第一章 温度 第一章 温度 1-1 在什么温度下,下列一对温标给出相同的读数：（1）华氏温标和摄氏温标；（2）华氏温标和热力学温标；（3）摄氏温标和热力学温标？ 解：（1） 当 时，即可由 ，解得 故在 时 （2）又 当 时 则即 解得： 故在 时， （3） 若 则有 显而易见此方程无解，因此不存在 的情况。 1-2 定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。 （1）用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少？ （2）当气体的压强为68mmHg时，待测温度是多少？ 解：对于定容气体温度计可知： (1) (2) 1-3 用定容气体温度计测得冰点的理想气体温度为273.15K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与水的三相点时压强之比的极限值。 解：根据 已知 冰点 。 1-4 用定容气体温度计测量某种物质的沸点。 原来测温泡在水的三相点时，其中气体的压强 ；当测温泡浸入待测物质中时，测得的压强值为 ,当从测温泡中抽出一些气体,使 减为200mmHg时,重新测得 ,当再抽出一些气体使 减为100mmHg时,测得 .试确定待测沸点的理想气体温度. 解：根据 从理想气体温标的定义： 依以上两次所测数据,作T-P图看趋势得出 时,T约为400.5K亦即沸点为400.5K. 题1-4图 1-5 铂电阻温度计的测量泡浸在水的三相点槽内时，铂电阻的阻值为90.35欧姆。当温度计的测温泡与待测物体接触时，铂电阻的阻值为90.28欧姆。试求待测物体的温度，假设温度与铂电阻的阻值成正比，并规定水的三相点为273.16K。 解：依题给条件可得 则 故 1-6 在历史上，对摄氏温标是这样规定的：假设测温属性X随温度t做线性变化 ，即，并规定冰点为 ，汽化点为 。 设 和 分别表示在冰点和汽化点时X的值，试求上式中的常数a和b。 解： 由题给条件可知 由（2）-（1）得 将（3）代入（1）式得 1-7 水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm；温度计浸在沸水中时，水银柱的长度为24.0cm。 （1） 在室温 时，水银柱的长度为多少？ （2） 温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为25.4cm，试求溶液的温度。 解：设水银柱长 与温度 成线性关系： 当 时， 代入上式 当 ， （1） （2） 1-8 设一定容气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在冰点和汽化点时，其中气体的压强分别为 和 。 （1）当气体的压强为 时，待测温度是多少？ （2）当温度计在沸腾的硫中时（硫的沸点为 ），气体的压强是多少？ 解：解法一 设P与t为线性关系： 由题给条件可知：当 时有 当 时得： 由此而得（1） （2） 时 解法二 若设t与P为线性关系 利用第六题公式可得： 由此可得：（1） 时 （2） 时 1-9 当热电偶的一个触点保持在冰点，另一个触点保持任一摄氏温度t时，其热电动势由下式确定： 式中 题1-9题（1） 题1-9图（2） 题1-9图（3） （1） 试计算当 和 时热电动势 的值，并在此范围内作 图。 （2） 设用 为测温属性，用下列线性方程来定义温标 ： 并规定冰点为 ，汽化点为 ，试求出a和b的值，并画出 图。 （3） 求出与 和 对应的 值，并画出 图 （4） 试比较温标t和温标 。 解：令 （1） （2） 在冰点时 ，汽化点 ，而 ， 已知 解得： （3） 当 时 当 时 当 时 当 时 （4）温标t和温标 只有在汽化点和沸点具有相同的值， 随 线性变化，而t不随 线性变化，所以用 作测温属性的 温标比t温标优越，计算方便，但日常所用的温标是摄氏温标，t与 虽非线性变化，却能直接反应熟知的温标，因此各有所长。 1-10 用L表示液体温度计中液柱的长度。定义温标 与L之间的关系为 。式中的a、b为常数，规定冰点为 ，汽化点为 。设在冰点时液柱的长度为 ，在汽化点时液柱的长度，试求 到 之间液柱长度差以及 到 之间液柱的长度差。 解：由题给条件可得： ……（1） ……（2） 解联立方程（1）（2）得： 则 1-11 定义温标 与测温属性X之间的关系为 ，其中K为常数。 （1）设X为定容稀薄气体的压强，并假定在水的三相点为 ，试确定温标 与热力学温标之间的关系。 （2）在温标 中，冰点和汽化点各为多少度？ （3）在温标 中，是否存在0度？ 解：（1）根据理想气体温标 ，而X=P ……（1） 由题给条件，在三相点时 代入式 代入（1）式得： ……（2） （2）冰点 代入（2）式得 汽化点 代入（2）式得 （3）若 ，则 从数学上看， 不小于0，说明 有0度存在，但实际上，在此温度下，稀薄汽体可能已液化，0度不能实测。 1-12 一立方容器，每边长20cm其中贮有 ， 的气体，当把气体加热到 时，容器每个壁所受到的压力为多大？ 解：对一定质量的理想气体其状态方程为 因 ， 而 故 1-13 一定质量的气体在压强保持不变的情况下，温度由 升到 时，其体积将改变百分之几？ 解：根据方程 则体积改变的百分比为 1-14 一氧气瓶的容积是 ，其中氧气的压强是 ，规定瓶内氧气压强降到 时就得充气，以免混入其他气体而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用 氧气 ，问一瓶氧气能用几天。 解：先作两点假设，（1）氧气可视为理想气体，（2）在使用氧气过程中温度不变。