灰色动态模型及其在人口预测中的应用

第 32 卷第 5 期 2002 年 9 月 数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS IN PRA CT ICE AND TH EO R Y V o l132　N o15　 Sep. , 2002　 灰色动态模型及其在人口预测中的应用 郝永红1, 　王学萌2 (11 山西大学环境与资源学院, 太原　030006) (21 山西省农业科学院农业资源综合考察所, 太原　030006) 摘要: 　一个国家人口的数量直接影响着其经济、社会的发展和资源的利用, 中国是世界上人口的第一大 国, 人口问题一直是制约中国发展的第一因素. 本文应用灰色系统等维灰数递补动态预测模型, 对中国未来 50 年的人口数量进行了动态预测, 通过检验表明, 该模型合理、方法简便可行、结果符合实际, 为中国经济和 社会发展的决策和研究提供了科学依据. 关键词: 　等维灰数递补动态预测; 人口预测; 可持续发展 1　前　　言 收稿日期: 2002203201 基金项目: 山西省青年科技研究基金项目; 太原市科技启明星 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 项目 (20021028) 　　一个国家人口的数量直接影响着其经济、社会的发展和资源的利用. 中国是世界上人 口的第一大国, 人口问题一直是制约中国发展的第一因素, 因此, 在 21 世纪到来之际, 预测 中国未来 50 年人口数量及其增长率, 有着重要的现实意义. 本文根据灰色系统等维灰数递补动态预测模型对未来 50 年中国的人口数量进行了动 态预测. 通过实证分析, 对模型进行了检验, 预测误差小, 应用效果比较符合实际. 2　灰色预测原理、模型和方法 211　灰色预测概念 灰色预测的特点是单数列预测. 在形式上, 只运用预测对象自身的时间序列建立模型, 与其相关联的因素没有参与运算和建模. 这是否说, 那些因素对预测对象没有影响和作用 呢?模型是否不够全面或完善呢? 并不是, 灰色系统的“灰”, 正体现在这里. 任何一个客观系 统, 究竟含有多少因素, 是难以说清楚的. 如人口系统, 影响其增长的因素既有社会经济的, 也有自然环境的, 还有科学技术方面的, 这些众多的因素, 不是用几个指标所能表达清楚的. 而且, 这些因素之间的结构关系难以准确描述, 它们对人口增长的作用更是无法精确计算. 多数因素都在动态变化之中, 其运行机制和变化规律难以完全明白. 这反映了人口系统具 有明显的灰色性, 他是一个既含有许多已知信息, 又存在许多未知或未确知信息的灰色系 统. 灰色系统理论把这样受众多因素影响, 而又无法确定其复杂关系的量, 称为灰色量. 对 灰色量进行预测, 不必拼凑数据不准, 关系不清、变化不明的参数, 而是从自身的时间序列中 寻找有用信息建立模型, 发现和认识内在规律, 并进行预测. 但不是说, 像人口这样的灰色 量不受任何因素的影响, 而是说, 他们时间序列数据的动态变化, 正是那些主要的、次要的, 直接的、间接的, 已知的、未知的, 明显的、隐含的众多因素相互联系、相互制约协同作用的结 果. 实际上它们的影响, 已或多或少地反映在起伏波动的数据里. 如每年的总人口数, 既有 育龄妇女当年生育的因素, 也受育龄妇女没有生育的影响, 既有老人自然死亡的因素, 也有 疾病、事故、自然灾害等的影响, 既有国家计划生育政策的积极作用, 也受传统思想的影响 等. 正是这些既明白又不完全清楚的众多因素共同作用的结果, 才获得现实的一个灰色量 ——总人口数. 灰色预测的另一特点是不追求大样本量. 灰色系统分析有个重要原则就是现实信息优 先的原则, 即在处理历史信息和现实信息的关系时, 重视现实信息. 这是由于在信息不完全 系统中, 表征或反映它的状态特征和行为的主要是现实信息, 直接影响系统未来发展趋势、 起着主导作用的也是现实信息; 同时在历史信息中, 能反映客观事物发展规律的那部分信 息, 都会以这样或那样的方式被现实信息所载有. 这一点对于社会、经济等本征性灰色系统 更为明显. 显然, 我们不能用改革开放前的社会经济信息来描述和表征改革开放后的社会 经济状态, 更不能将它作为主要依据来预测未来社会经济的发展趋势. 所以, 灰色预测不追 求大量历史数据, 也不荷求它的典型分布. 而是对已掌握的部分信息进行合理的技术处理, 通过建立模型, 在更高的层次上, 对系统动态过程进行科学的描述. 212　灰色预测模型的动态特征 灰色单数列预测, 与数理统计学中的时间序列预测, 有本质的不同. 时间序列预测是利 用时间序列的几何特征和统计规律进行预测. 是一种历史的和静态的研究. 而灰色数列预 测是一种现实的和动态的分析与预测. 这是由于灰色动态模型不是利用时间序数据直接建 模, 而是将序列数据作一次累加生成后, 再建立微分方程. 下面通过对灰色动态模型GM (1, 1)进行分析与讨论, 来说明这个特征. GM (1, 1)模型为一阶微分方程: dx (1) ( t) d t + ax (1) ( t) = u (1) 　　方程中的X (1) ( t) 为原始数据序列X (0) ( t) 的依次累加值, 即系统的逐年累计总量; 而方 程左边第一项为系统的逐年增量, 即系统发展速度. 可见, GM (1, 1)模型是描述和研究系统 的总量与系统流量之间的动态关系的微分方程. 