第二章 逻辑代数基础

null第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础内容提要 本章介绍 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 数字逻辑功能的数学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续课程打下基础。本章的内容本章的内容2.1 概述 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.4 逻辑代数的基本定理 2.5 逻辑函数及其表示方法 2.6 逻辑函数的化简方法 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简2.1 概述2.1 概述 在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。 当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算，最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算）2.1.1 二值逻辑和逻辑运算2.1.2 数字电路的特点及描述工具2.1.2 数字电路的特点及描述工具 数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。 逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（George Boole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。注意：注意：1. 逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。2. 逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（0～9）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。2.2 逻辑代数中的三种基本运算2.2 逻辑代数中的三种基本运算 在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种逻辑运算。2.2.1 与运算 与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。 如图2.2.1所示电路，两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例，只有开关A、B同时闭合时灯才会亮。 设开关闭合用“1”表示，断开用“0”表示 ；灯亮用“1”表示，灯灭用“0”表示（逻辑赋值），则可得到表2.2.1所示的输入输出的逻辑关系，称为真值表 设开关闭合用“1”表示，断开用“0”表示 ；灯亮用“1”表示，灯灭用“0”表示（逻辑赋值），则可得到表2.2.1所示的输入输出的逻辑关系，称为真值表 从表中可知，其逻辑规律服从“有0出0，全1才出1” 这种与逻辑可以写成下面的表达式： 称为与逻辑式，这种运算称为与运算也可以用图2.2.2表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符号，实现与逻辑运算的门电路称为与门。 也可以用图2.2.2表示与逻辑，称为逻辑门或逻辑符号，实现与逻辑运算的门电路称为与门。 2.2.2 或运算 或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即“有一即可若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为 如图2.2.3所示电路，两个并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例，只要开关A、B有一个闭合时灯就会亮。 如图2.2.3所示电路，两个并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例，只要开关A、B有一个闭合时灯就会亮。 用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.2所示，其逻辑规律服从“有1出1，全0才出0” 其逻辑式为上式说明：当逻辑变量A、B有一个为1时，逻辑函数输出Y就为1。只有A、B全为0，Y才为0。 其逻辑门符号如图2.2.4所示，实现或逻辑运算的门电路称为或门。 其逻辑门符号如图2.2.4所示，实现或逻辑运算的门电路称为或门。若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为3. 非逻辑运算 条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反如图2.2.5所示电路，一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例，当开关A闭合时灯就会不亮。 如图2.2.5所示电路，一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例，当开关A闭合时灯就会不亮。 非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算，即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为 用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表2.2.3所示其逻辑门符号如图2.2.6所示，实现非逻辑运算的门电路称为非门其逻辑门符号如图2.2.6所示，实现非逻辑运算的门电路称为非门 以上为最基本的三种逻辑运算，除此之外，还有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算4. 