则： 由 可有 每天用掉的氧气质量为 瓶中剩余氧气的质量为 天 1-15 水银气压计中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压小，当精确的气压计的读数为 时，它的读数只有 。此时管内水银面到管顶的距离为 。问当此气压计的读数为 时，实际气压应是多少。设空气的温度保持不变。 题1-15图 解：设管子横截面为S，在气压计读数为 和 时，管内空气压强分别为 和 ，根据静力平衡条件可知 ，由于T、M不变 根据方程 有 ，而 1-16 截面为 的粗细均匀的U形管，其中贮有水银，高度如图1-16所示。今将左侧的上端封闭年，将其右侧与真空泵相接，问左侧的水银将下降多少？设空气的温度保持不变，压强 题1-16图 解：根据静力平均条件，右端与大气相接时，左端的空气压强为大气压；当右端与真空泵相接时，左端空气压强为 （两管水银柱高度差） 设左端水银柱下降 常数 即 整理得 ： （舍去） 1-17 图1-17所示为一粗细均匀的J形管，其左端是封闭的，右侧和大气相通，已知大气压强为 ，今从J形管右侧灌入水银，问当右侧灌满水银时，左侧水银柱有多高，设温度保持不变，空气可看作理想气体。 题1-17图 解：设从J形管右侧灌满水银时，左侧水银柱高为h。假设管子的直径与 相比很小，可忽略不计，因温度不变，则对封闭在左侧的气体有： 而 （S为管的截面积） 解得： （舍去） 1-18 如图1-18所示，两个截面相同的连通管，一为开管，一为闭管，原来开管内水银下降了 ，问闭管内水银面下降了多少？设原来闭管内水银面上空气柱的高度R和大气压强为 ，是已知的。 题1-18图 解：设截面积为S，原闭管内气柱长为R大气压为P闭管内水银面下降后，其内部压强为。对闭管内一定质量的气体有： 以水银柱高度为压强单位： 取正值，即得 1-19 一端封闭的玻璃管长 ，贮有空气，气体上面有一段长为 的水银柱，将气柱封住，水银面与管口对齐，今将玻璃管的开口端用玻璃片盖住，轻轻倒转后再除去玻璃片，因而使一部分水银漏出。当大气压为 时，六在管内的水银柱有多长？解： 题1-19图 设在正立情况下管内气体的压强为 ，以水银柱高度表示压强， 倒立时，管内气体的压强变为 ，水银柱高度为 由于在倒立过程温度 不变， 解之并取 的值得 1-20 求氧气在压强为 ，温度为 时的密度。 解：已知氧的密度 1-21 容积为 的瓶内贮有氢气，因开关损坏而漏气，在温度为 时，气压计的读数为 。过了些时候，温度上升为 ，气压计的读数未变，问漏去了多少质量的氢。 解：当 时，容器内氢气的质量为： 当 时，容器内氢气的质量为： 故漏去氢气的质量为 1-22 一打气筒，每打一次可将原来压强为 ，温度为 ，体积 的空气压缩到容器内。设容器的容积为 ，问需要打几次气，才能使容器内的空气温度为 ，压强为 。 解：打气后压强为： ，题上未说原来容器中的气体情况，可设原来容器中没有空气，设所需打气次数为 ，则 得： 次 1-23 一气缸内贮有理想气体，气体的压强、摩尔体积和温度分别为 、 和 ，现将气缸加热，使气体的压强和体积同时增大。设在这过程中，气体的压强 和摩尔体积 满足下列关系式： 其中 为常数 （1）求常数 ，将结果用 ， 和普适气体常数 表示。 （2）设 ，当摩尔体积增大到 时，气体的温度是多高？ 解：根据 理想气体状态方程 和过程方程 有 （1） （2） 而 ，则 1-24 图1-24为测量低气压的麦克劳压力计的示意图，使压力计与待测容器相连，把贮有水银的瓶R缓缓上提，水银进入容器B，将B中的气体与待测容器中的气体隔开。继续上提瓶R，水银就进入两根相同的毛细管 和 内，当 中水银面的高度差 ，设容器的容积为 ，毛细管直径 ，求待测容器中的气压。 题1-24图 解：设 管体积 ，当水银瓶R上提时，水银上升到虚线处，此时B内气体压强与待测容器的气体压强相等。以B内气体为研究对象，当R继续上提后， 内气体压强增大到 ，由于温度可视为不变，则根据玻-马定律，有 由于 1-25 用图1-25所示的容积计测量某种轻矿物的操作步骤和实验数据如下： （1）打开活拴K，使管AB和罩C与大气相通。上度移动D，使水银面在n处。 （2）关闭K，往上举D，使水银面达到m处。这时测得B、D两管内水银面的高度差 。 （3）打开K，把400g的矿物投入C中使水银面重密与对齐，关闭K。 （4）往上举D，使水银面重新到达m处，这时测得B、D两管内水银面的高度差 已知罩C和AB管的容积共为 ，求矿物的密度。 题1-25图 解：设容器B的容积为 ，矿物的体积为 ， 为大气压强，当打开K时，罩内压强为 ，步骤（2）中罩内压强为 ,步骤（4）中，罩内压强为 ，假设操作过程中温度可视不变，则根据玻-马定律知 未放矿石时： 放入后： 解联立方程得 1-26 一抽气机转速 转/分，抽气机每分钟能够抽出气体 ，设容器的容积 ，问经过多少时间后才能使容器的压强由 降到 。 解：设抽气机每转一转时能抽出的气体体积为 ，则 当抽气机转过一转后，容器内的压强由 降到 ，忽略抽气过程中压强的变化而近似认为抽出压强为 的气体 ，因而有 ， 当抽气机转过两转后，压强为 当抽气机转过n转后，压强 设当压强降到 时，所需时间为 分，转数 1-27 按重量计，空气是由 的氮， 的氧，约 的氩组成的（其余成分很少，可以忽略），计算空气的平均分子量及在