求微分方程的解, 得到时间函数: xδ(1) ( t + 1) = x (1) (0) - u a e - at + u a (2) 再进行累减还原, 便得到 xδ(0) ( t) = xδ(1) ( t + 1) - xδ(1) ( t) (3) 以上方程即为GM (1, 1)模型进行灰色预测的基本计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 . 因此, 在形式上GM 模型的时间函数是指数函数, 但其内涵与指数拟合方程是不同的, 它们所反映的系统变化规律, 其实质和意义也是不同的. 因此, 灰色动态模型的累加生成, 并不是可有可无的、繁琐的重复运算, 而是一种揭示与寻找系统客观规律的新的思路和科学 方法. 213　灰色数列预测的计算方法 若给定原始数据序列 X (0) = [X (0) (1) , X (0) (2) , ⋯X (0) (m ) ] (4) 　　可分别从X (0) 序列中, 选取不同长度的连续数据作为子序列. 对于子序列建立GM (1, 418 数　学　的　实　践　与　认　识 32 卷 1)模型的 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 可以概括为: 1) 确定任一子数据序列 X (0)i = [X (0) (1) , X (0) (2) , ⋯X (0) (n) ] (5) 　　2) 对子数据序列作一次累加生成记为: X (1)i = [X (1) (1) , X (1) (2) , ⋯X (1) (n) ] (6) 其中, X (1) ( t) = ∑ t k= 1 X (0) (k ) , 　t = 1, 2, ⋯, n 3) 构造矩阵B 与向量 Y n B = - 1 2 (X (1) (2) + X (1) (1) ) , 1 - 1 2 (X (1) (3) + X (1) (2) ) , 1 ⋯ ⋯ - 1 2 (X (1) (n) + X (1) (n - 1) ) , 1 (7) Y n = (X (0) (2) , X (0) (3) , ⋯, X (0) (n) ) (8) 　　4) 用最小二乘法求解系数 aδ aδ = a u = (B TB ) - 1B T Y n (9) 　　5) 建立GM (1, 1)模型 Xδ(1) (k + 1) = X (0) (1) - u a e - ak + u a (10) 　　6) 将 Xδ(1)还原 Xδ(0) (k ) = Xδ(1) (k + 1) - Xδ(1) (k ) (11) 　　7) 求出X (0) (k )与Xδ(0) (k )之差及相对误差Ε(0) = X (0) - Xδ(0) (12) E (0) = (E (0) öX (0) ) × 100% (13) 　　在应用时, 可以根据数列的动态规律和变化特征与系统未来发展趋势是否相近, 来适当 选择不同的子序列进行建模, 并从中选择最佳模型进行预报. 214　灰数等维递补动态预测方法 一般情况下, GM (1, 1) 模型通过对数列长度的不同取舍, 可得到系列预测结果, 而组成 一个预测灰区间, 即灰平面 (如图 1) , 供决策选用. 但有时利用GM (1, 1) 模型预测所得灰区 间过大, 而失去了意义, 或很难得到较为满意的结果. 这是由于GM 模型预测灰平面成一喇 叭型展开, 即预测时刻越远预测的灰区间越大. 所以, 用已知序列建GM (1, 1) 模型进行预 测时, 不用这个模型一直预测下去, 而是只预测一个值, 并将这个灰数补充在已知数列之后, 为不增加序列长度, 去掉第一个已知数据, 保持数据列的等维, 再建立GM (1, 1) 模型, 这样 新陈代谢, 逐个预测依次递补, 不断补充新的信息, 使灰度逐步减低, 直到完成预测目的或达 到一定的精度要求为止. 这种方法称为“等维灰数递补动态预测”. 它可以达到两个目的: ① 及时补充和利用新的信息, 提高了灰区间的白化度. 显然, 用改进后的新模型再去预测 下一值, 比继续用原模型进行预测要合理, 且更接近实际. ② 每预测一步模型参数做一次 5185 期 郝永红等: 灰色动态模型及其在人口预测中的应用 图 1　灰平面示意图 修正, 模型得到改进. 因而预测值都产生在动态之 中. 当然随着递补次数的增加灰度也在增大, 信息 量减少, 因此, 递补预测也不应是无止境的. 3　中国人口灰色动态预测的实证分析 根据《中国统计年鉴》人口统计数据资料, 运 用灰色动态GM (1, 1) 模型, 采用等维灰数递补动 态预测方法, 对我国总人口进行不同序列长度的 预测, 并进行回代检验与误差分析如下: 311　中长序列的灰数递补预测 分别选择 1950—1980 年、1960—1980 年、 1965—1980 年、1970—1980 年、1980—1990 年五个不同序列, 建立 GM (1, 1) 模型, 进行灰 数递补动态预测, 再将 1981—1999 年预测值与实际统计数进行误差分析如表 1. 表 1　灰数递补预测值误差检验与分析 年 总人口(万人) 1950—1980 1960—1980 1965—1980 1970—1980 1980—1990 预测值 误差% 预测值 误差% 预测值 误差% 预测值 误差% 预测值 误差% 1981 100072 102559 2. 49 103647 3. 57 102531 2. 