nullnullnull第一章 矢量分析
第二章 电磁场基本方程
第三章 静电场
第四章 恒定电流的电场和磁场
第五章 静态场边值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的解法
第六章 时变电磁场和平面电磁波
第七章 平面电磁波的反射和折射
导行电磁波
第八章 电磁波的辐射与散射 目 录null策 划：马武装
制 作：王 品
监 制：梁家新
单 位：西安电子科技大学出版社
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表
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示法和代数运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理
§1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理 null§1 .1 矢量表示法和代数运算 1 .1 .1 矢量表示法及其和差 若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 一个矢量就确定了。 例如在直角坐标系中, 矢量A的三个分量模值分别是Ax , Ay , Az, 则A可表示为 该矢量的模为 nullA的单位矢量为 把两个矢量的对应分量相加或相减, 就得到它们的和或差。 设 则 null图 1 -1 直角坐标系中矢量的分解 null图 1 -2 矢量的相加和相减 null1 .1 .2 标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。 标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦: 它符合交换律: 并有 null因而得 它不符合交换律。 由定义知, null并有 故 nullnull1 .1 .3 三重积 ;
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积为 矢量三重积为 公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。 null图 1 -3 矢量乘积的说明 null§1 .2 通量与散度, 散度定理 在描绘矢量场的特性时, 矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。 在矢量分析中, 将曲面的一个面元用矢量ds来表示, 其方向取为面元的法线方向, 其大小为ds, 即 null图 1 -4 开曲面上的面元 null 将曲面S各面元上的A·ds相加, 它表示A穿过整个曲面S的通量, 也称为A在曲面S上的面积分: 如果S是一个封闭面, 则 表示A穿过封闭面的通量。 若Ψ＞0, 表示有净通量流出, 这说明S内必定有矢量场的源; 若Ψ＜0, 表示有净通量流入, 说明S内有洞(负的源)。 通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电荷Q。 若Q为正电荷, Ψe为正, 有电通量流出; 反之, 若Q为负电荷, 则Ψe为负, 有电通量流入。 null1 .2 .2 散度, 哈密顿算子 ; 定义如下极限为矢量A在某点的散度(divergence), 记为divA: 式中ΔV为封闭面S所包围的体积。 此式表明, 矢量A的散度是标量, 它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。 它反映A在该点的通量源强度。 显然, 在无源区中, A在各点的散度为零。 这个区域中的矢量场称为无散场或管形场。 null 哈密顿(W .R .Hamilton)引入倒三角算符(读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”)表示下述矢量形式的微分算子: 它兼有矢量和微分运算双重作用, 因而与普通矢量有所不同: A的散度可表示为算子与矢量A的标量积, 即 null利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则: null1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即 上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 利用散度定理可将矢量散度的体积分化为该矢量的封闭面积分, 或反之。 null例1 .1 点电荷q在离其r处产生的电通量密度为 [解]nullnull 可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散度均为零。它是管形场。null例1 .2 球面S上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算 ［解］ null§1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理 1 .3 .1 环量 矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为 null图 1 -5 矢量场的环量 null1 .3 .2 旋度的定义和运算
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入如下定义, 称为旋度(curl或rotation): null可见, 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向 。 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。 null矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积, 即 计算▽×A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得 null即 null 旋度运算符合如下规则: 在直角坐标系中有 null1 .3 .3 斯托克斯定理