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状态下的密度。 解：设总质量为M的空气中，氧、氮、氩的质量分别为 。氧、氮、氩的分子量分别为 。 空气的摩尔数 则空气的平均摩尔质量为 即空气的平均分子量为28.9。空气在标准状态下的密度 1-28 把 的氮气压入一容积为 的容器，容器中原来已充满同温同压的氧气。试求混合气体的压强和各种气体的分压强，假定容器中的温度保持不变。 解：根据道尔顿分压定律可知 又由状态方程 且温度、质量M不变。 1-29 用排气取气法收集某种气体（见图1-29），气体在温度为 时的饱和蒸汽压为 ，试求此气体在 干燥时的体积。 题1-29图 解：容器内气体由某气体两部分组成，令某气体的压强为 则其总压强 干燥时，即气体内不含水汽，若某气体的压强也为 其体积V，则根据PV=恒量（T、M一定）有 1-30 通常称范德瓦耳斯方程中 一项为内压强，已知范德瓦耳斯方程中常数a，对二氧化碳和氢分别为 和 ，试计算这两种气体在 ，0.01和0.001时的内压强， 解：根据内压强公式 ，设 内压强为 的内压强 。 当 时， 当 时 当 时 1-31 一摩尔氧气，压强为 ，体积为 ，其温度是多少？ 解：由于体积 较小，而压强较大，所以利用状态方程则必然出现较大的误差，因此我们用范氏方程求解 式中 1-32 试计算压强为 ，密度为 的氧气的温度，已知氧气的范德瓦耳斯常数为 ， 。 解：设氧气的质量为 ，所占的体积为 ，则有 根据范氏方程 则有 代入数据得： 1-33 用范德瓦耳斯方程计算密闭于容器内质量 的二氧化碳的压强。已知容器的容积 ，气体的温度 。试计算结果与用理想气体状态方程计算结果相比较。已知二氧化碳的范德瓦斯常数为 ， 。 解：（1）应用范氏方程计算： 得出： 代入数据计算得： （2）应用理想气体状态方程： 小结：应用两种方程所得的P值是不同的，用范氏方程所得结果小于理想气体方程所得的P值。其原因是由于理想气体状态方程忽略分子间作用力和气体分子本身所占的体积，所以使得计算的压强大于真实气体的压强。 第二章 气体分子运动论的基本概念 2-1 目前可获得的极限真空度为10-13mmHg的数量级，问在此真空度下每立方厘米内有多少空气分子，设空气的温度为27℃。 解： 由P=n K T可知 n =P/KT= =3.21×109(m –3) 注：1mmHg=1.33×102N/m2 2-2 钠黄光的波长为5893埃，即5.893×10-7m，设想一立方体长5.893×10-7m， 试问在标准状态下，其中有多少个空气分子。 解：∵P=nKT ∴PV=NKT 其中T=273K P=1.013×105N/m2 ∴N= 个 2-3 一容积为11.2L的真空系统已被抽到1.0×10-5mmHg的真空。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出吸附的气体。若烘烤后压强增为1.0×10-2mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子。 解：设烘烤前容器内分子数为N。，烘烤后的分子数为N。根据上题导出的公式PV = NKT则有： 因为P0与P1相比差103数量，而烘烤前后温度差与压强差相比可以忽略，因此 与 相比可以忽略 个 2-4 容积为2500cm3的烧瓶内有1.0×1015个氧分子,有4.0×1015个氮分子和3.3×10-7g的氩气。设混合气体的温度为150℃,求混合气体的压强。 解：根据混合气体的压强公式有 PV=（N氧+N氮+N氩）KT 其中的氩的分子个数： N氩= （个） ∴ P=（1.0+4.0+4.97）1015 Pa mmHg 2-5 一容器内有氧气，其压强P=1.0atm,温度为t=27℃，求 (1) 单位体积内的分子数： (2) 氧气的密度； (3) 氧分子的质量； (4) 分子间的平均距离； (5) 分子的平均平动能。 解：(1) ∵P=nKT ∴n= m-3 (2) (3)m氧= g (4) 设分子间的平均距离为d，并将分子看成是半径为d/2的球，每个分子的体积为v0。 V0= ∴ cm (5)分子的平均平动能 为： （尔格） 2-6 在常温下(例如27℃)，气体分子的平均平动能等于多少ev?在多高的温度下，气体分子的平均平动能等于1000ev? 解：(1) （J） ∵leV=1.6×10-19J ∴ (ev) (2)T= 2-7 一摩尔氦气，其分子热运动动能的总和为3.75×103J,求氦气的温度。:解: ∴ 2-8 质量为10Kg的氮气，当压强为1.0atm,体积为7700cm3 时，其分子的平均平动能是多少？ 解: ∵ 而 ∴ J 2-9 质量为50.0g，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L的封闭容器内，容器以v=200m/s的速率作匀速直线运动。若容器突然静止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度和压强将各增大多少？ 解：由于容器以速率v作定向运动时，每一个分子都具有定向运动，其动能等于 ，当容器停止运动时，分子定向运动的动能将转化为分子热运动的能量，每个分子的平均热运动能量则为 ∴△T= 因为容器内氦气的体积一定，所以 故△P= ，又由 得： ∴△P= （atm ） 2-10 有六个微粒，试就下列几种情况计算它们的方均根速率： (1) 六个的速率均为10m/s； (2) 三个的速率为5m/s,另三个的为10m/s； (3) 三个静止，另三个的速率为10m/s。 解：（1） （2） （3） 2-11 试计算氢气、氧气和汞蒸气分子的方均根速率，设气体的温度为300K，已知氢气、氧气和汞蒸气的分子量分别为2.02、32.0和201。 解： m/s 2-12 气体的温度为T = 273K,压强为 P=1.00×10-2atm,密度为ρ=1.29×10-5g (1) 求气体分子的方均根速率。 (2) 求气体的分子量，并确定它是什么气体。 解：（1） （2） m=28.9 该气体为空气 2-13 若使氢分子和氧分子的方均根速率等于它们在月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？ 