46 1985 105851 111310 5. 16 112055 5. 86 109327 3. 28 106181 0. 31 1990 114333 123856 8. 33 122962 7. 54 118872 3. 97 113513 0. 72 1995 121121 136695 12. 85 135694 12. 03 129429 6. 86 120866 0. 21 122651 1. 26 1996 122389 139355 13. 86 138468 13. 14 131458 7. 41 122345 0. 04 124330 1. 59 1997 123626 142073 14. 92 141268 14. 27 133622 8. 09 123825 0. 16 126004 1. 92 1998 124810 144846 16. 05 144069 15. 43 135870 8. 86 125309 0. 40 127694 2. 31 1999 125909 147693 17. 30 146849 16. 63 138151 9. 72 126901 0. 71 129404 2. 78 分析结果如下: 1) 从表中可以看出, 运用长序列 (20 年以上) 递补预测误差高于较短序列 (15 年) 递补 预测的误差, 且预测时间越远, 误差越大. 同时也表明不能用计划生育政策实施前的人口数 据, 来预测未来人口的发展趋势. 2) 运用 10 年序列进行递补预测, 误差较小. 其中 1970—1980 年预测误差虽小, 但人口 自然增长率仍保持在 12% 左右, 反映我国计划生育政策转型初期人口发展的自然态势, 1980—1990 序列预测值误差较高. 其原因是该时段正值我国人口生育的一个高峰周期, 因 而预测值偏高. 3) 从表中可以算出, 由于我国计划生育政策的实施, 自 1980 年到 2000 年, 20 年间至少 少生 2 亿 3 千万人左右. 312　短序列的灰数递补预测 根据 1985 年以后的中国人口统计数据, 采用五维、六维、七维、八维序列进行灰数递补 预测, 并用 1995 年后的实际人口数进行误差检验. 结果分别列于表 2—5. 618 数　学　的　实　践　与　认　识 32 卷 表 211　五维灰数递补预测值 (万人) 年 总人口 1986—1990 1988—1992 1990—1994 1991—1995 1992—1996 1993—1997 1994—1998 1991 115823 115673 1995 121121 120254 120589 120905 1996 122389 121160 121539 121968 122161 1997 123626 121988 122406 122917 123196 123399 1998 124810 122744 123196 123774 124117 124412 124513 1999 125909 123434 123918 124566 124952 125314 125606 125781 表 212　五维灰数递补预测值误差检验 (% ) 年 1986—1990 1988—1992 1990—1994 1991—1995 1992—1996 1993—1997 1994—1998 1995 0. 716 0. 439 0. 178 1996 1. 004 0. 695 0. 344 0. 186 1997 1. 325 0. 987 0. 574 0. 348 0. 184 1998 1. 655 1. 293 0. 830 0. 555 0. 319 0. 158 1999 1. 966 1. 581 1. 067 0. 760 0. 473 0. 241 0. 102 表 311　六维灰数递补预测值 (万人) 年 总人口 1986—1991 1987—1992 1988—1993 1989—1994 1990—1995 1991—1996 1992—1997 1991 115823 1995 121121 121283 121122 121031 121048 1996 122389 122495 122307 122192 122216 122269 1997 123626 123648 123441 123307 123337 123413 123503 1998 124810 124746 124512 124364 124400 124497 124625 124715 1999 125909 125791 125534 125367 126066 125520 125682 125810 表 312　六维灰数递补预测值误差检验 (% ) 年 1986—1991 1987—1992 1988—1993 1989—1994 1990—1995 1991—1996 1992—1997 1995 0. 134 0. 001 0. 074 0. 060 1996 0. 087 0. 067 0. 161 0. 141 0. 095 1997 0. 018 0. 150 0. 258 0. 234 0. 172 0. 100 1998 0. 051 0. 239 0. 357 0. 329 0. 251 0. 148 0. 076 1999 0. 090 0. 298 0. 431 0. 125 0. 309 0. 