因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即 此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。null例1 .3 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。 null[解]null这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因null例1 .4 证明下述矢量斯托克斯定理： 式中S为包围体积V的封闭面。
[证] 设C为一任意常矢，则从而有（1-37）null根据散度定理，上式左边等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。null§1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 null引入 则 null 这就是说, ▽φ的模就是▽φ在给定点的最大方向导数, 而其方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即▽ φ的变化率最大的方向。 因此, 我们定义标量场▽φ(x, y, z)在点P(x, y, z)处的梯度(gradient)为 它是一个矢量, 其模和方向就是标量场φ在该点最大变化率的值和方向。 null图 1 -6 一座山的等高线图 null即 后一式表明, 梯度▽φ的方向与过该点的等值面相垂直, 并由梯度定义知, 它指向φ增大的方向。 由此, 等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为 null梯度运算有如下规则: null1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量
函数
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的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积, 则有 取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得 (1 -49)null式中S是包围体积V的封闭面, 是封闭面S的外法线方向单位矢量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都成立, 称为格林(G .Green)第一定理。
把式(1 -49)中的φ与ψ交换位置, 有 null用此式去减式(1 -49), 得 这称为格林第二定理。
除上面的标量格林定理外, 还有矢量格林定理。设矢量函数P和Q在封闭面S所包围的体积V内有连续的二阶偏导数, 则有 null矢量格林第二定理: 利用上述格林定理, 可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。 同时, 如果已知其中一个场的分布特性, 便可利用格林定理求解另一场的分布特性。 null 例 1 .5 参看图1 -7, 场点P(x, y, z)与源点P′(x′, y,′z′)间的距离为R, 试证 这里▽′表示对带撇坐标(x′, y′, z′)作微分运算(将P取为定点, P′为动点): null［证］ null即 同理可得 null图 1 -7 场点与源点的坐标关系 null例1 .6 在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为 求P点的电位梯度▽φ。 解 null§1 .5 曲 面 坐 标 系 图 1 -8 柱坐标系 1 .5 .1 圆柱坐标系 null各量变化范围是: 三者总保持正交关系, 并遵循右手螺旋法则: null 矢量A在柱坐标系中可用三个分量表示为 以坐标原点为起点, 指向P点的矢量r, 称为P点的位置矢量或矢径。在柱坐标系中P点的位置矢量是 对任意的增量dρ , dφ , dz, P点位置沿 , , 方向的长度增量(长度元)分别为 null 它们同各自坐标增量之比, 称为度量系数, 又称拉梅(G .Lame)系数, 分别为 与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是 null1 .5 .2 球面坐标系 图 1 -9 球面坐标系 null变化范围是: 遵循右旋法则: 矢量A在球坐标系中可表示为 null故度量系数分别为 球坐标中三个面积元和体积元分别为 null1 .5 .3 三种坐标的变换及场论表示式 图 1 -10 三种坐标间的变换 null例如, 表A -1第一列和第二列给出 由表A -1第一行和第二行得 这些表同样可用于矢量分量的变换。例如, 由表A -2第一列得 null 在柱坐标中三个长度元分别为dρ , ρ dφ和dz, 因而其算子相应地换为 球坐标长度元为dr , rdθ和r sinθdφ, 故其▽算子为 为了对矢量函数求导, 一个常用的公式是 null 由上式和表A -1得 null例如, 柱坐标中矢量A的散度和旋度可表示为 nullnullnull 例 1 .7 在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中, 距离r>>l处的电位为 求其电场强度E(r, θ, φ)。 解 null§1 .6 亥姆霍兹定理 1 .6 .1 散度和旋度的比较 (1) 矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个矢量函数。 ;