解：在地球表面的逃逸速率为 V地逸= 在月球表面的逃逸速率为 V月逸= 又根据 ∴ 当 时，则其温度为 TH2= TO2= 当 时 TH2= TO2= 2-14 一立方容器，每边长1.0m，其中贮有标准状态下的氧气，试计算容器一壁每秒受到的氧分子碰撞的次数。设分子的平均速率和方均根速率的差别可以忽略。 解：按题设 米/秒 设标准状态下单位容器内的分子数为n，将容器内的分子按速度分组，考虑速度为vi的第i组。说单位体积内具有速度vi的分子数为ni，在时间内与dA器壁相碰的分子数为ni·vixdt·dA，其中vix为速度vi在X方向上的分量，则第i组分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为ni·vix，所有分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为： 即 在标准状态下n=2.69×1025m-3 ∴ 2-15 估算空气分子每秒与1.0cm2墙壁相碰的次数，已知空气的温度为300K，压强为1.0atm，平均分子量为29。设分子的平均速率和方均根速率的差别可以忽略。 解：与前题类似，所以每秒与1cm2的墙壁相碰次数为： 2-16 一密闭容器中贮有水及饱和蒸汽，水的温度为100℃，压强为1.0atm，已知在这种状态下每克水汽所占的体积为1670cm3，水的汽化热为2250J/g （1） 每立方厘米水汽中含有多少个分子？ （2） 每秒有多少个水汽分子碰到水面上？ （3） 设所有碰到水面上的水汽分子都凝结为水，则每秒有多少分子从水中逸出？ （4） 试将水汽分子的平均动能与每个水分子逸出所需能量相比较。 解：（1）每个水汽分子的质量为： 每cm3水汽的质量 则每cm3水汽所含的分子数 （2）可看作求每秒与1cm2水面相碰的分子数D，这与每秒与1cm2器壁相碰的分子数方法相同。在饱和状态n不变。 （3）当蒸汽达饱和时，每秒从水面逸出的分子数与返回水面的分子数相等。 （4）分子的平均动能 每个分子逸出所需的能量 显而易见E ，即分子逸出所需能量要大于分子平均平动能。 2-17 当液体与其饱和蒸气共存时，气化率和凝结率相等，设所有碰到液面上的蒸气分子都能凝结为液体，并假定当把液面上的蒸气分子迅速抽去时液体的气化率与存在饱和蒸气时的气化率相同。已知水银在0℃时的饱和蒸气压为1.85×10-6mmHg，汽化热为80.5cal/g，问每秒通过每平方厘米液面有多少克水银向真空中气化。 解：根据题意，气化率和凝结率相等 P=1.85×10-6mmHg =2.47×10-4Nm-2 气化的分子数=液化的分子数=碰到液面的分子数N，由第14题结果可知： 则每秒通过1cm2液面向真空气化的水银质量 2-18 已知对氧气，范德瓦耳斯方程中的常数b=0.031831mol-1，设b等于一摩尔氧气分子体积总和的四倍，试计算氧分子的直径。 解： ∴ 2-19 把标准状态下224升的氮气不断压缩，它的体积将趋于多少升？设此时的氮分子是一个挨着一个紧密排列的，试计算氮分子的直径。此时由分子间引力所产生的内压强约为多大？已知对于氮气，范德瓦耳斯方程中的常数a=1.390atm﹒l2mol-2，b=0.039131mol-1。 解：在标准状态西224l的氮气是10mol的气体，所以不断压缩气体时，则其体积将趋于10b，即0.39131，分子直径为： 内压强P内= atm 注：一摩尔实际气体当不断压缩时（即压强趋于无限大）时，气体分子不可能一个挨一个的紧密排列，因而气体体积不能趋于分子本身所有体积之和而只能趋于b。 2-20 一立方容器的容积为V，其中贮有一摩尔气体。设把分子看作直径为d的刚体，并设想分子是一个一个地放入容器的，问： （1） 第一个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （2） 第二个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （3） 第NA个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （4） 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间体积是多大？ 由此证明，范德瓦耳斯方程中的改正量b约等于一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。 解：假定两分子相碰中心距为d，每一分子视直径为d的小球，忽略器壁对分子的作用。 （1） 设容器四边长为L，则V=L3，第一个分子放入容器后，其分子中心与器壁的距离应 ，所以它的中心自由活动空间的体积V1=（L-d）3。 （2） 第二个分子放入后，它的中心自由活动空间应是V1减去第一个分子的排斥球体积，即： (3)第NA个分子放入后, 其中心能够自由活动的空间体积: (4) 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间为： 因为 ， ，所以 容积为V的容器内有NA个分子，即容器内有一摩尔气体，按修正量b的定义，每个分子自由活动空间 ，与上面结果比较，易见： 即修正量b是一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。 第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律 3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 2 4 6 8 2 速率Vi（m/s） 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 试求(1)平均速率V；（2）方均根速率 （3）最可几速率Vp 解：（1）平均速率： (m/s) (2) 方均根速率 (m/s) 3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。 