与非（NAND）逻辑运算与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例，布尔代数表达式为： 其真值表如表2.2.4所示其逻辑规律服从“有0出1，全1才出0” 其逻辑规律服从“有0出1，全1才出0” 实现与非运算用与非门电路来实现，如图2.2.7所示5. 或非（NOR）运算    或非运算是先或运算后非运算的组合。以二变量A、B为例，布尔代数表达式为： 或非逻辑规律服从有“1”出“0”全“0”出“1”或非逻辑规律服从有“1”出“0”全“0”出“1”或非运算用或非门电路来实现，如图2.2.8所示其真值表如表2.2.5所示6.与或非运算6.与或非运算 与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。以四变量为例，逻辑表达式为： 上式说明：当输入变量A、B同时为1或C、D同时为1时，输出Y才等于0。与或非运算是先或运算后非运算的组合。在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 应用中，与或非运算由与或非门电路来实现，其真值表见书P22表2.2.6所示，逻辑符号如图2.2.9所示7. 异或运算7. 异或运算其门电路的逻辑符号如图2.2.10所示其布尔表达式（逻辑函数式）为符号“⊕”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，异或运算用异或门电路来实现其真值表如表2.2.6所示异或运算的性质 异或运算的性质 1. 交换律：2. 结合律：3.分配律：推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1”时，则函数为“0”；若奇数个变量取1时，则函数为1.4.8. 同或运算：8. 同或运算：其布尔表达式为符号“⊙”表示同或运算，即两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0” 。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门，其真值表如表2.2.7所示其门电路的逻辑符号如图2.2.11所示2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式返回A返回B1.关于变量与常数关系的定理1.关于变量与常数关系的定理2. 交换律、结合律、分配律a. 交换律： AB= BA A + B=B + Ab. 结合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B ＋C）= （A＋B） + Cc. 分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C)说明：由表中可以看出链接A3.逻辑函数独有的基本定理3.逻辑函数独有的基本定理a. 互补律：b. 重叠律：A · A = A A + A = Ac. 非非律：d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A e. 摩根定律：注：以上定律均可由真值表验证链接B2.3.2 若干常用公式2.3.2 若干常用公式表2.3.2为常用的一些公式说明：说明：1. A＋AB＝A：在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；2. A＋AB＝A＋B：在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除；3. AB＋A B ＝A：在两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子；4. A（A＋B）＝A：在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉5.AB＋A  C＋BC ＝ AB＋A  C ：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉； 公式AB＋A  C＋BCD ＝ AB＋A  C 的原理和上述相同5.AB＋A  C＋BC ＝ AB＋A  C ：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉； 公式AB＋A  C＋BCD ＝ AB＋A  C 的原理和上述相同6. A（A B） ＝A B  ：如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；7. A  （A B） ＝A  ：当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础2.4 逻辑代数的基本定理2.4 逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理内容：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式例2.4.1 若B(A十C)＝BA十BC，现将所有出现A的地方都代入函数G＝A十D，则证明等式仍成立      例2.4.1 若B(A十C)＝BA十BC，现将所有出现A的地方都代入函数G＝A十D，则证明等式仍成立      证明：方程的左边有A的地方代入G得：B[(A十D)十C] ＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右边有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故 B[(A十D)十C] ＝ B(A十D)十BC例2.4.2 试用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况例2.4.2 试用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况证明：设G＝BC代入公式左右的B中同理设G＝B＋C代入式子左右的B可得故：可得2. 反演定理2. 反演定理内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中所有的“.”