(2) 散度表示场中某点的通量密度, 它是场中任一点通量源强度的量度; 旋度表示场中某点的最大环量强度, 它是场中任一点处旋涡源强度的量度。 null (3) 从散度公式(1 -22)知, 它取决于场分量Ax对x的偏导数和Ay对y的偏导数及Az对z的偏导数, 所以, 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定; 而由旋度公式(1 -30)看出, 它取决于Ax分量对y , z的偏导数及Ay , Az对与之垂直方向的坐标变量的偏导数, 所以, 旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。 null1 .6 .2 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即 简化的证明如下: ;
假设在无限空间中有二矢量函数F和G, 它们具有 相同的散度和旋度。令 null对两边取散度, 得 因▽·F= ▽ ·G, 故 因▽ ×F= ▽ ×G, 故 null由矢量恒等式▽ × ▽ φ=0知, 可令 同时, 一个既有散度又有旋度的一般矢量场可表示为一个无旋场Fd(有散度divergence)和一个无散场Fc(有旋度curl)之和: null 对无旋场Fd来说, ▽×Fd=0, 但这个场的散度不会处处为零。 因为, 任何一个物理场必然有源来激发它, 若这个场的旋涡源和通量源都是零, 这个场就不会存在了。 因此无旋场必然对应于有散场, 并因▽×▽φ=0, 可令(负号是人为加的) 对于无散场Fc, ▽ ·Fc=0, 但是这个场的旋度不会处处为零, 理由同上。并因▽ ·(▽ ×A)=0, 可令 null 静电场的基本方程是 对于简单媒质, 电通量密度D和电场强度E的关系为D=εE, 因而式(1 -85)可写为 (1 -85)null第二章 电磁场基本方程 §2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 §2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律
§2.3 麦克斯韦方程组
§2.4 电磁场的边界条件 §2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量
§2.6 唯一性定理 null§2 .1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2 .1 .1 库仑定律和电场强度 图 2-1 两点电荷间的作用力 nullnull式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电常数: 设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为 由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为 (2-4)null2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义: ε是媒质的介电常数, 在真空中ε=ε0。 这样, 对真空中的点电荷q, 由式(2-4)知, null电通量为 此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。 根据立体角概念不难证明, 当所取封闭面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量 这就是高斯定理的积分形式(1839年由德国K .F .Gauss导出), 即穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。 对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。 null 若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度ρv分布的, 则所包围的总电量为 上式对不同的V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有 null2 .1 .3 比奥-萨伐定律, 磁通量密度 图 2-2 两个载流回路间的作用力 nullnull矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是 毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁针实验提出。 磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为 null或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=ρvAdlv=Qv, 其中A为细导线截面积, 得 对于点电荷q, 上式变成 通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所受的总力为 null 例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点的磁通量密度。图 2-3 载流直导线 null［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是对无限长直导线, l→∞, 有 null2 .1 .4 安培环路定律, 磁场强度
