) 设函数 在 上可导, 且满足: (Ⅰ) 研究 在区间 的单调性和曲线 的凹凸性. (Ⅱ) 求极限 解 (Ⅰ) 当 时, 有 故 在区间 单调增加. 从而当 时, 也单调增加. 可见, 曲线 在区间 向下凸. (或当 时, 可得 可见, 曲线 在区间 向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, 应用洛必达法则 (7分) 设 在 上具有连续导数, 且 试证 证 令 则 在 连续, 且对 , 又由题设知, 当 时, 令 则 在 上连续, 且 故有 因此 于是 在 上单调增加, 取 , 即得 所证结论成立. (7分) 设函数 具有二阶导数, 且 直线 是曲线 上任意一点 处的切线, 其中 记直线 与曲线 以及直线 所围成的图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 试问 为何值时 取得最小值. 解 切线 的方程为 即 于是 可见, 在 连续, 在 可导.
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