换为“+”, “+”换为“.”,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数（补函数） Y 。利用摩根定律，可以求一个逻辑函数 的反函数。注意：1. 变换中必须保持先与后或 的顺序； 2. 对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变；例2.4.3 已知Y＝A（B＋C ）＋C D ，求Y 例2.4.3 已知Y＝A（B＋C ）＋C D ，求Y 解：由摩根定理或直接求反解：由反演定理解：由反演定理例2.4.4 若 Y＝[（A  B）  ＋C＋D]  +C，求反函数或直接求反得3.对偶规则3.对偶规则对偶式：设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成与“·”， “.”换成与“+” ，“1” 换成与“0”， “0” 换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式 YD 称为Y的对偶式。如：对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等，Vice versa。利用对偶式可以证明一些常用公式对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等，Vice versa。利用对偶式可以证明一些常用公式例1.1.5 试利用对偶规则证明分配律 A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立证明：设Y＝ A＋BC，G＝ (A+B)(A+C)，则它们的对偶式为由于故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C) 例1.1.6 试利用对偶规则证明吸收律A＋AB＝A＋B 式子成立例1.1.6 试利用对偶规则证明吸收律A＋AB＝A＋B 式子成立证明：设则它们的对偶式为由于故Y＝G，即2.5 逻辑函数的定义：2.5 逻辑函数的定义：其中：A1, A2 …An称为n个输入逻辑变量，取值只能是“0” 或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值只能是“0”或 是“1”则F称为n变量的逻辑函数 在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即如 Y＝A＋B C，表示输出等于变量B取反和变量C的与，再和变量A相或。2.5.1 逻辑函数2.5.2逻辑函数的几种表示方法 2.5.2逻辑函数的几种表示方法 一 、逻辑真值表逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下： 逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系，其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能取值得组合，输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻辑变量值。 如表2.5.1表示的异或逻辑关系的函数，即Y＝A B ＋AB 二 、逻辑函数式二 、逻辑函数式 按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代数式。与普通函数数不同的是，逻辑函数式中的输入输出变量都是二值的逻辑变量。如异或关系的逻辑函数可写成Y＝A B ＋AB 三、 逻辑图法  采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形图2.5.1表示的是异或关系的逻辑图四 波形图法:   四 波形图法:    一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随时间变化的规律，也称时序图。如图2.5.2表示异或逻辑关系的波形。 除上面介绍的四种逻辑函数表示方法外，还有卡诺图法、点阵图法及硬件描述语言等。在后面的课程中将重点介绍卡诺图法。五、各种表示方法间的相互转换五、各种表示方法间的相互转换 在设计数字电路时，有时需要进行各种表示逻辑函数方法的转换。1. 真值表与逻辑函数式的相互转换 通过下面的例子得出由真值表写出逻辑函数的方法例2.5.1 某逻辑函数的真值表如表2.5.2所示，写出逻辑函数式（1）由真值表写逻辑函数式解：逻辑式为解：逻辑式为总结：①找出真值表中使逻辑函数为“1”的输入变量的组合；②对应每个输出为“1”变量组合关系为与的关系，即乘积项，其中如图输入变量取值为“1 ”的写成原变量，输入变量取值为“0”的写成反变量，如A B C②对应每个输出为“1”变量组合关系为与的关系，即乘积项，其中如图输入变量取值为“1 ”的写成原变量，输入变量取值为“0”的写成反变量，如A B C③将这些乘积项相加，即得到输出的逻辑式例2.5.2 已知真值表如表2.5.3所示，试写出输出的逻辑函数例2.5.2 已知真值表如表2.5.3所示，试写出输出的逻辑函数解：其输出的逻辑函数为（2）由逻辑函数式写出真值表（2）由逻辑函数式写出真值表 将输入变量所有取值组合，代入逻辑函数式，得出输出的值，并以表的形式表示出来。例2.5.3 写出逻辑函数Y＝AB ＋C 的真值表解：其真值表如表2.5.4所示2.逻辑函数式与逻辑图的相互转换2.逻辑函数式与逻辑图的相互转换（1）由逻辑函数式画出逻辑图 用逻辑符号代替逻辑函数中的逻辑关系，即可得到所求的逻辑图例2.5.4 画出逻辑函数Y＝[（AB+C ） ＋（ AC ） ＋B] 的逻辑电路解：其实现电路如图2.5.3所示（2）由逻辑图写出逻辑函数式（2）由逻辑图写出逻辑函数式 已知逻辑图，根据逻辑门的输入输出关系，写出整个逻辑图的输入输出关系，得出输出的逻辑函数式例2.5.5 已知逻辑电路如图2.5.4，试写出输出端的逻辑函数式，并写出真值表解：输出的逻辑式为由逻辑式写出真值表，如表2.5.5所示由逻辑式写出真值表，如表2.5.5所示例2.5.6 设计一个逻辑电路，当三个输入A、B、C至少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图例2.5.6 设计一个逻辑电路，当三个输入A、B、C至少有两个为低电平时，该电路输出为高，试写出该要求的真值表和逻辑表达式，画出实现的逻辑图解：由逻辑要求写出真值表，如表2.5.6所示由真值表写出逻辑式为由真值表写出逻辑式为其实现的逻辑图如图2.5.5所示其实现的逻辑图如图2.5.5所示3.