对于无限长的载流直导线, 若以ρ为半径绕其一周积分B, 可得 在简单媒质中, H由下式定义: nullH称为磁场强度, μ是媒质的磁导率。在真空中μ=μ0, 于是有 这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。 因为S面是任意取的, 所以必有 null2 .1 .5 两个补充的基本方程 在物理学中我们已知, 在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零: 利用斯托克斯定理可将左端化为▽×E的面积分, 从而得 这是静电场的另一基本方程, 说明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守恒定律。这样, 它和重力场性质相似。 物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。 从而可引入电位函数φ: null 静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即 将左端化为▽·B的体积分知 null§2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2 .2 .1 法拉第电磁感应定律 静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷(恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的基本方程之间并无联系。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中观察到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间变化率。 楞次(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为 null式(2-26)可写成 (2-26)右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势.null 应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时, 如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于B随时间变化所引起的项。 因而得 因为S是任意的, 从而有 这是法拉第电磁感应定律的微分形式。其意义是, 随时间变化的磁场将激发电场。这导致极重要的应用。我们称该电场为感应电场, 以区别于由电荷产生的库仑电场。库仑电场是无旋场即保守场; 而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。 null2 .2 .2 位移电流和全电流定律 微分形式基本方程如下: null 在任何时刻电荷守恒定律都应成立。法拉第已在1843年用实验证实了这一定律。 其数学表达式就是电流连续性方程: J是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位时间内通过的电荷量, 单位为A/m2。因此, 若体积中各处都有电荷流动, 则通过某封闭面S的总电流为 。 它是每单位时间流出S面的电荷量, 应等于S面内每单位时间所减少的电荷量-dQ/dt。 (2-30)null把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积V有 上式对任意选择的V都成立, 故有 这是微分形式的电流连续性方程。 null 的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲, 故称之为位移电流密度(displacement current density)Jd, 即 null对左端应用斯托克斯定理, 便得到其积分形式: 它说明: 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。 null2 .2 .3 全电流连续性原理 对任意封闭面S有 即 null 穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。 null 例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与U的关系。 图 2-4 平板电容器 null［解］ 设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得 式中C=εA/d为平板电容器的电容。 null§2 .3 麦克斯韦方程组 2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 图 2-5 麦克斯韦 null表2-1 麦克斯韦方程组及电流连续性方程 null这四个方程的物理意义可简述如下: ;
(a) 时变磁场将激发电场; ;
(b) 电流和时变电场都会激发磁场; ;
(c) 穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量; ;
(d) 穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。 null 麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。 表2-1中两个散度方程(c) , (d)可由两个旋度方程(a) , (b)导出。例如, 对式(b)取散度, 得 将连续性方程(e)代入上式, 有 则 null2 .3 .2 本构关系和波动方程 对于简单媒质, 本构关系是(接表 2-1 的序号) 对于真空(或空气), ε=ε0, μ=μ0, σ=0。 σ=0的媒质称为理想介质, σ=∞的导体称为理想导体, σ介于二者之间的媒质统称为导电媒质。 null 若媒质参数与位置无关, 称为均匀(homogeneous)媒质; ;
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ;