180 0. 079 表 411　七维灰数递补预测值 (万人) 年 总人口 1985—1991 1986—1992 1987—1993 1988—1994 1989—1995 1990—1996 1991—1997 1992 117171 117433 1995 121121 121823 121525 121306 121208 1996 122389 123224 122864 122583 122449 122393 1997 123626 124591 124187 123848 123677 123600 123596 1998 124810 125915 125474 125094 124887 124790 124784 124803 1999 125909 127206 126711 126297 126066 125947 125941 125967 7185 期 郝永红等: 灰色动态模型及其在人口预测中的应用 表 412　七维灰数递补预测值误差检验 (% ) 年 1985—1991 1986—1992 1987—1993 1988—1994 1989—1995 1990—1996 1991—1997 1995 0. 580 0. 334 0. 153 0. 072 1996 0. 682 0. 388 0. 158 0. 050 0. 003 1997 0. 781 0. 454 0. 180 0. 041 0. 021 0. 024 1998 0. 885 0. 532 0. 288 0. 062 0. 169 0. 021 0. 006 1999 1. 030 0. 637 0. 308 0. 125 0. 030 0. 025 0. 046 表 511　八维灰数递补预测值 (万人) 年 总人口 1985—1992 1986—1993 1987—1994 1988—1995 1989—1996 1990—1997 1991—1998 1993 118517 118916 1995 121121 121859 121559 121378 1996 122389 123308 122929 122685 122543 1997 123626 124756 124295 123987 123796 123710 1998 124810 126203 125669 125295 125052 124938 124892 1999 125909 127622 127036 126602 126309 126164 126102 126057 表 512　八维灰数递补预测值误差检验 (% ) 年 1985—1992 1986—1993 1987—1994 1988—1995 1989—1996 1990—1997 1991—1998 1995 0. 609 0. 362 0. 212 1996 0. 751 0. 441 0. 242 0. 126 1997 0. 914 0. 541 0. 292 0. 138 0. 068 1998 1. 116 0. 688 0. 389 0. 194 0. 103 0. 065 1999 1. 361 0. 859 0. 550 0. 318 0. 203 0. 153 0. 118 对以上五—八维四种短序列的灰数递补预测值及其误差检验, 分析结果如下: 1) 四种短序列的递补预测误差普遍小于中长序列 (10 年以上)的预测误差. 2) 四种短序列的递补预测误差规律性较强, 各误差表中左下角最大, 向上与向右逐步 减低, 这表明: 预测时间越远误差越大, 而构成预测序列的时间越近预测误差也越小. 3) 在四个短序列中, 六维序列的预测值与实际数最为接近, 误差大多数都在 011% 以 下; 七维序列的预测值误差也很小. 从表中可见, 预测一年的误差大部在 011% 以下, 而预测 五年的误差也大部在 015% 左右. 4) 预测序列 (即维数) 越短, 预测值收敛的越快, 也就是自然增长率下降的越快. 可见, 通过调整预测序列长度就可以适应人口增长速度的要求. 4　中国 2050 年总人口的灰色动态预测 根据以上对中国总人口预测的实证分析, 本文分别运用最新的五维—八维序列对中国 总人口进行了未来 50 年预测, 结果列于表 6: 818 数　学　的　实　践　与　认　识 32 卷 表 6　中国人口 2050 年灰色动态预测结果 年 总人口 (万人) 年自然增长率 (‰) 年净增人口数 (万人) 五维 六维 七维 八维 五维 六维 七维 八维 五维 六维 七维 八维 1999 125781 125882 125972 126057 9. 32 9. 37 10. 05 10. 31 917 1072 1162 1247 2000 126744 126949 127103 127237 8. 59 9. 29 9. 69 10. 02 936 1067 1131 1180 2001 127601 127756 128206 128400 7. 77 8. 75 9. 35 9. 76 857 1007 1103 1163 2002 128380 128908 129273 129549 7. 02 8. 25 9. 01 9. 51 779 952 1067 1149 2003 129904 129815 130312 130681 6. 38 7. 78 8. 68 9. 