解： 3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。 解： 代入数据则分别为： T=100K时 T=1000K时 T=10000K时 3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。 解：因 由题意得： ∴T2/T1= 3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s） 解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律： △ N= ∵ Vp2= ，代入上式 △N= 因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s， 又 △V=1m/s （=1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个 3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。 解： 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s 由5题计算过程可得： △V1= △N2= ∴ △N/△N2= 其中VP= m/s =1.375，=0.687 ∴ 解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2 dN= △N1= △N2= 令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果: ∴ △N1= （1） △N2= （２） 其中VP= 查误差函数表得： erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489 erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722 将数字代入（１）、（２）计算，再求得： 3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率： （1） 速率在区间vp～1.0vp1内 （2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内 （3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内 解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 （1） 由麦氏速率分布律： △ N= 令v2=1.01vp，vi=vp， ，则 ， ，利用16题结果可得； 查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468 ∴ （2） 由麦氏速率分布律： ∴ 令 ， ， ∴ 利用误差函数： （3）令 ，由麦氏速度分布律得： 3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得： 将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数： A= ∴ （1） 为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论： 由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令 则 得 又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0 又 ∵T1=100K＜T2=400K ∴ ＜ 由此作出草图 3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值 。 解： 3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。 （1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 （2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？ 解：（1） （2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为： 其中 是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数， 是小孔面积，t=3600s，故 ，代入数据得： N=4.05×1019（个） ∴ 3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为： 证明：设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。 从1跑到2的分子数： 从2跑到1的分子数： 实际通过小孔的分子数：（从1转移到2） 因t=1秒， ， T1=T2=T ∴ 若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。 3-12 有N个粒子，其速率分布函数为 (1) 作速率分布曲线。 (2) 由N和v0求常数C。 (3) 求粒子的平均速率。 解：（1） 得速率分布曲线如图示 （2）∵ ∴ 即 （3） 3-13 N个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v＞v0时，粒子数为零）。