数学分析中求极限的重要方法

数学分析中求极限的方法 数学分析中求极限的重要方法 摘 要：极限一直是数学分析中的一个重点内容,是数学分析的基础,数学分析中的基本概念都可以用极限来描述.如导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具,是贯穿数学分析的一条主线.而对极限的求法可谓是多种多样.本文主要归纳了数学分析中求极限的几种重要方法.在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文就关于求极限的重要方法作一个比较全面的概括,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益. 关键词：洛必达法则；中值定理；定积分；泰勒公式 引言 在数学分析中极限的求法不拘一格,各种各样.归纳法,演绎法,比较法等多种方法都可以用于极限的求解过程中.在数学分析中求极限的方法虽然比较繁多但是却不集中,本文根据所学知识探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路.这些方法虽不能适用于所有极限的求解但仍然具有一定代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 性. 文献[4][9]为本文提供了大量的理论依据.文献[1][2]主要讨论了极限的求解方法.文献[3]主要讨论运用泰勒公式求极限.文献[5][6][7]从例题的角度分析总结求极限的方法.文献[10]就如何正确运用洛必达法则进行了分析. 本文在综合了大量文献和资料的基础上,以数学分析中的理论为基础,对一些比较重要的方法进行系统的归纳和总结.求极限的方法灵活多样,本文只对一些常见的极限的求解进行了概括和归纳并大致总结了以下几种重要方法：利用迫敛性求极限,利用变量变换法求极限,利用四则运算性质求极限,利用两个重要公式求极限,利用洛必达法则求极限,利用中值定理求极限等等.相信只要掌握了本文总结的方法,那么对于常见极限的求解一定会事半功倍.极限是数学分析的基础因而掌握极限的求解对于今后课程的学习也具有非常重要的意义. 1.利用迫敛性求极限 1.1利用迫敛性求数列极限 若存在正整数 当 时,有 且 , 则 . 例1 求 . 解 对任意正整数 ,显然有 , 而 , ,由迫敛性定理得 . 1.2利用迫敛性求一元函数极限 设 且在某 内有 则 . 例2 求 . 解 因为 且 . 由迫敛性得 . 1.3利用迫敛性求二元函数极限 设 且在 的邻域 对一切 都有 , 则 . 例3 求 . 解 因为 , , 由迫敛性定理得 . 2.利用变量替换法求极限 2.1利用变量替换法求数列极限 例4 设 .求 . 解 令 则 . 由此反复过程知 于是 . 2.2利用变量替换法求一元函数极限 例5 求 . 解 令 则 . 2.3利用变量替换法求二元函数极限 例6 求 （ 为一个确定的自然数）. 解 令 ,则 当 时, . 3.利用四则运算性质求极限 3.1利用四则运算性质求数列极限 若 那么 .　 .　 . 例7 求 . 解 . 3.2利用四则运算性质求一元函数极限 若极限 和 都存在,则函数 , 当 时极限也存在且 . . 又若 则 在 时极限也存在,且有 . 例8 求 . 解 . 3.3利用四则运算性质求二元函数极限 若 , .则 ; ; . 例9 求 . 解 因为 所以 . 4.利用两个重要极限公式求极限 4.1利用两个重要极限求一元函数极限 利用 .它的扩展形式为 . 其中 也可以是 . 利用 .它的扩展形式为 . 例10 求 . 解 = . . 例11 求 . 解 . 4.2利用两个重要极限求二元函数极限 . . 它们分别是一元函数两个重要极限的推广. 例12 求 . 解 . 例13 求 . 解 而 故 原式 . 5.利用单调有界准则求极限 单调有界数列必有极限,而且极限唯一.用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的极限存在,然后根据数列的通项递推公式求极限. 例14 证明下列数列的极限存在,并求极限. . 证明 从这个数列构造来看 显然是单调递增的,用归纳法可证. 又因为 . 所以 . 因为前面证明 是单调递增的.两端除以 得 . 因为 则 , 从而 可得 . 即 是有界的.根据单调有界定理 有极限,而且极限唯一. 令 则 . 即 . 因为 解方程得 , 所以 . 6.利用洛必达法则求极限 在前面的叙述中,我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限,在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法.