波形图与真值表的相互转换3.波形图与真值表的相互转换（1）由波形图得到真值表 根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值例2.5.7 已知逻辑函数Y的输出波形如图2.5.6所示，试分析其逻辑功能。解：由所给的波形写出输入输出的真值表，如表2.5.7所示由真值表可知，当输入变量A、B取值相同时，输出Y＝1； A、B取值不同时，输出Y＝0。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为由真值表可知，当输入变量A、B取值相同时，输出Y＝1； A、B取值不同时，输出Y＝0。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为例2.5.8 已知图2.5. 7所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑功能例2.5.8 已知图2.5. 7所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示由真值表写出输出的逻辑式由真值表写出输出的逻辑式由真值表可知，当输出有奇数个“1”时，输入为“1”。故此电路为“判奇电路”，其逻辑图如图2.5.8所示（2）由真值表画出波形图（2）由真值表画出波形图按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。例2.5.9 已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，试画出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。解：由真值表画出输入输出波形如图2.5.9所示输出端的逻辑式为输出端的逻辑式为2.5.3 逻辑函数的两种 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型2.5.3 逻辑函数的两种标准型 一种输入输出的逻辑关系可以有多种等效的表达式表示，但可以化为标准形式。其标准型有两种：标准与或式和标准或与式1.最小项a. 定义: 在n变量的逻辑函数中，设有n个变量A1~ An，而 m 是由所有这n个变量组成的乘积项（与项）。若m中包含的每一个变量都以A i 或A i 的形式出现一次且仅一次，则称m 是n变量的最小项。注：n个变量构成的最小项有2n个，通常用 mi 表示第i 个最小项，变量按A1~ An排列，以原变量出现时对应的值为“1”，以反变量出现时对应的值取“0”，按二进制排列时，其十进制数即为i 。一、最小项和最大项表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分别为二变量、三变量和四变量的最小项表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分别为二变量、三变量和四变量的最小项nullb. 最小项的性质b. 最小项的性质①对于任一个最小项，仅有一组变量取值使它的值为“1”，而其它取值均使它为“0”。或者说在输入变量的任何取值必有一个最小项也仅有一个最小项的值为“1”。②n变量组成的全体最小项之逻辑和为“1”。即2.最大项2.最大项a. 定义：在n变量的逻辑函数中，设有n 个变量A1~ An，而M是由所有这n个变量组成的和项（或项）。若M中包含的每一个变量都以Ai或A i 的形式出现一次且仅一次，则M是n变量的最大项。注： n个变量构成的最大项也有2n个，通常用Mi表示第i个最大项，变量按A1~ An排列，以原变量出现时对应的值为“0”，以反变量出现时对应的值取“1”，按二进制排列时，其十进制数即为i 。表2.5.13、表2.5.14分别为二变量、三变量的最大项，四变量最大项课下自己写出表2.5.13、表2.5.14分别为二变量、三变量的最大项，四变量最大项课下自己写出b. 最大项的性质 b. 最大项的性质 ①对于任一个最大项，仅有一组变量取值使它的值为“0”，而其它取值均使它为“1”。或者说在输入变量的任何取值必有一个最大项也仅有一个最大项的值为“0”。②n变量组成的全体最大项之逻辑积为“0”。即二、 逻辑函数的标准与或式型－最小项之和标准型二、 逻辑函数的标准与或式型－最小项之和标准型如与或型特点：1.式子为乘积和的形式； 2.不一定包含所有的最小项，但每一 项必须为最小项标准与或式的写法：标准与或式的写法： 在n变量的逻辑函数中，若某一乘积项由于缺少一个变量不是最小项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之和这一项，使之称为最小项，即利用公式A＋A＝1例2.5.10 将逻辑函数Y＝A＋B C写成标准与或式解：注意：变量的排列顺序。三、 逻辑函数的标准或与式型－最大项之积标准型三、 逻辑函数的标准或与式型－最大项之积标准型如与或型特点：1.式子为和积的形式； 2.逻辑函数不一定包含所有的最大 项， 但每一项必须为最大项标准或与式的写法：标准或与式的写法： 在n变量的逻辑函数中，若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中加上此变量与这个变量的反变量之积这一项，即利用公式AA＝0，然后利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之称为最大项例2.5.11 将逻辑函数Y＝AC＋ B C写成或与式解：四、 最小项与最大项的关系四、 最小项与最大项的关系设有三变量A、B、C的最小项，如m5 ＝ABC，对其求反得由此可知对于n 变量中任意一对最小项 mi 和最大项Mi ，都是互补的，即五、标准与或式和或与式之间的关系五、标准与或式和或与式之间的关系若某函数写成最小项之和的形式为则此函数的反函数必为如表2.5.15中上式或写成上式或写成利用反演定理可得六、逻辑函数的两种标准形式：六、逻辑函数的两种标准形式： 有时需要把任意逻辑函数变换为两种标准形式：与或式（最小项之和）和或与式（最大项之积）。