线线角_线面角_二面角的一些题目

线面角与面面角 线线角与线面角习题 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2, E、F分别为AB、CD的中点且EF= ，AD、BC所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 ( ) (A). (B). (C). (D). 3.平面 与直线 所成的角为 ,则直线 与平面 内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD所在平面与正方形 ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 例2.如图在正方体AC1中, (1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1与平面A1C1B所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. 例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC= . (1)若D为BC的中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1; (2)试问:若AB= ,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论. 备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解 决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾, 从而判断命题是否成立. 四、反馈练习 1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则 (A)A=B=C (B)A=B C (C)A B C (D) B A C. 2两条直线 , 与平面 所成的角相等,则直线 , 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为 . 4已知 、 是一对异面直线，且 、 成60o角，则在过空间任意点P的所有直线中，与 、 均成60o角的直线有 条. 5异面直线 、 互相垂直， 与 成30o角，则 与 所成角的范围是 . 6∠ACB=90ο在平面 内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则PC与平面 所成的角为 . 7设线段AB= ,AB在平面 内,CA⊥ ,BD与 成30ο角,BD⊥AB,C、D在 同侧,CA=BD= .求: (1)CD的长;(2)CD与平面 所成角正弦值. 课前预习 1. 60ο 2.A 3. [ , ] 4.C 5. 典型例题 例1解:∵CB∥AD ∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD的边长为 ,则BF= ∵CB⊥AB, EB⊥AB∴∠CEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角 ∴∠CBE=∠60ο ∴CE= FC= ∴cos∠CBF= 例2解:(1)设所求的角为 ,先证BD⊥平面ACC1A1,则sin =sin∠OC1B= = .故 =30o.(2)△A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. ∴棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H⊥平面A1BC1,连A1H, ∠B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1= 则A1B= 得A1H= .故cos∠B1A1H= = .所求角为 例3解:(1)连接OF,容易证明AD⊥面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DF⊥FC1, ∴FC1⊥EF.(2) ∵AD⊥面BB1C1C, ∠EFD是EF与平面BB1C1C所成的角.在△EDF中,若∠EFD=60ο,则ED=DF·tan60ο= · = ,∵AB=BC=AC=2 ,∴AD= .∵ > .∴E在DA的延长线上,而不在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60ο角. 反馈练习 1. D 2. D 3. 4. 3 5.[ 60ο,90ο] 6. 45ο 7.解:(1)作DD＇⊥ 于D＇,连接AD＇,BD＇.CA⊥ ,∴CA∥DD＇.四边形CAD＇D是直角梯形,∠CAD＇=∠D D＇A=90ο,AB ,AB⊥DD＇.又AB⊥BD,∴AB⊥平面BDD＇,BD＇ 平面BDD＇.∴AB⊥BD＇.∵∠DBD＇是BD与 所成的角,∴∠DBD＇=30ο,BD= ,DD＇= ,BD＇= .在△ABD＇中,AB= ,BD＇= ,∠ABD＇=90ο,∴AD＇= = .在CAD＇D中，CD= . (2)作D＇C＇∥DC交CA于C＇,∠C＇D＇A是CD与 所成的角,sin∠C＇D＇A= . 线面角与面面角练习 一、知识与方法要点： 1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。 2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。 3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。 两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 二、例题 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点． (1)求证：AC1⊥平面A1BD． (2)求BM与平面A1BD成的角的正切值． 解： (1)连AC， ∵C1C⊥平面ABCD， ∴C1C⊥BD． 又AC⊥BD， ∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B ∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD． (2)设正方体的棱长为 ，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1， ∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD． 连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在 中， ， ，∴ ． 例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转， 使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P． （1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值． 证明（1）  由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心， 即D∈AB．∵PD⊥AB，PD 面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC． （2）解法1  取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD． △BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角． 又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC， 由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形． 设 ，则 ， ， ． 例3．如图所示，在正三棱柱 中， ，截面 侧面 ． (1)求证： ； (2)若 ，求平面 与平面 所成二面角(锐角)的度数． 证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A C，G是垂足，如图， ∵面A EC⊥面AC ，∴EG⊥侧面AC ． 取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC． ∵面ABC⊥侧面AC ，∴BF⊥侧面AC ， 得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC 于FG． ∵BE∥侧面AC ，∴BE∥FG，四边形BEGF是 ，BE＝FG． ∴BE∥AA ，∴FG∥AA ，△AA C∽△FGC． 解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结A D． ∵∠B A C ＝∠B C A ＝60°， ∴∠DA C ＝∠DA B ＋∠B A C ＝90°，即 DA ⊥A C ．∵CC ⊥面A C B ， 由三垂线定理得DA ⊥A C，所以∠CA C 是所求二面角的平面角．且∠A C C＝90°． ∵CC ＝AA ＝A B ＝A C ，∴∠CA C ＝45°，即所求二面角为45°． 说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法． 三、作业： 1．已知平面的一条斜线a与平面成角，直线b，且a,b异面，则a与b所成的角为 （A） A．有最小值，有最大值 B．无最小值，有最大值 。 C．有最小值，无最大值 D．有最小值，有最大值。 2．下列命题中正确的是 （D） A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个 B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个 C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条 D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个 3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为 45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A） A．30 B．20 C．15 D．12 4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为 ，底面边长为 ，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是 （C） A．30° B．45° C．60° D．90° 5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为 ，则它的侧棱与底面所成的角为 6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB⊥CD； （Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值. 7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值． 解 过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足， ∴AH 2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC， ∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD ∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心， 连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点， ，在Rt△ADH中， 8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB． 求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF． 证明  如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB． ∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）． ∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF． （2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD 面BCD．∴面AEF⊥面BCD． （3）由EF⊥CD，AE⊥CD ∴ AEF为二面角B-DC-A的平面 又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D ∴AF⊥平面DBC， 二面角题目： 例1．​ 如图所示，已知 面 ， ，二面角 的平面角为 ，求证： 2．如图，在空间四边形 中， 是正三角形， 是等腰直角三角形，且 ，又二面角 为直二面角，求二面角 的大小。 例3．设 在平面 内的射影是直角三角形 的斜边 的中点 ， ， 求（1）AC与平面BCD所成角的大小； （2）二面角 的大小； （3）异面直线AB和CD所成角的大小。 例4.在正方体 中， 为 的中点，求截面 与底面 所成较小的二面角的大小。 选用：如图，正方体的棱长为1， ，求： （1） 与 所成角； （2） 与平面 所成角的正切值； （3）平面 与平面 所成角 解：（1）∵ ∴ 与 所成角就是 ∵ 平面 ∴ （三垂线定理） 在 中， ∴ （2）作 ，平面 平面 ∴ 平面 ， 为 与平面 所成角 在 中， ∴ （3）∵ ∴ 平面 又∵ 平面 ∴平面 平面 即平面 与平面 所成角为