我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限,分别记作 型或 型的不定式极限.现在我们将以导数为工具研究不定式极限,这个方法通常称为洛必达法则. 1对于 型不定式极限,可根据以下定理来求出函数的极限 定理1 若函数 和函数 满足 ； 在点 的某空心邻域 内两者都可导,且 ； = （ 可为实数,也可为 或 ）, 则 = = . 例15 求 . 解 这是 型不定式极限,可以直接用洛必达法则. . 2 型不定式极限 定理2 若函数 和函数 满足 = = ； 在点 的某右邻域 内两者都可导,且 ； =A（A可为实数,也可为 或 ）则 = =A. 例16 求 . 解 这是 型的不定式极限,可以直接用洛必达法则. 因为 , . 所以 . 3其它类型不定式极限 不定式极限还有 , , , , 等类型.这些类型经过简单的变换, 都可以化为 型和 型的不定式极限. 例17 求 . 解 这是一个 型的不定式极限,将它转化为 型的不定式极限,并用洛比达法则得到 故 . 例18 求 . 解 这是一个 型的不定式极限, 可以作变形. . 例19 求 . 解 这是一个 型的不定式极限, 可以作变形. . 例20 求 . 解 这是一个 型的不定式极限,可先求其对数的极限（ 型）. . 例21 求 . 解 这是 型不定式极限,可化为 型的极限 . 7. 利用中值定理求极限 微分中值定理 若函数 满足 ( ) 在 上连续； ( ) 在 内可导, 则在 内至少存在一点 ,使得 . 例22 求 . 解 因为 由微分中值定理得 , . 原式= . 积分中值定理 设函数 在闭区间 上连续且 在 上不变号且可积,则在 上至少有一点 使得 . 例23 求 . 解 由积分中值定理 ,（ ）. 所以 . 8. 利用泰勒公式求极限 泰勒定理 若函数 在 上存在直至 阶的连续导数,在 内存在 阶导函数,则对任意给定的 , ,至少存在一点 ,使得 例24 求 . 解 原式 (令 ) . 由于泰勒公式的特殊形式,对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用 . 9. 利用定积分求和式的极限 设函数 在 连续,将 分为 份 ,对于每一个 ,任取 ,令 ,并令 则 . 如果将 等分即 ,则 , 再取 ,便有 即 . 例25 求 . 解 把此极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算计算定积分,为此作如下变形 . 不难看出,其中的和式是函数发 在区间 上的一个积分和.（这里所取的是等分分割, , 所以 . 当然,也可把J看作 在 上的定积分,同样有 . 结束语 极限计算的方法灵活多样,本文只对一些常见的极限的重要方法进行了概括和归纳.对于一些复杂的或不常见的极限的求解可以用数列的几何或算术平均值求极限,代数函数方法求极限等等.当然对于某个问题我们不能机械的就用某种方法,对具体题目要注意要具体条件具体分析,多种方法混合使用,在此本文不再赘述.总之,极限计算的方法灵活多样,只要我们掌握好极限理论,多总结,多做练习就能够得到一些解题的规律,增强解题的能力,提高自己的素养. 参考文献 [1] 斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京高等教育出版社,1993:33-56. [2] 刘玉琏.数学分析讲义练习题选讲[M].北京高等教育出版社,1984:23-65. [3] 刘云.浅谈泰勒公式的应用[J].和田师范专科学校学报,2008,28(2):197-201. [4] 李成章,茂玉民.数学分析[M].北京科学出版社,2002:21-56. [5] 程鹏.求函数极限的方法[J].河南科技学院学报,2008,9(36):133-134. [6] 胡适耕.大学数学解题艺术[M].湖南湖南大学出版社,1982. [7] 钱吉林等主编.数学分析题解精粹[M].上海:崇文书局,2003:82-111. [8] 王向东.数学分析的概念与方法[M].上海上海科学文献出版社,1981. [9] 华东师范数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1999:43-66. [10] 刘涛.慎用洛必达法则求极限[J].中国科技信息,2005,(21):68. [11] Rudin w.Principle of mathematical analysis[M].New York:John Pearson Edution,1990.