（1）由N和V0求a。 （2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。 （3） 求分子的平均速率。 解：由图得分子的速率分布函数： ( ) ( ) f(v)= ( ) (1) ∵ ∴ (2) 速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数 3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： 其中 证明： ∴ 3-15设气体分子的总数为N，试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数为： （提示：速度的x分量在0到 之间的分子数为 ） 证明：由于速度的x分量在区间vx～vx +dvx内的分子数为： 故在vx～ 范围内的分子数为： 由题意： 令 利用误差函数得： ∴ 3-16 设气体分子的总数为N，试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为： 其中 ，vp为最可几速率。 [提示： ] 证明： 令 ，则 ∴ 由提示得： ∴ 3-17 求速度分量vx大于2 vp的分子数占总分子数的比率。 解：设总分子数N，速度分量vx大于2 vp的分子数由15题结果得： 其中 可直接查误差函数表得：erf（2）=0.9952 也可由误差函数： erf（z）= 将z=2代入计算得： erf（2）=0.9752 ∴ 3-18 设气体分子的总数为N，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=vp（2）v=2vp，具体算出结果来。 解：（1）v=vp时，速率大于vp的分子数： 利用16题结果： 这里 ∴ （2）v=2vp时， ，则速率大于2vp的分子数为： 3-19 求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。 解：由18题结果可得单位体积中速率大于v的分子数为： 在垂直x轴向取器壁面积dA，则速率大于v能与dA相碰的分子，其vx仍在0～ 间，由《热学》P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子数为： 3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K，转筒的直径为D=10cm，转速为ω=200πl/s，试求铋原子Bi和Bi2分子的沉积点P′到P点（正对着狭缝s3）的距离s，设铋原子Bi和Bi2分子都以平均速率运动。 解：铋蒸汽通过s3到达P′处的时间为： 在此时间里R转过的弧长为： ∵ ∴ 代入数据得： 3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm，温度为270C；起飞后压力计指示为0.80atm，温度仍为27 0C，试计算飞机距地面的高度。 解：根据等温气压公式： P=P0e - 有In = - ∴ H = - In • 其中In =In = -0.223，空气的平均分子量u=29. ∴H= 0.223× =2.0×103(m) 3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%？设空气的温度为0 0C. 解：由题意知： =0.75 故H = -In • 代入数据得：H =2.3×103(m) 3-23 设地球大气是等温的，温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。已知空气的平均分子量为28.97. 解：H = - In • 代入数据得：H=2.0×103(m) 3-24 根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度分量vx的平均值，并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。 解：（1） x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e - vx2dv x = v -1p∫∞ 0vx2 e - vx2dv x 查《热学》附录3-1表得： x= Vp-1( )3/2= 同理可得： y= x= (2)分子总的平动能： 2= 2= = m x= 同理得： = = 可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于 KT. 3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能，试根据麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间ε～ε+dε内的分子数占总分子数的比率为： f(ε)dε= (KT) -3/2ε •e-ε/KT•dε 根据上式求分子平动能ε的最可几值。 证明：（1） ∵ f(v)dv =4∏( )3/2•e v2v2dv = (KT) -3/2•( v2)1/2•e-mv2/2KT•d( ) ∵ ε= mv2 故上式可写作： F(ε)dε= (KT) -3/2•ε •e -ε/KT•dε (2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值。 = (KT) -3/2 [ε •e -ε/KT(- )+e- • ε- ] = (KT) -3/2e - ( ε- -ε /KT)=0 ∴ ε- -ε =0 得: εp = ε = 3-26 温度为27 0C时，一摩尔氧气具有多少平动动能？多少转动动能？ 