若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色散(dispersive) 媒质。null利用式(f) , (g) , (h)关系后, 表2-1中的式(a)~(d)化为 null即 null为研究简单媒质中的有源区域时, J≠0, ρv≠0, 由类似的推导得 该二式称为E和H的非齐次矢量波动方程。 其中场强与场源的关系相当复杂, 因此通常都不直接求解这两个方程, 而是引入下述位函数间接地求解E和H。 null2 .3 .3 电磁场的位函数 由表2-1中的麦氏方程组式(d)知, ▽·B=0 。由于▽ ·(▽ ×A)=0, 因而可引入下述矢量位函数A(简称矢位或磁矢位): 即 而由表2-1中的麦氏方程组式(a)知, null 由于▽× ▽ φ=0, 因而可引入标量位函数φ(简称标位或电标位)如下: 这里▽ φ前加负号是为了使 时化为静电场的E=- ▽φ。 因▽ × ▽ ×A= ▽(▽ ·A)- ▽2A, 上式可改写为 (2-47)null为使方程(2-47)具有最简单的形式, 我们令 此式称为洛仑兹
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
(Lorentz gauge)。 nullnull 例2 .3 试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。 图 2-6 RLC串联电路 null [解］ 沿导线回路l作电场E的闭合路径积分, 根据表2-1中的麦氏方程式(a′)有 上式左端就是沿回路的电压降, 而ψ是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示, 得 设电阻段导体长为l1, 截面积为A, 电导率为σ, 其中电场为J/σ, 故 null电感L定义为ψm/I, ψm是通过电感线圈的全磁通, 得 通过电容C的电流已由例2 .2得出: 设外加电场为Ee, 则有 null因为回路中的杂散磁通可略, dψ/dt≈0, 从而得 这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形, 设角频率为ω, 上式可化为 null 例 2 .4 证明导电媒质内部ρv=0。 ;
［解］ 利用电流连续性方程(2-31), 并考虑到J=σE, 有 在简单媒质中, ▽·E=ρv/ε, 故上式化为 其解为 null可见, ρv随时间按指数减小。衰减至ρv0的1/e即36.8%的时间 (称为驰豫时间)为τ=ε/σ(s)。对于铜, σ=5.8×107S/m, ε=ε0, 得τ=1 .5×10-19s。因此, 导体内的电荷极快地衰减, 使得其中的ρv可看作零。 null§2 .4 电磁场的边界条件 2 .4 .1 一般情况 图 2-7 电磁场边界条件 null得到E和H的切向分量边界条件为 对此回路应用表2-1中的麦氏旋度方程式(a′) , (b′),可得 null计算穿出小体积元ΔS×Δh表面的D , B通量时, 考虑到ΔS很小, 其上D , B可视为常数, 而Δh为高阶微量, 因此穿出侧壁的通量可忽略, 从而得 式中ρs是分界面上自由电荷的面密度(C/m2)。对于理想导体, σ→∞, 其内部不存在电场(否则它将产生无限大的电流密度J=σE), 其电荷只存在于理想导体表面, 从而形成面电荷ρs。 于是有 null表2-2 电磁场的边界条件 null 上述边界条件的含义可归纳如下: ①任何分界面上E的切向分量是连续的; ②在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在), H的切向分量不连续, 其差等于面电流密度; 否则, H的切向分量是连续的; ③在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时, D的法向分量不连续, 其差等于面电荷密度; 否则, D的法向分量是连续的; ④任何分界面上B的法向分量是连续的。null表2-3 两种理想介质间的边界条件 null表2-4 理想介质①和理想导体②间的边界条件 null图 2-8 理想导体表面的电磁场 null 例2.5 同轴线横截面如图2-9（a）所示。设通过直流I,内外导体上电流大小西等，方向相反。求各区中的H和▽×H,并验证各分界处的边界条件。图 2-9 (a) 同轴线; (b)平板电容器 null ［解］ 在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别为 。由于H只有Hφ分量，由附录A中的式（A-31）知，null（2）（3）null 以上▽×H结果证明表2-1中的麦氏方程组式(b)处处成立。下面再验证边界条件: （4）null 例 2 .6 设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m, 板间媒质是云母, εr=7 .4, 求二导体极板上的面电荷密度。
［解］ 参看图2-9(b), 把极板看作理想导体, 在A , B板表面分别有 null§2 .5 坡印廷定理和坡印廷矢量2 .5 .1 坡印廷定理的推导和意义 null 将上式两端对封闭面S所包围的体积V进行积分, 并利用散度定理后得 null式中右端各项被积函数的含义是: —电场能量密度, 单位: (F/m) (V2/m2)=J/m3; —磁场能量密度, 单位: (H/m) (A2/m2)=J/m3; pσ=E·J=σE2——传导电流引起的热损耗功率密度, 单位: (S/m) (V2/m2)=W/m3。 null2 .5 .2 坡印廷矢量 代表单位时间内流出封闭面S的能量, 即流出S面的功率。 因此, 代表流出S面的功率流密度, 单位是W/m2, 其方向就是功率流的方向, 它与矢量E和H相垂直, 三者成右手螺旋关系, 如图2-10所示。 S称为坡印廷矢量。 null图 2-10 坡印廷矢量 null图2-11 同轴线的功率传输 null 例 2 .7 一段长直导线l, 半径为a, 电导率为σ。设沿线通过直流I, 试求其表面处的坡印廷矢量, 并证明坡印廷定理。 图 2-12 直流导线段 null［解］ 故表面处坡印廷矢量为 它的方向垂直于导体表面, 指向导体里面。
