中南大学高等数学复习题及答案

中南大学复习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 《高等数学》 一、填空题 1．函数 1 1 42   x xy 的定义域是 . 解. ),2[]2,(   。 2．若函数 52)1( 2  xxxf ，则 )(xf ． 解. 62 x 3． ________________ sin lim    x xx x 答案：1 正确解法： 101 sin lim1lim) sin 1(lim sin lim    x x x x x xx xxxx 4.已知 2 2 lim 2 2 2     xx baxx x ，则 a _____, b _____。 由 所 给 极 限 存 在 知 , 024  ba , 得 42  ab , 又 由 2 3 4 1 2 lim 2 lim 22 2 2          a x ax xx baxx xx , 知 8,2  ba 5.已知     )1)(( lim 0 xax bex x ，则 a _____, b _____。     )1)(( lim 0 xax be x x  , 即 0 1 )1)(( lim 0       b a be xax xx , 1,0  ba 6．函数        01 0 1 sin )( xx x x x xf 的间断点是 x  。 解：由 )(xf 是分段函数， 0x 是 )(xf 的分段点，考虑函数在 0x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim0 1 sinlim 00    fx x x xx 所以函数 )(xf 在 0x 处是间断的， 又 )(xf 在 )0,( 和 ),0(  都是连续的，故函数 )(xf 的间断点是 0x 。 7. 设     nxxxxy  21 , 则   1ny ( 1)!n 8． 2)( xxf  ，则 __________)1)((  xff 。 答案： 2)12( x 或 144 2  xx 9．函数 )1ln( 4 22 2 yx yx z    的定义域为 。 解：函数 z 的定义域为满足下列不等式的点集。                             10 4 0 1 4 11 01 04 22 2 22 22 2 22 22 2 yx xy yx yx xy yx yx yx z 的定义域为： 10|),( 22  yxyx 且 xy 42  } 10．已知 22),( xyyxyxyxf  ,则 ),( yxf . 解 令 x y u  ， x y v  ，则 , 2 2 u v u v x y     ， ( )( ) ( )f x y x y xy x y    )( 4222 ),( 22 vu uuvuvu vuf    ， 2 2( , ) ( ) 4 x f x y x y  11．设 22 ),( yx x xyyxf   ,则  )1,0(xf 。   )1,0(yf ∵ ( 0 , 1 ) 0 0 0f    2 0 0 0 ( ,1) (0,1) 1(0,1) lim lim 2x x x x x f x f xf x x                 0 0 (0, 1) (0,1) 0 0 (0,1) lim lim 0y y y f y f f y y              。 12． 设 ,,cos,sin 32 tytxyxz  则 t z d d ＝ 。 解 22 sin 3 cos dz x t t y dt    13.   dxxfdddx d )( . 解：由导数与积分互为逆运算得， )()( xfdxxfdd dx d   . 14.设 )(xf 是连续函数，且 xdttf x  1 0 3 )( ，则 )7(f . 解：两边对 x 求导得 1)1(3 32 xfx ，令 713 x ，得 2x ，所以 12 1 3 1 )7( 2 2  xx f . 15．若 2 1 de 0    xkx ，则 _________k 。 答案：∵ )d(e 1 limde 2 1 00 kx k x b kx b kx       kkkk kb b b kx b 1 e 1 lim 1 e 1 lim 0      ∴ 2k 16．设函数 f(x,y)连续，且满足   D ydyxfxyxf 2),(),(  ，其中 ,: 222 ayxD  则 f(x,y)=______________. 解 . 4 4 42 x a y   记  D dyxfA ),( ， 则 2),( yAxyxf  ， 两 端 在 D 上 积 分 有 ：   D D dyAxdA  2 ， 其 中   D xdA 0 （ 由 对 称 性 ） ，    a D a dddy 0 4 23 2 0 2 . 4 sin    即 4 4a A   ，所以， . 4 ),( 4 2 x a yyxf   17．求曲线 2 ,4 22 ay xaxy  所围成图形的面积为 ，（a>0） 解： 2 2 3 a 18.    1 22 2 12 n n n x n ； 解：令 2xy  ，则原幂级数成为不缺项的幂级数    1 1 2 12 n n n y n ，记其各项系数为 nb ，因 为 2 12 12 lim2 12 2 2 12 limlim 1 1              n n n n b b R n n nn n n n ，则 2022 2  xy ， 故 22  x . 当 2x 时，幂级数成为数项级数     1 )12( 2 1 n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间 为 )2,2( . 