实现这种变换方法很多，可以利用添项、真值表、卡诺图等实现，这里介绍利用添项和真值表将逻辑函数变换成标准型。1.利用真值表 首先写出逻辑函数的真值表，由真值表写出最小项和最大项。标准与或式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“1”的项作为函数的最小项(乘积项）。若输入变量取“1”，则写成原变量；若输入变量取值为“0”，则写成反变量。不同的输出“1”为和的关系。标准或与式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“0”的项作为函数的最大项（和项）。若输入变量取“1”，则写成反变量；若输入变量取值为“0”，则写成原变量。不同的输出“0”为积的关系。标准或与式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“0”的项作为函数的最大项（和项）。若输入变量取“1”，则写成反变量；若输入变量取值为“0”，则写成原变量。不同的输出“0”为积的关系。例2.5.12 试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式 解：其真值表如表2.5.16所示则逻辑函数的标准与或型为则逻辑函数的标准与或型为逻辑函数的标准或与型为2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为与或式和或与式2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为与或式和或与式标准或与式的写法：在逻辑函数中，先将逻辑函数化为和积式。若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之积这一项，再利用A＝A＋BB ＝（A＋B）（A＋B ）使之称为最大项标准与或式写法 ：在逻辑函数中，先将函数化成与或式（不一定是最小项），则在与项中利用公式 A＋A＝1添加所缺的逻辑变量，写成最小项的形式例2.5.13 试利用添加项的方法将下面逻辑函数转化成与或标准式解：标准与或式为 解：标准与或式为 例2.5.14 试用添加项方法将下面逻辑函数转化成或与标准式解:总结：总结：a. 在将一个n变量的逻辑函数写成与或式（最小项之和）后，若要写成或与式（最大项之和）时，其最大项的编号是除了最小项编号外的号码，最小项与最大项的总个数为2n；b. 由i个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函数，其反函数可以用i个最大项的或与式（最大项之和）表示，其编号与最小项编号相同。例1.2.5 将下面逻辑函数转化成两种标准式，并求其反函数 例1.2.5 将下面逻辑函数转化成两种标准式，并求其反函数 解：标准与或式为标准或与式为反函数为反函数为（注：反函数的最大项编码与原函数最小项编码相同）2.5.4 逻辑函数形式的变换2.5.4 逻辑函数形式的变换 除了上述标准与或式和标准或与式的外，还需要将逻辑函数变换成其它形式。假如给出的是一般与或式，要用与非门实现，就需要将其变成与非－与非式。 一、与或式化为与非－与非式－－利用反演定理 例2.5.10 将下式Y=AC+BC用与非门实现，并画出逻辑图。 解：用二次求反，将第一级非号用摩根定理拆开，第二级保持不变。 如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。 如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。如果只有原变量输入，另外要用与非门实现反相C ，其逻辑电路如图2.5.11所示二、将与非式化为与或非式二、将与非式化为与或非式例2.5.11将Y=AC+BC 用与或非门实现，画出逻辑图。 解：先用反演定理求函数Y的反函数Y  ，并整理成与或式，再将左边的反号移到等式右边，即两边同时求反。这就可用与或门实现。其电路如图2.5.12所示多余项三、将与或式化为或非－或非式三、将与或式化为或非－或非式 解：先将函数Y化为与或非形式，再用反演定理求Y  ，并用摩 根定理展开，再求Y，就可得到或非－或非式。 例2.5.11 将下式Y=AC+BC 用或非门实现。其实现电路如图2.5.13所示或者先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演定理得到或非式或者先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演定理得到或非式2.6 逻辑函数的化简方法2.6 逻辑函数的化简方法 一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式，虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成本是不同的。逻辑表达式越简单，实现的电路越简单可靠，且低成本。因此在设计电路时必须将逻辑函数进行简化。注：随着集成电路的发展，集成芯片的种类越来越多。逻辑函数是否“最简”已无太大意义。但作为设计思路，特别对于中小规模集成电路，逻辑函数的简化是不能忽视的逻辑函数的简化方法很多，主要有逻辑代数简化法（公式法）和卡诺图法2.6.1 公式化简法2.6.1 公式化简法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式和运算规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件不同，最终要得到的逻函数的形式不同，其最简的定义也不同。 对于要小规模集成门电路实现的电路，常用的门为与非门、或非门、与或非门等。由上一节可知，其最终都可以由与或式、或与式转换而成。故最常用的是最简与或式和最简或与式。