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奇数与偶数

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奇数与偶数奇数与偶数 1.证明不存在整数 满足下列等式 . 2.从数集 中选出不同的数,填入下图中的10个小圆圈内,使得由线段相连接的两个相邻的小圆内的数之差的绝对值均不相同,这是可能的吗?请证明你的结论. 3.设 为非负整数,且对一切 恒成立,求 的值. 4.设 为一个2012位数, 为 的各位数码重新排列后得到的数,等式 有可能成立吗?若将2012改变为2011,那么结论改变吗? 5.在一个国家里,国王要建 个城市,并在它们之间建 条道路,使得从每个城市可通往任何一个城市(每条道路连结两个城市,道路不相交,也不经过其他城...

奇数与偶数
奇数与偶数 1.证明不存在整数 满足下列等式 . 2.从数集 中选出不同的数,填入下图中的10个小圆圈内,使得由线段相连接的两个相邻的小圆内的数之差的绝对值均不相同,这是可能的吗?请证明你的结论. 3.设 为非负整数,且对一切 恒成立,求 的值. 4.设 为一个2012位数, 为 的各位数码重新排列后得到的数,等式 有可能成立吗?若将2012改变为2011,那么结论改变吗? 5.在一个国家里,国王要建 个城市,并在它们之间建 条道路,使得从每个城市可通往任何一个城市(每条道路连结两个城市,道路不相交,也不经过其他城市).国王要求:沿着道路网两座城市之间的最短距离分别为1千米、2千米、3千米,…, 千米.试问:(1) 时,国王的要求能实现吗? (2) 时,国王的要求能实现吗? 6.试问:能否将1至21这21个整数分别填入图中的各个圆圈内,使得除第一行外,每个圆圈内的数字都等于其肩膀上两个圆圈内的数 字之差的绝对值(亦即 ,如下图) 7.能否把 这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着两个数,…,两个2010之间夹着2010个数?证明证明你的结论. 8.假设 是两个奇整数,证明:方程 不可能有有理根. 9.设多项式 的系数都是整数,并且有一个奇数 和一个偶数 ,使得 及 都是奇数,求证:方程 没有整数根. 10.证明:如果存在 个正整数 满足 个方程式 , 则 是偶数. 11.证明不论 是什么整数,方程 没有整数解. 12.设 为整系数 次多项式,若 及 均为奇数,证明:方程 没有有理根. 13.证明:四次多项式 不可能分解成两个具有整系数 的二次三项式 和 的乘积. 14.已知多项式 的系数都是整数,且是奇数,证明:这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 15.如图,是由4个 的正方形组成的“L”形,用若干个这种“L”形硬纸片无重叠地拼成一个 (长为 个单位,宽为 个单位)的矩形.试证明: 必为8的倍数. 16.有 的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填入 与 两个数中的一个.现将表内 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证:按上述方式所填的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除. 17设 ,且 具有下列两条性质: (1)对任何 ,恒有 ; (2) . 证明 中的奇数的个数是4的倍数,且 中所有数字的平方和为一个定数. 18.(1)有 个整数,其积为 ,其和为0.求证:数 能被4整除. (2)设 是能被4整除的正整数.求证:可以找到 个整数,使其积为 ,其和为0. 19.尺寸为 的正方体是由500个黑色单位正方体和500个白色单位正方体拼成的,两色单位正方体按国际象棋的式样排列(即每个相贴的面均为异色).今从中取出100个单位正方体,使得300个平行于正方体的棱的 小柱的每一个之中,都刚好缺掉一个单位正方体.证明:所取出的黑色单位正方体的数目是4的倍数. 20.三架自动机在卡片上打印正整数对,自动机按以下方式工作:第一架自动机读完卡片 后输出新的卡片 ,第二架自动机读完卡片 后输出新的卡片 (仅当 同为偶数时,它才工作),第三架自动机每次读两张卡片 和 ,输出新的卡片是 ,此外,自动机能退回所有读过的卡片.假设有一张初始卡片 ,问:能否利用任何类型的自动机得到卡片: (1) ? (2) ? 21.在黑板上写有正整数: ,每一次允许擦去其中任何两个数字 ,而代之以 和 ,经过这样若干次改写之后,黑板上所有的数字全都变成 .试问: 可取哪些值? 22.设 为正整数,定义数列 如下: . 证明:每个 都是正整数,并且确定对哪些 , 为偶数. 23.设 为奇数, . 证明:如果 为正整数,那么 . 24.给定关于 方程组 ,其中 是整数. 证明:如果该方程组有一组有理数解,那么这组有理数一定是整数. 25.证明:如果 是大于1的整数,那么 不可能被 整除. 26.若干个球分布在 个袋子中,如果任意取走一袋子,总可以把剩下的 个袋子分成两组,每组 个袋,并且这两组的球的个数相等.证明:每个袋子中的球的个数相等. 27.有 个整数 满足下面的等式 ,求最小的正整数 . 28.已知 ,求证:对一切 . 29.已知 遍及所有正整数,求 的最小值. 30.设 ,如果当 时,总有 .证明: . 31.奇数 被称为“好奇数”,当且仅当存在 的一个排列 ,使得以下 个和: 都是正的,求所有的“好奇数”. 32.设 表示全部整数的集合,试证明:对任何整数 ,可以找到一个整数 ,使集合 互不相交. 33.设 ,求所有使 为正整数的 的值. 34.求证:不存在三边长全为质数,且面积是正整数的三角形.
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分类:高中数学
上传时间:2014-02-23
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