19．   02  yy 的满足初始条件     4 1 1, 12 1 1  yy 的特解为 3 2 1 12 1        xy . 20．微分方程 03  yy 的通解为 xeccy 321  . 21．微分方程 0136  yyy 的通解为  xcxcey x 2sin2cos 21 3   . 22.设 n 阶方阵 A 满足|A|=3，则=|   AA |= . 答案：   3 1 1 n  23. 1 1 1 1 1 1 1 1 x    是关于 x 的一次多项式，则该多项式的一次项系数是 . 答案： 2; 24. f(x)= 3 1 2 5 1 4 x x x 是 次多项式，其一次项的系数是 。 解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为 4。 25. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC . 26. 事件 A、B相互独立，且知    0.2, 0.5P A P B  则  P A B U . 解：∵A、B 相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6 27. A，B二个事件互不相容，    0.8, 0.1,P A P B  则  P A B  . 解： A、B 互不相容，则 P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.8 28. 对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为 0.4,0.5,0.7, 则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 . 解：设 A、B、C 分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰 有一次击中目标可表示为 CBACBACBA  ，即有 P( CBACBACBA  ) =P(A) )()()()()()()()( CPBPAPCPBPAPCPBP  =0.36 29. 已知事件 A、B 的概率分别为 P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且 P（AB）＝0.4，则 P（A BU ） ＝ ；P（A B－ ）＝ ； 解： P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9 P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.3 30. 若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A 和 B 至少有一个发生的概率为 . 解：P(A+B)=1–P pBAPBA  1)(1)( 二、单项选择题 1．函数 )1,0( 1 1 )(     aa a a xxf x x （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数； C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 )( 1 1 )1( )1( 1 1 )()( xf a a x aa aa x a a xxf x x xx xx x x               所以 B正确。 2．若函数 2 2 1) 1 ( x x x xf  ，则 )(xf （ ） A. 2x ； B. 22 x ； C. 2)1( x ； D. 12 x 。 解：因为 2) 1 (2 1 2 1 2 2 2 2 2  x x x x x x ，所以 2) 1 () 1 ( 2  x x x xf 则 2)( 2  xxf ，故选项 B 正确。 3．设 1)(  xxf ，则 )1)(( xff =（ ）． A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3 解 由于 1)(  xxf ，得 )1)(( xff 1)1)((  xf ＝ 2)( xf 将 1)(  xxf 代入，得 )1)(( xff = 32)1(  xx 正确答案：D 4．已知 0) 1 (lim 2   bax x x x ，其中a , b 是常数，则（ ） (A) 1,1  ba , (B) 1,1  ba (C) 1,1  ba (D) 1,1  ba 解.     0 1 1 lim) 1 (lim 22       x bxbaxa bax x x xx  , 1,1,0,01  babaa 答案：C 5．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. e 1 x x, ( ) ； B. sin , ( ) x x x  ； C. ln( ), ( )1 1 x x ； D. x x x    1 1 0, ( ) 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 0 sin lim   x x x 而 A, C, D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确。 6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ） (A) )( 1 sin  x x xy ; (B)   )(1   nny n ; (C) )0(ln  xxy ； (D) )0( 1 cos 1  x xx y 解 . 