最简与或式：最简的与或式所含乘积项最少，且每个乘积项中的因子也最少。最简或与式：最简的或与式所含和项最少，且每个和项中的相加的项也最少。下面讨论公式法常用的化简方法。下面讨论公式法常用的化简方法。1.与或式的简化(1)与或式：就是先与后或式（乘积和），最简的与或式是所含与项最少，且每个与项的逻辑变量最少，则这个与或式是最简的。上式Y1和Y2实现同样的逻辑功能，但Y1中不仅所含变量多，而且乘积项也多了一项，要用3个与门（不含非门）和一个或门实现，而Y2的变量有3个，两个乘积项，用2个与门、1个或门实现即可，这样即节省元件，也减少布线和功耗。2.6.1 公式化简法(2) 与或式的简化方法(2) 与或式的简化方法a. 合并项法：利用AB＋AB＝B消去一个变量；b. 消除法：利用A＋ AB＝A＋B消去多余变量；c. 配项法：利用 A＋A ＝1 增加一些项，再进行简化说明：一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。2.6.1 公式化简法例2.6.1 将下式化为最简与或式例2.6.1 将下式化为最简与或式配项ABC解法一：配项法2.6.1 公式化简法解法二：用吸收法和消去法解法二：用吸收法和消去法二种方法结果一致，但过程繁简不同。尽量选择最佳方法，使化简过程简单2.6.1 公式化简法例2.6.2 试将下面的逻辑函数简化为最简与或式例2.6.2 试将下面的逻辑函数简化为最简与或式解：注：从原式看，很难看出是不是最简，而且用代数法简化逻辑函数，不仅要熟悉逻辑代数公式，而且要灵活运用，而且不能保证最后结果最简。2.6.1 公式化简法例2.6.3 试将下面逻辑函数简化成最简与或式例2.6.3 试将下面逻辑函数简化成最简与或式解：多余项反演定理2.6.1 公式化简法练习：试将下面逻辑函数简化成最简与或式练习：试将下面逻辑函数简化成最简与或式2.6.1 公式化简法2.或与式的简化2.或与式的简化a.利用公式A（A＋B）＝A 及A（A+B)=A化简解：例2.6.4 试将下面的逻辑函数简化为最简或与式2.6.1 公式化简法b. 利用两次求对偶式进行简化b. 利用两次求对偶式进行简化再求对偶式如例2.6.4的逻辑函数：其对偶式为2.6.1 公式化简法2.6.2 卡诺图化简法2.6.2 卡诺图化简法 公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简化技巧，而卡诺图法能克服公式法的不足，可以直观地给出简化的结果。一.卡诺图a. 定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（Karnaugh）和范奇（Veich）提出的。b. 卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就构成卡诺图实质是将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来。最小项的相邻性就是它们中变量只有一个是不同的。下面表2.6.1 是二变量的卡诺图下面表2.6.1 是二变量的卡诺图2.6.2 卡诺图化简法表2.6.2为三变量的卡诺图表2.6.2为三变量的卡诺图2.6.2 卡诺图化简法表2.6.3为4变量的卡诺图表2.6.3为4变量的卡诺图2.6.2 卡诺图化简法从上面卡诺图可以看出从上面卡诺图可以看出 任意两个相邻的最小项在图上是相邻的，并且图中最左列的最小项与左右列相应最小项也是相邻的（如m0和m2， m9和m10 )。位于最上面和最下面的相应最小项也是相邻的（ m0和m9 , m2和m10)，所以四变量的最小项有四个相邻最小项。可以证明n变量的卡诺图中的最小项有n个相邻最小项2.6.2 卡诺图化简法 n变量的卡诺图可有n－1变量的卡诺图采用折叠法构成,如五变量的卡诺图可由四变量的卡诺图折叠得到，如表2.6.4 n变量的卡诺图可有n－1变量的卡诺图采用折叠法构成,如五变量的卡诺图可由四变量的卡诺图折叠得到，如表2.6.42.6.2 卡诺图化简法二. 逻辑函数的卡诺图表示法二. 逻辑函数的卡诺图表示法 如果画出逻辑函数的卡诺图，首先将逻辑函数化成标准与或型（最小项和），在相应的最小项位置填“1”，其方法如下a. 利用真值表：将逻辑函数的真值表做出，将表中对应“1”项的最小项填到卡诺图中2.6.2 卡诺图化简法例2.6.5 画出下面函数的卡诺图解：其真值表如表2.6.5所示,其卡诺图如表2.6.6所示解：其真值表如表2.6.5所示,其卡诺图如表2.6.6所示2.6.2 卡诺图化简法b.化为标准与或型b.化为标准与或型例2.6.6 画出下面逻辑函数的卡诺图解：2.6.2 卡诺图化简法卡诺图如表2.6.6卡诺图如表2.6.62.6.2 卡诺图化简法(3)观察法(3)观察法 采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为“1”的项填到卡诺图中例2.6.7 用卡诺图表示下面的逻辑函数解：其卡诺图如表2.6.7所示2.6.2 卡诺图化简法AA11111111例2.6.8 画出下列函数的卡诺图例2.6.8 画出下列函数的卡诺图解:Y的卡诺图如表2.6.8所示2.6.2 卡诺图化简法1111111111例2.6.9 画出下列函数的卡诺图例2.6.9 画出下列函数的卡诺图解: Y的卡诺图如表2.6.9所示2.6.2 卡诺图化简法111111111练习：画出下列函数的卡诺图练习：画出下列函数的卡诺图2.6.2 卡诺图化简法三、利用卡诺图简化逻辑函数三、利用卡诺图简化逻辑函数①卡诺图的性质a. 卡诺图上任何2（21)个标“1”的相邻最小项，可以合并成一项，并消去1个取值不同的变量例如表2.6.10中，有消去变量D2.6.2 卡诺图化简法例如表2.6.11中，有例如表2.6.11中，有b. 卡诺图上任何4（22)个标“1”的相邻最小项，可以合并成一项，并消去2个取值不同的变量消去变量AC2.6.2 卡诺图化简法2.6.2 卡诺图化简法2.6.2 卡诺图化简法c. 卡诺图上任何8（23)个标“1”的相邻最小项，可以合并成一项，并消去3个取值不同的变量c. 