为证明坡印廷定理, 需将S沿圆柱表面积分: null导体内的热损耗功率为 电路理论中的焦耳定理. 其微分形式为 此式代表场点处各单位体积的热损耗功率。 null§2 .6 唯 一 性 定 理 设两组解E1 , H1和E2 , H2都是体积V中满足麦氏方程和边界条件的解。设媒质是线性的, 则麦氏方程也是线性的, 因而差场ΔE=E1-E2, ΔH=H1-H2必定也是麦氏方程的解。对这组差场应用坡印廷定理, 有 null因S面上E或H的切向分量已给定, 这就是说 故必有 因而面积分等于零, 则 null第三章 静 电 场 §3.1 静电场的基本方程
§3.2 电位,电位梯度和电位方程 §3.3 电介质中的电场 §3.4 静电场的边界条件 §3.5 导体系的电容 §3.6 静电场的能量、能量密度和电场力 null§3.1 静电场的基本方程 微分形式: null积分形式: null3.1.1 真空中静电场的散度, 高斯定理 由库仑定律得到电场强度公式为 式中,ρv(r′)为源点r′处的体电荷密度(C/m3); ε0为真空中的介电常数; null图 3 - 1 求E(r)的示意图null 高斯根据库仑定律, 总结出电场特性与场源电荷间的依赖关系的一般规律, 称 为高斯定理。 真空中的高斯定理可表述为: 真空中的电场强度的闭合面积分等 于面内所包围电荷总电量与ε0的比值, 其数学表示式为null 为了更精确地表示场中任一点的特性, 有必要将积分形式变换为微分形式, 利用高斯公式可得真空中高斯定理的微分形式 上式说明场中任一点上电场强度E的散度等于该点的体电荷密度与真空中介电常数的比值。null图 3 - 2 散度与场源的关系 null 例 3.1 设有二块无限大带电平行平面, 面上分别带有均匀电荷, 上极板电荷密度是-ρs(C/m2), 下极板为+ρs(C/m2), 两极板间距离为d(m), 如图3 - 3所示。试求平行板内、外各点的电场强度E。 图 3 - 3 平行导体板间的电场 null［解］ 因电场强度E与柱形侧面的外法线方向垂直, 点积为零, 所以得 即 故求得两极板间电场强度 null 例 3.2 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线, 线密度是ρl(C/m)。试求空间各点的电场强度E。 图 3 - 4 用高斯定理计算细直导线的E null解 上式左边是计算从闭合面上穿出的通量, 因为E与上下两底面平行, 没有通量穿过两底面, 所以从闭合面内穿出的通量为 从而得 null 例 3.3 设有一平板电容器, 其中两平板分别置于x=a及x=b处, 两极板间分布空间电荷, 且介电常数为ε0, 已测得板间的电场强度为 试求两极板间空间电荷密度的分布规律。 ;
［解］ 根据高斯定理 null将Ex代入上式, 则 所以 null3.1.2 静电场的旋度, 守恒定理
静电场本身满足能量守恒特性, 因为在电荷分布稳定情况下, 它没有提供能量的机构, 能量状态是恒定的, 这个特性称为静电场守恒定理。
假设, 沿一闭合回路移动一试验电荷q0, 电场力作功为q0∮lE·dl, 由于场中没有提供能量的机构, 故q0∮lE·dl≯0; 同样, 由于场中没有消耗能量的机构, 则q0∮lE·dl≮0, 因此从能量守恒特性, 只可能有q0∮lE·dl=0, 因q0≠0, 即得到静电场守恒定理的崐数学表示式为 (3 - 6)null利用斯托克斯公式, 可得式(3 - 6)的微分形式为 上式说明任何静电荷产生的电场, 其电场强度矢量E的旋度恒等于零, 静电场是无旋场。 静电场的电力线不可能是闭合曲线。 null§3.2 电位, 电位梯度和电位方程 3.2.1 电位 图 3 - 5 电场力作功与路径无关 null这时电场力作的功是 所以 试验电荷q0从场中的A点沿任意路径移至B点, 电场力作的功都相等, 即沿闭合路径绕一周, 电场力作的净功等于零。 这说明静电场中电场力作的功与路径无关, 只取决于始点和终点的位置, 所以静电场是保守场, 也称位场。 (3 - 8)null 式(3 - 8)表示把单位正电荷从A点移至B点电场力所作的功, 也可称为从A点到B点的电位差 若图3 - 5中设B点为参考点P, 令其电位为零, 则 null 电荷在等位面上移动时, 电场既不对电荷作功, 亦不会获得能量, 即 图 3 - 6 同轴线和带状线的等位面与电力线图 null 例 3.4 试求点电荷、体电荷、面电荷和线电荷产生的电场中的电位分布。
［解］ (1) 单个点电荷q的电场中任一点的电位: null若令RP→∞, 则 图 3 - 7 求单个点电荷电场的电位 null (2) n个点电荷电场中的电位: ;
应用叠加原理, 对每个点电荷计算电位, 且均取无穷远处为参考点, 则可得 null(3) 体、 面、 线电荷场中的电位:
同样利用叠加原理, 可得 ;
体电荷: 面电荷:线电荷: null 例3.5 设一电荷均匀分布的圆盘, 其半径为a, 电荷密度为ρs(C/m2)。试求与该圆盘垂直的轴线上一点的电位。 图 3 - 8 电荷均匀分布的圆盘 null [解］ 如图3 - 8所示, 取一个宽度为dρ, 半径为ρ的圆环, 因为dρ很小, 源点到场点的距离为 。 如果以无限远处为参考点, 则源点在z点的电位为 所以整个圆盘在z点的电位是 null 例 3.6 设有两条电荷均匀分布的无限长直线电荷, 线电荷密度分别为±ρl(C/m), 二者相距d(m), 如图3 - 9所示。试求空间任意点P(x, y)的电位。 图 3 - 9 两无限长平行直线的电位 null 先求+ρl在P点产生的电位 同理可求得-ρl在P点产生的电位φ-, 积分路径如图中虚线所示, 故 null应用叠加原理, P点的电位应是 上式中的ρ+和ρ-分别表示观察点到+ρl和-ρl的垂直距离。当参考点选在两线电荷连线的中点, 即 处, 则得 null 如果用图3-9(b)的直角坐标, 并以原点O为参考点, 则P点的电位可表示为 null 例 3.7 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε０, 如图3-10所示。试求: (1)球内外的电场强度E; (2) 验证静电场的两个基本方程▽×E=0及▽ ·E=ρ/ε0; (3) 球内外的电位分布; (4) 画出球内外的E、φ随半径r的分布图。