解：氧气为双原子气体，在T=300K下有三个平动自由度，两个转动自由度。 由能均分定理得： ε= RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J) = RT = 8.31×300 = 2.49×103(J) 3-27 在室温300K下，一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少？一克氢和一克氮的内能各是多少？ 解：U氢= RT =6.23×103(J) U氮= RT =6.23×103(J) 可见，一摩气体内能只与其自由度（这里t=3,r=2,s=0）和温度有关。 一克氧和一克氮的内能： U= ∴U氢= = = 3.12×103(J) U氮= = = 2.23×103(J) 3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与M=3.00g的氢气的混合气体的定容比热 解：设Cv1 ‘、Cv2 ‘分别为水蒸气和氢气的定容比热，Cv1 、Cv2分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量。在常温下可忽略振动自由度，则有： Cv1= R =3R ∴Cv1’= = Cv2= R =2.5R Cv2’= = Cv = = = ( + ) = 5.9 (J/gK) 3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来，试推导由定容比热计算分子质量的公式。设氩的定容比热Cv = 75Cal•Kg-1•K-1,求氩原子的质量和氩的原子量. 解：（1）一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说： Cv = (t+r+2s)R 分子质量m = = • = (t+r+2s)R• = (t+r+2s) • (Cv=75cal/kg•k) (2) 氩是单原子分子，故Cv = R =3(Cal/mol•K) 故氩的原子量u= = 4.0×10-2(Kg/mol) 分子质量m= = 6.6×10-26(Kg) 3-30 某种气体的分子由四个原子组成，它们分别处在正四面体的四个顶点： （1）求这种分子的平动、转动和振动自由度数。 （2）根据能均分定理求这种气体的定容摩尔热容量。 解：（1）因n个原子组成的分子最多有3n个自由度。其中3个平动自由度，3个转动自由度，3n-1个是振动自由度。这里n=4，故有12个自由度。其中3个平动、个转动自由度，6个振动自由度。 (2) 定容摩尔热容量： Cv= (t+r+2s)R = ×18×2= 18（Cal/mol•K） 第四章 气体内的输运过程 4－1.氢气在 ， 时的平均自由程为 × m，求氢分子的有效直径。 解：由 ＝ 得： ＝ 代入数据得： （m） 4－2.氮分子的有效直径为 ，求其在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间。 解： ＝ 代入数据得： － （m） ＝ 代入数据得： ＝ （s） 4－3.痒分子的有效直径为3.6× m，求其碰撞频率， 已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm； （2）氧气的温度为300K，压强为1.0× atm 解：由 ＝ 得 ＝ ＝ 代入数据得： ＝6.3× （ ） （ ） 4－4.某种气体分子在 时的平均自由程为 。 （1）已知分子的有效直径为 ，求气体的压强。 （2）求分子在 的路程上与其它分子的碰撞次数。 解：（1）由 得： 代入数据得： （2）分子走 路程碰撞次数 （次） 4－5.若在 下，痒分子的平均自由程为 ，在什么压强下，其平均自由程为 ？设温度保持不变。 解：由 得 4－6.电子管的真空度约为 HG，设气体分子的有效直径为 ，求 时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。 解： （2） （3）若电子管中是空气，则 4－7.今测得温度为 压强为 时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为 和 ，问： （1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？ （2） 时， 为多大？ （3） 时， 为多大？ 解：（1）由 得： （2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由 得： （3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得： 4－8.在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径 来可以忽略不计。 （1）电子与气体分子的碰撞截面 为多大？ （2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为： ，n为气体分子的数密度。 解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。又因为气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距离等于或小于 的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为： （2）电子与气体分子碰撞频率为： （ 为电子平均速率） 4－9.