1 11 sinlim 1 sinlim   xxx x xx  , 故 不 选 (A). 取 12  km , 则   0 12 1 limlim 1       k n kn n , 故不选(B). 取 2 1     n xn , 则 0 1 cos 1 lim   nn n xx , 故不选 (D). 答案：C 7．设        0, 0, 1 sin )( xx x x x xf ，则 )(xf 在 0x 处（ ） A．连续且可导 B．连续但不可导 C．不连续但可导 D．既不连续又不可导 解：（B） 0lim)(lim 00    xxf xx ， 0 1 sinlim)(lim 00    x xxf xx ， 0)0( f 因此 )(xf 在 0x 处连续 xx x x x fxf f xxx 1 sinlim 0 0 1 sin lim 0 )0()( lim)0( 000           ，此极限不存在 从而 )0(f 不存在，故 )0(f  不存在 8．曲线 xxy  3 在点（1，0）处的切线是（ ）． A． 22  xy B． 22  xy C． 22  xy D． 22  xy 解 由导数的定义和它的几何意义可知， 1 3 )()1(   x xxy 2)13( 1 2  x x 是曲线 xxy  3 在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 )1(20  xy ，即 22  xy 正确答案：A 9．已知 4 4 1 xy  ，则 y  =（ ）． A. 3x B. 23x C. x6 D. 6 解 直接利用导数的公式计算： 34 ) 4 1 ( xxy  , 23 3)( xxy  正确答案：B 10．若 x x f ) 1 ( ，则  )(xf （ ）。 A． x 1 B． 2 1 x C． x 1  D． 2 1 x  答案：D 先求出 )(xf ，再求其导数。 11． 22ln yxz  的定义域为（ ）． A． 1 22  yx B． 0 22  yx C． 1 22  yx D． 0 22  yx 解 z 的定义域为 0),( 22  yxyx }个，选 D。 12.下列极限存在的是（ ） （A） yx x y x    0 0 lim （B） yx y x    1 lim 0 0 （C） yx x y x    2 0 0 lim （D） yx x y x    1 sinlim 0 0 解 A. 当 P 沿 0x 时， 0),0(lim 0   yf y ，当 P 沿直线 0y 时， 1)0,(lim 0   xf x ，故 0 0 lim   y x yx x  不存在； B.     yx y x 1 lim 0 0 ，不存在； C. 如判断题中 1 题可知 yx x y x    2 0 0 lim 不存在； D. 因为 0lim 1 sin lim 0 0 0 0       x yx x y x y x ，所以 0 1 sinlim 0 0     yx x y x ，选 D 13. 若 ))(()(  xxfxf ， 在 ),0(,0)(,0)()0,(  则在内 xfxf 内 （ ）. （A） 0)(,0)(  xfxf （B） 0)(,0)(  xfxf （C） 0)(,0)(  xfxf （D） 0)(,0)(  xfxf 解： ).(,)(,)(,)( Cxfxfxf 故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因  14．设 )(xf 为奇函数，且 0x 时 0)(  xf ，则 )(xf 在 ]1,10[  上的最大值为（ ） A． )10(f B． )1(f C． )10(f D． )1(f 解：（B） 因为 )(xf 是奇函数，故 )()( xfxf  ，两边求导 )()( xfxf  ，从而 )()( xfxf  ，设 0x ，则 0 x ，从而 0)()(  xfxf ，所以 )(xf 在[-10，-1] 上单调增加，故最大值为 )1(f 15．函数 22)(4),,( yxyxzyxf  ( ) (A)、有极大值 8 （B）、有极小值 8 （C）无极值 （D）有无极值不确定 解 4 2xf x  ， 4 2yf y   ， 0 2 0 2 x y f x f y         2 0 0 2 H        0 2 0H    ， (2, 2) 8f   为极大值 （A） 15.设 的值则为周期的连续函数是以    Ta a dxxfITxf )(,)( （ ）. （A）依赖于 Ta, （B）依赖于 xTa 和, （C）依赖于 xT , ，不依赖于a （D）依赖于T ，不依赖于a 解：根据周期函数定积分的性质有, ).(,)()( 0 Ddxxfdxxf TTl l 故应选   17.曲线 )0( sin 2 3  xxy 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为 （ ）. （A） 3 4 （B）  3 4 （C） 2 3 2  （D）  3 2 解：所求旋转体的体积为 . 3 4 ] 3 cos [coscos)cos1(sin 0 3 0 2 0 3 0 2      x xxdxxdxdxyV 故应选(B). 18.设    2 2 4 2 cos 1 sin   xdx x x M ，   2 2 43 )cos(sin   dxxxN ，   2 2 432 )cossin(   dxxxxP ，则有（ ）. （A） MPN  （B） NPM  （C） PMN  （D） NMP  解：利用定积分的奇偶性质知 0M ， 0cos2 2 0 4    xdxN ， 0cos2 2 0 4    xdxP ， 所以 NMP  ，故选（D）. 