超导理论第一章

null超导微观理论超导微观理论罗强 副教授 北大物理学院 电话:13522493895 luoqiang@pku.edu.cnnull参考书 章立源, 《超导理论》, 科学出版社, 2006年 卫崇德,章立源,刘福绥,《固体物理中的格林函数 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 》,第七章,高等教育出版社,1992年 李正中,《固体理论》,第六,七章,高等教育出版社,2002年 韩汝珊,《高温超导物理》,北京大学出版社,1998年 向涛,《d波超导体》,科学出版社,2007年 韩汝珊，闻海虎，向涛，《铜氧化物高温超导电性实验与理论研究》，科学出版社，2009年 张裕恒，《超导物理》，中国科学技术大学出版社，1997 nullE.M. Lifshitz and L.P. Pitaevskii, Statistical Physics, Part 2, Pergamon Press, 1998 G.D. Mahan, Many-Particle Physics, Second Edition, Plenum Press S. Doniach and E.H. Sondheimer, Green’s Functions for Solid State Physicists, Imperial College Press, 1998 J.R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Benjamin/Cummings, Reading, MA, 1964 M. Tinkham, Introduction to Superconductivity (2nd ed.), McGraw-Hill, New York, 1996 nullR. Parks, Ed., Superconductivity, Parts I and II, New York: Marcel Dekker 1969 P.G. de Gennes, Superconductivity of metals and alloys, Benjamin, Menlo Park, CA. 1966 G. Rickayzen, Theory of superconductivity, Interscience, New York, 1965 D. Saint-James, E.J. Thomas and G. Sarma, Type II superconductivity, Pergamon, Oxford, England, 1969 S. Fujita and S. Godoy, Theory of High Temperature Superconductivity, Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001 nullV.P. Mineev and K.V. samokhin, Introduction to Unconventional Superconductivity, Gordon and Breach Science Publishers, 1999 null目录第一章 超导唯象理论及BCS理论 1.1 京茨堡-朗道理论 1.2 BCS理论 1.3 约瑟夫森效应 1.4 非对角长程序 1.5 Abrikosov 理论 第二章 超导电性的Gorkov 理论及强耦合超导理论 2.1 有限温度下超导的格林函数理论 2.2 超导体热学性质 2.3 弱恒定磁场中的超导体 2.4 京茨堡-朗道方程的微观推导 2.5 强耦合超导理论null第三章 超导理论新进展及高温超导理论 3.1 高温超导体概述及铜氧化物超导体的电子结构 3.2 高温超导体中超导态的基本属性 3.3 Hubbard模型 3.4 t-J模型 3.5 Peierls Instability 3.6 Anderson’s Resonating Valence Bond Theory 3.7 Schrieffer’s Spin Bag Theory 3.8 Pines’ nearly antiferromagnetic Fermi liquid theory 3.9 Varma’s marginal Fermi liquid theory 3.10 Zhang Shou-cheng, SO(5) symmetry null考核方式:平时作业30%,期末考试70% 上课时间:二/10－12 上课地点:理教315null第一章 超导唯象理论及BCS理论null1.1 京茨堡-朗道理论适用范围:温度接近超导转变温度,对磁场没有要求,可强可弱 有磁场时吉布斯自由能密度nullHere, f is the free energy density, H is the uniform external magnetic field, b is the magnetic induction inside the superconductor.nullHere, the coefficients are given by:null吉布斯自由能是 的函数,对 取变分,求超导体吉布斯自由能取极小值的必要条件,就可以得到京茨堡-朗道方程及其边界条件. 由于复变量 包含两个实变量, 在变分法中 必须被看成独立的.nullnull对 取变分null利用矢量 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 及斯托克斯定理,可将上式化为nullnullnull在弱磁场条件下,化为伦敦方程We then arrive at the desired equationsMaking use of Stokes theorem we havenullExample: Find the critical magnetic field (parallel to the film plane) which destroys superconductivity for a plane film with thicknessSolution: We take the median plane of the film as the xz-plane, with the x-axis in the direction of the field.null作业: 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 上式.null1934年Gorter和Casimir提出二流体模型.1935年伦敦兄弟提出伦敦方程.假设理想导体中存在电场,则有null由麦克斯韦方程我们可以把理想导体看作是非磁性的 因此金属中的任何磁感应强度一定是由电流引起的,它影响 ,并不影响 ,因此可以把上式改写为null如果磁场不随时间非常迅速地变化,位移电流可以略去,因此有将伦敦第一方程带入有null利用矢量公式及麦克斯韦方程我们有伦敦假设,上式对 成立null因此应有此方程和下式共同称为伦敦方程称为伦敦第一方程和伦敦第二方程,分别描述零电阻和迈斯纳效应null伦敦第二方程的另一推导方法nullPippard 方程1.2 BCS理论1.2 BCS理论The Cooper problemElectron-electron attraction within a shell near the Fermi surfaceConsider a spherical Fermi surface at zero temperature, and place two extra electrons outside the Fermi surfaceIt can be shown that the total momentum of the pair is zero. Exception:ηpairingnullThe spin