设气体分子的平均自由程为 试证明：一个分子在连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是 解：根据 （4.6）式知在 个分子中自由程大于x的分子占总分子数的比率为 ＝ 由几率概念知：对于一个分子，自由程大于x的几率为 ，故一个分子连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是 。 4－10.某种气体分子的平均自由程为10cm、在10000段自由程中，（1）有多少段长于10cm？（2）有多少段长于50cm？（3）有多少段长于5cm而短于10cm？（4）有多少段长度在9.9cm到10cm之间？（5）有多少段长度刚好为10cm？ 解： 个分子中按不同自由程分布的分子数占总分子数的比率与一个分子在 段自由程中按不同自由程分布几率相同，即 个分子在某一自由程的分子数就是 段自由程中具有这个自由程的段数。故 可表示自由程长于x的段数 （1）设长于10cm的段数为 ，总段数为 ＝ （段） （2）设长于50cm的段数为 ＝ （段） （3）设长于5cm短于10cm的段数为 （段） （4）设长度在9.9cm到10cm之间的段数为 （段） （5）按统计规律，不能确定长度刚好为10cm的有多少段。 4－11.某一时刻氧气中有一组分子都刚与其它分子碰撞过，问经过多少时间后其中还能保留一半未与其它分子相碰。设氧分子都以平均速率运动，氧气的温度为300K，在给定的压强下氧分子的平均自由程为2.0cm。 解：考虑分子在t时间内走了x路程未被碰的分子数与总分子数中自由程大于x的分子数相等。设自由程大于x的分子数为N，则 （s） 4－12.需将阴极射线管抽到多高的真空度（用mmHg表示），才能保证从阴极发射出来的电子有90％能达到20cm远处的阳极，而在中途不与空气分子相碰？ 解：设从阴极发射出来的电子有 个，自由程大于20cm的电子有N个，则 故 由本章第8题知： 若温度为 ，因空气的主要成分是氮气，故由《热学》 例题1得空气分子的有效直径的近似值： 代入数据得： 4－13.由电子枪发出一束电子射入压强为 的气体。在电子枪前相距x处放置一收集电极，用来测定能自由通过（即不与气体分子相碰）这段距离的电子数。已知电子枪发射电子流强度为 （微安）当气压 ，x＝10cm时，到达收集极的电子流强度为 。（1）电子的平均自由程为多大？（2）当气压降到 时，到达收集极的电子流为多大？ 解：由于电子流强度与电子数成正比，所以有 ， 是自由程大于x的电子在收集极引起的电子流强度。 （1） （2）由上题知： 得： 4－14.今测得氮气在 时的沾次滞系数为 试计算氮分子的有效直径，已知氮的分子量为28。 解：由《热学》（4.18）式知： 代入数据得： 4－15.今测得氮气在 时的导热系数为 ，定容摩尔热容量为： ，试计算氮分子的有效直径 解：由《热学》（4.19）式 代入数字得： 4－16.氧气在标准状态下的扩散系数： 、 求氧分子的平均自由程。 解： 代入数据得 4－17.已知氦气和氩气的原子量分别为4和40，它们在标准状态嗲的沾滞系数分别为 和 ，求：（1）氩分子与氦分子的碰撞截面之比 ；（2）氩气与氦气的导热系数之比 ；（3）氩气与氦气的扩散系数之比 。 解：已知 （1）根据 （2） 由于氮氩都是单原子分子，因而摩尔热容量C相同 （3） 现P、T都相同， 4－18.一长为2m，截面积为 的管子贮有标准状态下的 气，一半 分子中的C原子是放射性同位素 ，在 时放射性分子密集在管子左端，其分子数密度沿着管子均匀地减小，到右端减为零。（1）开始时，放射性气体的密度梯度是多少？（2）开始时，每秒有多少个放射性分子通过管子中点的横截面从左侧移往右侧？（3）有多少个从右侧移往左侧？（4）开始时，每秒通过管子截面扩散的放射性气体为多少克？ 解：已知管子长l＝2.0m，截面积 （1）由题知、开始时左端全部是放射性分子，单位体积分子数为n，而右端则为零。故放射性气体密度梯度： 标准状态下任何气体单位体积的分子数为： （2）根据扩散现象的微观解释知，在 时间内通过中点ds由左移到右的分子数为 〔N中－ 中 〕dsdt 参看《热学》（4－1）表，可取 cm。因为管很细，可假设在开始1秒内 近似不变，则在1秒内从左端通过S面移往右端的分子数 代入数据得 （个） （3）同理可得1秒内从右端通过S面移往左端的放射性分子数： （个） （4）每秒通过S面扩散的放射性分子数 （个） 故每秒通过S面扩散的放射性气体质量 4－19.将一圆柱沿轴悬挂在金属丝上，在圆柱体外面套上一个共轴的圆筒，两者之间充以空气。当圆筒以一定的角速度转动时，由于空气的沾滞作用，圆柱体将受到一个力距 由悬丝的扭转程度可测定此力距，从而求出空气的沾滞系数。设圆柱体的半径为R，圆筒的半径为 ，两者的长度均为L，圆筒的角速度为 ，试证明： ， 是待测的沾滞系数。 证明：气体与圆柱相互作用的沾滞力为： 只考虑平衡时的情况，可以近似地认为圆柱体不动，圆筒的转速为： 设紧靠圆筒的那些分子流速与圆筒转动速度相同 由牛顿沾滞定律知，圆柱体所受沾滞力 圆柱体侧面积 4－20.两个长为100cm，半径分别为10.0cm和10.5cm的共轴圆筒套在一起，其间充满氢气，若氢气的沾滞系数为 ，问外筒的转速多大时才能使不动的内筒受到107dyn的作用力？ 解：由上题结果知： 其中 则 代入数据得： （弧度/秒） 4－21.两个长圆筒共轴套在一起，两筒的长度均为L，内筒和外筒的半径分别为 和 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 和 ，且 ，已知两筒间空气的导热系数为K，试证明：每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为： 证明：由付里叶定律： 则在单位时间内通过以r为半径的柱面的热量为： 由于 且 、 是恒量故由 面传到 面的热量也是一恒量，故上式两端积分得：
浙公网安备 33021202002483