19．下列不定积分中，常用分部积分法的是（ ）。 A． xxx dsin 2 B． xxx d)12sin(  C． x x x d ln  D． xx x d 1  答案：B。 20．设 dxdyyxI yx 3 1 2 4 2 )1( 22    ，则必有（ ） （A）I>0 (B)I<0 (C)I=0 （D）I 0 的符号位不能确定 解： D： 0 2 0 2r       21 4 2 2 2 23 3 0 0 0 3 d (1 ) d (1 ) 0 4 I r r r r           21．设 f(t)是可微函数，且 f(0)=1，则极限（ dxdyyxf t tyx t )( 1 lim 222 22 3 0       ）( ) （A）等于 0 （B）等于 )0(' 3 2 f (C) 等于+ （D）不存在且非 C） 解：由极坐标，原极限 2 0 3 30 00 0 0 2 ( )1 2 ( ) lim ( ) lim lim 3 t t t t t rf r dr f t d rf r dr tt t                  22.设函数项级数  1 )( n n xu ，下列结论中正确的是( ). （A）若函数列 )(xun 定义在区间 I 上，则区间 I 为此级数的收敛区间 （B）若 )(xS 为此级数的和函数，则余项 )()()( xSxSxr nn  ， 0)(lim   xrn n （C）若 Ix 0 使  1 0 )( n n xu 收敛，则 |||| 0xx  所有 x 都使  1 )( n n xu 收敛 （D）若 )(xS 为此级数的和函数，则  1 0 )( n n xu 必收敛于 )( 0xS 解：选（B）. 23.设 0a 为常数，则级数 )cos1()1( 1 n a n n    （ ）. （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性与a 有关 解：因为 2 2 2 22 sin2)cos1()1( n a n a n an  ，而  1 2 2 2n n a 收敛，因此原级数绝对收敛. 故 选（A）. 24.若级数     1 )( )1( n n n n ax 在 0x 时发散，在 0x 处收敛，则常数 a （ ）. （A）1 （B）-1 （C）2 （D）2 解：由于     1 )( )1( n n n n a 收敛，由此知 1a .当 11  a 时，由于     1 )( )1( n n n n ax 的收 敛半径为 1，因此该幂级数在区间 )1,1(  aa 内收敛，特别地，在 )1,0( a 内收敛，此与幂 级数在 0x 时发散矛盾，因此 1a .故选（B）. 25. xeyyy x 2cos52  的特解可设为（ ） （A） ;2cos* xAey x （B） ;2cos* xAxey x （C）  ;2sin2cos* xBxAxey x   （D）  .2sin2cos* xBxAey x   解：C 26.微分方程的阶数是指（ ） （A）方程中未知函数的最高阶数； （B）方程中未知函数导数或微分的最高阶数； （C）方程中未知函数的最高次数； （D）方程中函数的次数. 解：B 27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解. （A） ;22 cyx  （B） ;32 2 1 cxcxcy  （C） ;cossin 22 2 1 xcxcy  （D）    .coslnln 21 xcxcy  解：C 28.A、B 均为 n 阶可逆矩阵，则 A、B 的伴随矩阵 )(AB =（ ）. （A） BA ； （B）  BAAB || ； （C）  AB （D） AB ； 解答：D 29. 设 A、B 均为 n 阶方阵，则必有[ ]。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B) –1 =A –1 +B –1 解：正确答案为(C) 30.A,B 都是 n 阶矩阵,则下列各式成立的是 （ ） （A）   TTT BAAB  （B）   TTT BABA  （C）   111   BAAB （D）   111   BABA 解答：B 31. 在随机事件 A，B，C中，A和 B两事件至少有一个发生而 C事件不发生的随机事件可表 示为（ ） （A）AC BCU （B）ABC （C）ABC ABC ABCU U （D）A B CU U 解 由事件间的关系及运算知，可选（A） 32. 袋中有 5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出 4个球，其中恰有 3个白球的 概率为（ ） （A） 3 8 （B） 5 3 1 8 8       （C） 3 4 8 3 1 C 8 8       （D） 4 8 5 C 解 基本事件总数为 48C ，设 A 表示“恰有 3 个白球”的事件，A 所包含的基本事件数 为 15C =5，故 P(A)= 4 8 5 C ，故应选（D）。 33. 已知  0 P 1,B＜ ＜  10 P 1,A＜ ＜  20 P A 1＜ ＜ ，且   1 2P A |A BU  1A |P B  2 |P A B ,则下列选项成立的是（ ） （A）       1 2 1 2P A | A | |A B P B P A B U ; （B）       1 2 1 2P A | AA B P P A U （C）          1 2 1 1 2 2P A A | A |B A B P P B P A P B A U （D）          1 1 2 2P A | A |B P P B P A P B A  解 由题可知 A1、A2互斥，又 0