wave function can be either spin singlet or spin tripletThe bound state exists however small the interaction constant. Exotic paringThe BCS ground state wave functionThe BCS ground state wave functionA coherent state of Cooper pairsFor the quantum harmonic oscillatorThe problem can be solved using lowering and raising operatorsnullIn terms of the ladder operators, the oscillator Hamiltonian takes the formnullDefine the coherent stateNormalization condition yieldsnullTurning to Schrieffer’s trial wave functionSome properties of the pair operatorsThe mean field Hamiltonian我们可以从BCS哈密顿量出发，用平均场近似得出超导体的元激发谱和转变温度将算符写成它的平均值加涨落的形式(1)The mean field Hamiltoniannull平均场近似下,涨落为小量, 同样有(1)忽略二者乘积中的二级小量,我们得到平均场哈密顿量(2)null其中我们可以进一步通过正则变换将哈密顿量(2)对角化.引入准粒子算符:(3)(4)null准粒子是费米子,它的两个自旋态用0和1来标记. 我们有如下的反对易关系上面的反对易关系要求(5)(6)(7)null电子的产生,湮灭算符也可以用准粒子算符来表示:(8)null哈密顿量变为(9)令 为实数, 我们可以通过选择参数 使(10)以消去哈密顿量中的非对角项. 作变量替换null其中null在准粒子表象中, 对于无相互作用的准粒子气体有null上式消去 得null上式称为能隙方程. 在 时,null我们还可以由能隙方程来确定超导临界温度分布积分得null利用其中 为欧勒常数我们有null比热的计算. 由热力学公式准粒子的平均占有数为自由费米子体系的熵为null超导态的比热为正常态的比热为null临界点处的比热跃变为null关于 的证明先证null我们有null故通项为null故nullnull又null故有null而nullnull故两边对 求导,再令 ,有null即null利用null原积分null1.3 约瑟夫森效应1962年,Josephson预言: (1)若用一块足够薄的绝缘层将两块超导体隔开,形成隧道结,则有可能观测到由于库珀对隧穿的无阻超电流,这就是直流Josephson效应.null(2)若在隧道结两端施加一个恒定的电压,则隧穿电流将按频率 随时间变化,形成交流隧穿,这就是交流Josephson效应.首先讨论无磁场直流Josephson效应.根据G-L方程,在超导体1中沿z方向的电流密度为null通常, 结区两侧波函数有一定关系,可以用一个唯象边界条件表示代入得null下面讨论有磁场直流Josephson效应.必须引进具有 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 不变性的相位差,以保证可观测量不受规范变换的影响.根据G-L方程null由于速度是可观测量,它应具有规范不变性.当矢量势作规范变换 时,相位必须相应改变由此可知,Josephson效应的电流公式中的相位不具有规范不变性,需改用考虑两个半无限大的超导体1与2被一个沿z方向厚度为d的氧化层隔开.磁场沿y轴,这时可取矢量势为null此时有规范不变的相位差可写为null在恒定磁场情形有这时磁场的存在将导致结中相位差的空间变化(空间调制)相位差的空间调制导致电流密度被调制为nullX方向尺度为D, y方向尺度为L,超电流为null其中穿过结区的总磁通量为磁通量子为这时通过隧道结的超电流的最大值作为磁场的函数可表示为null交流Josephson效应.设沿z方向存在电场, 根据电动力学当结区两端电压为常数时,位相差是时间的线性函数null因此Josephson电流密度为设结区两端电压为则有null相应的超电流密度为利用数学公式可得null当直流偏压满足超电流中将出现一组直流项Shapiro台阶nullShapiro台阶出现处的电压与频率严格满足因此精确测定微波频率和电流阶跃处的电压可以精确地测定普适常数SQUID最简单的SQUID是由两个Josephson结并联组成的环结构.设两个结相同,外磁场垂直于环路平面.超导环所包围的磁通量为null通过环的总超电流等于通过两个结的直流Josephson电流之和当超导环的横截面线度远大于磁场的穿透深度时,可将超导体内迈斯纳态的电流密度取为零,此时有对上式作回路积分后可得null从而求出结1和结2相位差之间的约束关系此时有null双结系统超电流最大值为上式显现了双结干涉效应.若考虑单结衍射效应,则有null1.4 非对角长程序引入双粒子约化密度矩阵其中Yang C N. Concept of off-diagonal long-range order and the quantum phases of liquid He and superconductors. Rev. Mod. Phys.,1962,34;694null作业:证明 和 都是半正定的,即它们的本征值都大于或等于零.Similarities among superconductivity, super fluidity, and Bose-Einstein condensation (BEC)BEC in ultra-cold atomic gases. Experimental realization of BEC in 1995 2001 Nobel prize in physics was awarded to Cornell, Ketterle, and WeimannullThe key point is the factorUsing Stirling’s formula we getReview of Bose-Einstein condensationnullMaximize the entropy subject to the constraints of fixed number of particles and total internal energyThe total number of particles in a box isnullIn the thermodynamic limit, the summation is replaced by integrationRewriting the above equation in terms of fugacity and change variable givesRecall thatnullMaking use of the expansionConvergent provided that the fugacity is smaller than unityAnd the integralnullWe obtainConvergence of the series can be determined by the ratio testSchematic plot of the functionnullAt high temperature or low density, the right hand side of the equation is small, we getAs the temperature decreases, the fugacity