卡诺图上任何8（23)个标“1”的相邻最小项，可以合并成一项，并消去3个取值不同的变量例如表2.6.12中，有消去变量ABC2.6.2 卡诺图化简法或者下面的圈“1”法或者下面的圈“1”法2.6.2 卡诺图化简法②卡诺图简化逻辑函数为与或式的步骤②卡诺图简化逻辑函数为与或式的步骤a. 将逻辑函数化为最小项（可略去）；b. 画出表示该逻辑函数的卡诺图；c. 找出可以合并的最小项,即1的项（必须是2n个1)，进行圈“1”，圈“1”的规则为：2.6.2 卡诺图化简法* 圈内的“1”必须是2n个；* “1”可以重复圈，但每圈一次必须包含没圈过的“1”；* 每个圈包含“1”的个数尽可能多，但必须相邻，必须为2n 个；圈“1”的规则为圈“1”的规则为2.6.2 卡诺图化简法* 圈数尽可能的少；* 要圈完卡诺图上所有的“1”。d. 圈好“1”后写出每个圈的乘积项，然后相加，即为简化后的逻辑函数。注：卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简化结果不同，但实现的逻辑功能相同的。例2.6.10 用卡诺图简化下面逻辑函数例2.6.10 用卡诺图简化下面逻辑函数解：其卡诺图如表2.6.13所示圈法如图，则2.6.2 卡诺图化简法111111或者圈法如表2.6.14所示，则或者圈法如表2.6.14所示，则故卡诺图简化不是唯一的2.6.2 卡诺图化简法与第一种圈法相比例2.6.11 用卡诺图简化下面逻辑函数例2.6.11 用卡诺图简化下面逻辑函数解：其卡诺图如表2.6.15所示则简化后的逻辑函数为12.6.2 卡诺图化简法11111111111null注： 以上是通过合并卡诺图中的“1”项来简化逻辑函数的，有时也通过合并“0”项先求F的反函数，再求反得Y例如上面的例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,圈“0”情况如表2.6.15所示，可得2.6.2 卡诺图化简法例2.6.12 用卡诺图简化下面逻辑函数例2.6.12 用卡诺图简化下面逻辑函数解:卡诺图如表2.6.16可得2.6.2 卡诺图化简法11111111111练习：练习：③ 利用卡诺图简化逻辑函数为或与式 在卡诺图上圈“0”的最小项，其规则与化成与或式相同，但写最简或与式时，消去取值不同的变量，保留取值相同的变量。写相同变量时，取值为“0”写成原变量，取值为“1”写成反变量，每个圈写这些相同变量的和，不同的圈为乘积的关系。2.6.2 卡诺图化简法例2.6.13 用卡诺图将下面逻辑函数简化成最简与或式和或与式例2.6.13 用卡诺图将下面逻辑函数简化成最简与或式和或与式解：其卡诺图如表2.6.17所示对于与或式，圈“1”，则注：Y的最简与或式不是唯一的2.6.2 卡诺图化简法11111111000000001对于与或式，圈“0”，则对于与或式，圈“0”，则由表2.6.17的卡诺图可得故2.6.2 卡诺图化简法例2.6.14 试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式。例2.6.14 试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式。解：卡诺图如表2.6.18所示圈“1”化成最简与或式，则可得2.6.2 卡诺图化简法0111111000000000圈“0”化成最简或与式为圈“0”化成最简或与式为2.6.2 卡诺图化简法例2.6.15 试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式例2.6.15 试将下面逻辑函数化成最简与或式和或与式解：由于最大项对应输入函数取值为“0”，如 M6＝A＋B＋ C ＋D，当ABCD＝0110时，M6=0，故在相应最大项的位置上填“0”即可得逻辑函数的卡诺图。则Y的卡诺图如表2.6.19所示则最简与或式为2.6.2 卡诺图化简法0000000111111111圈“0”可得最简的或与式为圈“0”可得最简的或与式为2.6.2 卡诺图化简法练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式2.6.2 卡诺图化简法*2.6.3 奎恩－麦克拉斯基化简法（Q－M法）（自学）2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项1.定义：a.约束项 ：在逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，受到限制。对输入变量取值所加的限制称为约束，被约束的项叫做约束项。例如有三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止。若A＝1表示电动机正转，B＝1表示电动机反转，C＝1表示电动机停止，则其ABC的只能是100、010、001，而其它的状态如000、011、101、110、111是不能出现的状态，故ABC为具有约束的变量，恒为0。可写成这些恒等于“0”的最小项称为约束项b.任意项：输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为任意项 。 b.任意项：输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为任意项 。 例如8421BCD码取值为0000 ~ 1001十个状态，而1010~1111这六个状态不可能出现，故对应的函数取“0”或取“1”对函数没有影响，这些项就是任意项项。c.无关项：将约束项和任意项统称为无关项 。即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响2. 含有无关项的逻辑函数的表示方法最小项的表达式为其中∑d为无关项也可以写成2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项3. 无关项在化简逻辑函数中的应用3. 无关项在化简逻辑函数中的应用③化简时，根据需要无关项可以作为“1”也可作“0”处理，以得到相邻最小项矩形组合最大（包含“1”的个数最多）为原则。