［解］ (1) 因为电荷分布为均匀球体, 所以电场有球对称性, 即在与带电球同心, 半径为r的高斯面上, E是常数,方向是径向, 可以应用高斯定理求距球心r处的电场强度。null 当r＜a时, 所以 当r＞a时, 所以 null图 3 - 10 球形体电荷的电场 null (2) 采用球坐标散度、旋度公式。因为球内、外的电场强度只是坐标r的函数, 所以 当r
a时，null (3) 因为电荷分布在有限区域, 故球内、 外的电位分布均可选无限远处为参考点。当r＜a时, 当r>a时,null 如果不选无限远处为参考点, 而选择球心为零电位点, 则空间各点的电位为 ;
当r＜a时, 当r＞a时, null3.2.2 电位梯度 图 3 - 11 求电位梯度 null 设在静电场中沿任一方向l, 将单位正电荷从等位面φA移动一很小距离dl至等位面φB上的一点, 如图3 - 11所示, 则单位正电荷在前后位置上的电位降为 即 因为电场强度矢量与等位面正交, 所以等位面上任一点的场强只有法向分量。 因此当l沿等位面的法线方向取向时, 则得到 nullnull例 3 – 8 试求电偶极子电场的电场强度与电位。 图 3 - 12 电偶极子 null ［解］采用球坐标系, 设原点在电偶极子的中心, 并让z轴与电偶极子轴重合。我们先求远离电偶极子任一点P(r, θ, φ)的电位, 再由E=-▽φ求电场强度。
设电位参考点在无限远处, 则P点的电位等于+q和-q在该点电位之和, 表示式为 利用余弦定理可得 null因为r>>2l, 故将r1、r2用二项式定理展开, 并略去高阶小项, 得 所以 null 取矢量Pe, 其大小等于乘积q2l, 方向由-q指向+q, 该矢量称为电偶极子的电矩, 单位C·m, 简称偶极矩, 即 于是得到 偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到 null图 3 - 13 电偶极子电力线与等位线分布图 null3.2.3 电位方程 称为电位的泊松(Poisson)方程。 如果介质中无自由电荷存在, 即ρv=0, 则得 上式称为电位的拉普拉斯(Laplace)方程。 null§ 3.3 电介质中的电场 为了计算电介质内所有电偶极子产生的宏观电场, 我们用极化强度P来表示电介质的极化程度, 其表示式为 式中ΣPe是体积元ΔV内偶极矩的矢量和, P是一个矢量函数, 它的方向取决于ΣPe, 大小是单位体积内的电偶极矩。 null图 3 - 14 计算束缚电荷的电场 nullA点的电位是 因此, 整个电介质中偶极矩在A点的电位为 null可改写为 null 体积分中的(-▽′·P) 相当于一种体电荷密度; 面积分中的 相当于一种面电荷密度。显然这是电介质受了电场影响而产生的束缚电荷。 我们定义 ;
束缚体电荷密度 束缚面电荷密度 null3.3.2 电介质中的高斯定理 电介质中高斯定理的微分形式应改写为 (3 - 29)null矢量(ε0E+P)的散度仅与自由电荷有关, 称该矢量为电通密度(或称电位移矢量), 其单位为C/m2(库/米2), 用D表示, 即 式(3 - 29)可表示为 将式(3 - 31)两边在任一体积V内积分, 并应用高斯公式, 则得 (3 - 31)或 (3 - 30)null3.3.3 D与E的关系, 介电常数 实验证明, 在这类电介质中, 极化强度矢量P与电介质中的合成电场强度成正比, 它们的关系是 上式中xe称为电介质的极化率, 是无量纲的常数, 其大小取决于电介质的性质。将式(3 - 33)代入式(3 - 30)得 (3 - 33)上式中 null表 3 - 1 电介质的介电常数和击穿强度 null 例 3.9 设有两块很大的平行导体板, 板间距离为d, 且d比平板的长和宽均小得很多。两板接上直流电压源U, 充电后又断开电源; 然后在两板间插入一块均匀介质板, 其相对介电常数εr=9。假设介质板的厚度比d略小一点, 留下一空气隙, 如图3 - 15所示。
试求: (1) 放入介质板前后, 平行板间各点的电场强度;
(2) 介质板表面的束缚面电荷密度, 和介质板内的束缚体电荷密度。 null图 3 - 15 两平行导体板间的电场
(a) 插入介质板前的电场; (b) 插入介质板后的电场null ［解］ 因为两板间距离d远小于平板的尺寸, 所以可以忽略边缘效应, 认为板间的电场是均匀的, 方向与极板垂直。
(1) 加入介质板前的电场强度为 (即方向从正极板指向负极板) 设两极板上自由电荷面密度分别为ρs和-ρs, 根据高斯定理, 作一柱形高斯面, 如图3 -15(a)中虚线所示, 上下侧面与极板平行, ΔS是其面积, 所以 null因而得 加入介质板后的电场: 因为充电后电源已被切断, 所以极板上的自由电荷密度保持不变。 用上面同样的方法作高斯面, 并用高斯定理求得 所以空气间隙中的电场强度为 (与未加介质板前相同) 介质中的电场强度为 (是未加介质板前场强的1/9) null(2) 介质中的极化强度 null 如果考虑束缚电荷存在, 则两板间的全部空间(包含介质空间)都视为空气(εr=1)。 两层束缚面电荷在空气间隙部分产生的电场为零, 所以空气间隙的电场与未加介质板前相同。而在介质板所在区域内, 电场是两层自由电荷和两层束缚面电荷产生场的叠加, 它们产生的电场相反, 即 null 例3.10 设有一填充两层均匀电介质的同轴电缆, 内导体半径a=5mm, 外导体内半径b=15mm, 两介质分界面半径为c, 内外两层介质的介电常数分别为εr1=2.7(聚苯乙烯), εr2=3(纸), 且聚苯乙烯和纸的击穿场强各为Emax1=20×106(V/m), Emax2=15×106(V/m), 电缆横截面如图3 - 16所示。 ;