gradually increases until it eventually equals one. The temperature where this happens defines the critical temperature.nullWhat happens below the critical temperature?Below the critical temperature, we must treat the ground state separately.nullThe definite integral can be evaluated by the same methods as before, and we obtainThe fraction of particles in the condensate can be written compactlyThe total internal energy of the gas isnullThe average energy per particle isnullBehavior of the heat capacity of the gasBEC is a first-order phase transitionnullMagnetic and laser trapping of very dilute gas of alkali atomsDensity of atoms is typically The critical temperature is estimated to be around How can we view a single large object, such as a rubidium atom as a boson? Lithium, sodium, and rubidium atoms all have nuclear spin nullThe total spin is We can prepare the gas so that only one of these types of states is present Let us find the explicit spin wave functions for the different quantum states, assuming a nuclear spin First we find the states with maximum total spin We may write The rest can be found using the identity nullnullThe three states with total spin unity can be found by the orthogonal requirement nullIn the presence of a magnetic field, the Hamiltonian takes the formZeeman splitting of energy levelsIn a magnetic atom trap, a region of space in which the magnetic field has a local minimum is producednullWe can approximate the pair interaction by a delta function The atoms in the magnetic trap obey an effective Schrodinger equation The mean-field contribution to the potential can be written nullThe mean-field contribution to the potential can be written The chemical potential is determined from the constraint of the constant total number of atoms in the trap These equations are known as the Gross-Pitaevskii equations null对一维或二维系统,Hohenberg证明,如果f求和规则成立,那么非零温时,电子系统不存在非对角长程序.但对于BCS哈密顿量,电子对之间的相互作用是长程的,f 求和规则被破坏,存在非对角长程序,有限温度下超导相变是允许的.null1.5 Abrikosov 理论出发点是G-L方程null在弱场条件下引进超导体的两个特征长度在弱磁场条件下,超流电子密度是均匀的,有在零磁场条件下,G-L I的两个解为null在弱磁场条件下,G-L II化为与London方程比较,有由此定义由G-L方程所引进的穿透深度在相变点附近有null下面讨论弱磁场下的G-L I,忽略超导体内磁场有选波函数为实数,并引入约化有效波函数有引入相干长度设超导样品为占满右半空间的半无限大样品null引入G-L参量在相变点附近有超导体的界面能界面能为正界面能为负null在正常心附近由于超导有序被破坏造成的自由能增加为在正常心附近半径为穿透深度的圆柱区域不具有完全抗磁性,导致磁场能的降低为若两者之差小于零,就可以实现混合态null磁通量子化null上临界场在上临界场以下但接近上临界场时有设样品为无限大超导体,有选外磁场沿z方向,有设解的形式为null这是线性谐振子的薛定谔方程,能量本征值为上临界场对应由此可得null第二类超导体的周期性磁通格子已知磁场为上临界场时的特解通解为null上式在y方向已经有周期性.如果要求在x方向也有周期性,则要求可得磁场比上临界场稍低时的有效波函数设为波函数的变化引起的自由能密度变化为null对超导体体积积分,得单位体积自由能变化为考虑到矢势修正的影响,只保留一次项得令自由能变化为零,得null对于正方格子,可以证明对于三角格子,可以证明null第二类超导体内周期性磁通格子的实验证实1964年,Cribier, small-angle neutron scattering 1967年,Essmann, 装饰法 重费米子超导体UPt3中观察到磁通格子 STM( scanning tunneling microscope), magnetic force microscope, 磁光法, muon spin rotation 高温铜氧化物超导体中观察到磁通格子 nullThermal fluctuationsThe partition function is given by The approximate partition function for the discrete set is given by nullFourier transform Let us consider the specific heat of a superconductor near the transition point nullFourier transform We now make the Gaussian approximation nullThe total internal energy takes the form The heat capacity is found by differentiating againnullIn general, the critical exponent isIn d-dimensions,Where is the surface area of a “sphere” in d-dimensions.The integral over is always of the formnullTherefore the specific heat singularity is proportional to