利用无关项可以使得函数进一步简化步骤：① 将给定的逻辑函数的卡诺图画出来;②将无关项中的最小项在卡诺图相应位置用“× ”表示出来；2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项例2.6.1 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式和或与式例2.6.1 用卡诺图简化下列逻辑函数，并写成最简与或式和或与式解：Y的卡诺图如表2.6.1所示则最简与或式为2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项111111××××××××还有另一种圈法，如图2.6.2所示还有另一种圈法，如图2.6.2所示简化后的逻辑函数为2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项此种圈法圈数少，变量少，比上一种简单写成或与式为写成或与式为2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项例1.4.13 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或与式例1.4.13 试简化下列逻辑函数，写最简成与或式和或与式解：约束条件为则Y的卡诺图如表2.6.4所示最简与或式为（即AB取值不能相同）2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项11111××××××××圈“0”圈“0”则最简或与式为2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式练习：将下列函数简化成最简与或式和或与式2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项*2.7 卡诺图的其它应用*2.7 卡诺图的其它应用卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算1 判明函数关系 利用卡诺图可以判明函数是否相等、互补。若两个函数的卡诺图相同，则这两个函数一定相等。即若函数Y和G的卡诺图相同，则Y＝G。若两个函数的卡诺图中“0”和“1”对调，则这两个函数为互补。例如例如它们的卡诺图如表2.7.1所示，则Y＝G2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算再例如再例如它们的卡诺图如表2.7.2和2.7.3所示则2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算2.函数运算2.函数运算若已知函数Y1和Y2，则可利用卡诺图做逻辑运算。例2.7.1若Y1＝AB＋AC  ，Y2＝A＋BC 试利用卡诺图求Y1＋Y2 、Y1＋Y2及Y1⊙Y2解： Y1和Y2的卡诺图如表2.7.4及2.7.5所示2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算则两个函数的与为则两个函数的与为=2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算则两个函数的或为则两个函数的或为=2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算则两个函数的同或为则两个函数的同或为=2.7.1.判明函数关系和进行函数的运算2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换 逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由不同的门电路来实现。一般的逻辑函数为与或式（乘积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。1. 与或式转换成或与式 已知逻辑函数的与或式，先画出逻辑函数的卡诺图，再圈“0”，便可得到最简的或与式。例2.7.2将下面逻辑函数化成最简或与式例2.7.2将下面逻辑函数化成最简或与式解：其卡诺图如表2.7.8所示2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换1则11111002.将与或式转换成与或非式已知逻辑函数式，先画出其卡诺图，然后圈“0”写出逻辑函数的补函数的与或式，再取反即可得到与或非式2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换例2.7.3 将下面逻辑函数简化成最简与或非式解：其卡诺图如表2.7.9所示取反即得与或非式，即1111110000000000圈“0”可得Y为3.将与或式转换成或非式3.将与或式转换成或非式 已知逻辑函数的与或式，先画出卡诺图，圈“0”，得到最简或与式，进行两次取反，利用摩根定理即可得到或非式例1.5.4 将下面逻辑函数化成最简或非式解：2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换其卡诺图如图2.7.10所示，则其卡诺图如图2.7.10所示，则2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换1111111111110000例1.5.5 将下面的逻辑函数简化成与非式、与或非式和或非式例1.5.5 将下面的逻辑函数简化成与非式、与或非式和或非式解：卡诺图如表2.7.11所示，则最简与或式为两次取反可得与非式为：2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换11111111表2.7.11圈“0”，可得Y的反函数的与或式为表2.7.11圈“0”，可得Y的反函数的与或式为2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换或与式为或与式为或非式为2.7.2 逻辑函数表达式类型的转换作 业作 业题2.3 题2.7 题2.8 题2. 10（1）（6） 题2.11 (4) 题2.12(2) 题2.13 (2)（3） 题2.15(5)（9） 题2.16(a)（c） 题2.18(3)（5）（7） 题2.22 (3) 题2.23 (4) 题2.25 (3)