试求: (1) 画出电场强度E及电通量密度D随半径变化的分布图。 (2) 当崐两介质分界面半径c为何值时, 两层介质均被击穿? 这时该同轴电缆的击穿电压为多少伏? null ［解］ 设内、外导体沿轴线方向单位长度带电量分别为+ρl和-ρl, 与电缆同轴且半径为ρ的圆柱面上场强大小相等、方向为 向。
(1) 应用高斯定理, 可得内、 外导体间(a＜ρ＜b)的电通量密度:null当r=a时, 当r=b时, 在介质1中(a＜ρ＜c), 电场强度为 介质2中(c＜ρ＜b)的电场强度 null令 当当null图 3 - 16 同轴电缆中的电场null (2) 如果电场强度最大值等于或大于电介质的击穿场强时介质就被击穿, 所以 得c=6mm,U0=2.7×105Vnull§ 3.4 静电场的边界条件 静电场的边界条件是研究物理量D、E、φ在媒质交界面上各自满足的关系。 与交变电磁场相同, 由静电场基本方程的积分形式, 即∮S D·ds=Q; 和∮lE·dl=0, 推导出两种不同媒质交界面的边界条件。为使导出的边界条件不受所取的坐标系的限制, 可将D、E在交界面上分成两个相互垂直的分量, 即垂直于交界面的法向分量(下标以n表示)和平行于交界面的切向分量(下标以t表示), 即 null3.4.1 D与E满足的边界条件 或 式中,ρs为交界面上自由面电荷密度, 单位为C/m2。该式表示, 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续。 (1) 如果第二媒质是导体, 第一媒质是电介质。因为静电场中导体内部电场为零, 式(3 - 37)变为 (3 - 37)null (2) 如果交界面的两侧都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则式(3 - 37)改写为 上式也可写为 null 根据静电场中E沿任意闭合路径的环量恒等于零这一概念, 沿交界面作一矩形闭合路径, 可以推得 可改写为上两式相除, 得 null图 3 - 17 电场方向在 交界面上的曲折 null图 3 - 18 推导电位的边界条件 3.4.2 电位φ满足的边界条件
根据静电场的无旋性∮lE·dl=0, 在交界面两侧取一封闭矩形, h趋近于零, 如图3 - 18所示。 null当电场强度E沿封闭矩形ABCD积分, 可得 当h→0时, C与B趋于同一点P, 取作为参考点,∫APE1·dl1=φA为介质1中边界面处的电位, 所以 得 或 null因为 所以边界条件D1n-D2n=ρs可改写为 对两种介质的交界面, 则有 null 例 3.11 如图3 - 19所示的两个无限长同轴圆柱, 内、 外导体半径分别为a和b, 两导体间部分填充介电常数为ε的电介质, 内外导体间的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c; 图(b)中0＜φ＜φ1间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出:
(1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ;
(2) 导体表面上单位长度的带电量ρl。 null图 3 - 19 部分填充介质的同轴电缆 null ［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 崐得知不同介质内E的表示式相同。 (1) 图(a)结构: 当ρ=c时, 令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、-ρl(C/m), 根据高斯定理可得 nulla＜ρ＜c时, c＜ρ＜b时, null所以内导体带电量为+ρl ，外导体带电量为-ρl null(2) 图(b)结构: 当φ=0时, 当0< φ< φ1当φ1< φ< 360。时null所以 因而得 null 例 3.12 试用电位微分方程, 求解例3.7中球内、外的电位和电场强度。
例3.7中我们首先采用高斯定理求出场强, 然后从电场强度E的线积分来求电位。 本例中先求电位, 再由电位求场强。
解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的函数。 ;null(1) 分别列出球内、外的电位方程: 当r≤a时, 当r≥a时, 将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解: nullnull最后得到电位函数: 将上述两个方程分别积分两次可得φ1、 φ2的通解：null 例 3.13 如图3 - 20所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。 图 3 - 20 平板形体电荷的几何关系 null ［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。
(1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程: null将上面三个方程分别分两次可得 由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。 null(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为: ① 时, φ1=φ2; (交界面上无自由面电荷); ②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考点, 这里选择y=0处为参考点。 null③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ;
由条件②、 ③可得: 由条件①可得 nul
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