28 714 907 1039 1132 2004 129748 130682 131324 131799 5. 78 7. 36 8. 37 9. 07 654 867 1012 1118 2005 130340 131506 132307 132897 5. 24 6. 95 8. 07 8. 85 592 824 983 1098 2006 130882 132284 133262 133973 4. 76 6. 56 7. 78 8. 62 542 778 955 1076 2007 131374 133028 134188 135034 4. 31 6. 20 7. 51 8. 41 492 744 926 1061 2008 131824 133734 135090 136034 3. 91 5. 86 7. 24 8. 21 450 706 902 1045 2009 132232 134404 135966 137106 3. 55 5. 53 6. 99 8. 01 408 670 876 1027 2010 132600 135042 136812 138116 3. 22 5. 23 6. 74 7. 82 368 638 846 1010 2015 134008 137780 140696 142910 1. 99 3. 95 5. 62 6. 92 228 492 732 926 2020 134496 139888 144028 147298 1. 24 2. 99 4. 70 6. 13 144 380 628 846 2025 135472 141496 146872 151296 0. 82 2. 25 3. 93 5. 43 80 292 532 770 2030 135840 142736 149288 154934 0. 50 1. 73 3. 28 4. 81 64 216 452 704 2035 136128 143696 151344 158224 0. 35 1. 31 2. 74 4. 26 64 168 384 636 2040 136384 144464 153096 161200 0. 36 1. 05 2. 30 3. 78 64 136 328 572 2045 136640 145104 154576 163884 0. 38 0. 86 1. 93 3. 34 32 112 280 516 2050 136896 145600 155632 166316 0. 35 0. 70 1. 63 2. 97 32 64 232 472 通过对总人口数、自然增长率和年净增人口数的综合分析, 本文建议采用五维和六维序 列的预测值分别作为中国总人口数的上限与下限, 其理由是: 1) 先从人口自然增长率来看, 1997 年实际为 10106‰, 1998 年开始降到 10‰以下, 为 9153‰, 1999 年为 8177‰, 与五维序列的预测值最接近. 2) 再从净增人口数来看, 1997 年实际为 1237 万人, 1998 年已降到 1184 万人, 1999 年 为 1099 万人, 与六维序列预测值十分接近. 3) 最后从总人口预测值来看, 他完全符合人口增长的 S 形曲线规律, 且曲线的特征值 不是人为的、硬性的假设, 而是人口历史发展内在的、客观规律的自然体现. 5　结　　论 通过以上对中国总人口的实证分析和总人口的数量预测, 可以得出以下结论: 1) 中国人口自然增长率在 2010 年将下降到 5‰左右, 每年净增人口数将由 1000 万下 降到 500 万左右. 到 2030 年人口自然增长率为 1173—015‰左右, 年净增人口数约 216— 64 万, 而到 2050 年人口自然增长率将下降到 017—0135‰左右, 年净增人口数约 64—32 万. 那时, 中国基本上实现了人口零增长. 9185 期 郝永红等: 灰色动态模型及其在人口预测中的应用 2) 中国总人口到 2004 年底达 13 亿, 到 2025 年左右才有可能达到 14 亿, 2050 年最多 达 1415 亿. 如果计划生育工作继续有效贯彻, 再加上随着社会经济的发展和精神文明的深 入, 人们思想意识的变化, 中国的最终极限人口将不会超过 15 亿. 3) 实践表明, 灰色预测特别适用于那些因素众多、结构复杂、涉及面广而层次较高、综 合性较强、互相性较好的社会经济系统指标的趋势预测, 诸如总人口、生产总值、总产量、总 收入、消费总额等. 参考文献: [ 1 ]　宋健等 1 人口预测和人口控制[M ]. 人民出版社, 19801 [ 2 ]　陈玉光等 1 中国人口结构研究[M ]. 山西人民出版社、中国社会科学出版社, 19841 [ 3 ]　刘文等 12000 年中国环境经济预测[M ]. 中国环境科学出版社, 19871 [ 4 ]　刘铮等 1 中国人口发展战略[M ]. 山西人民出版社, 19921 [ 5 ]　牛文元等 12000 年中国可持续发展战略 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 [M ]. 科学出版社, 20001 [ 6 ]　王学萌 1 灰数等维递补动态预测[J ]. 华中理工大学学报, 1989, 40: 9—16. [ 7 ]　邓聚龙 1 灰色系统理论教程[M ]. 华中理工大学出版社, 19901 [ 8 ]　王学萌等 1 灰色系统方法简明教程[M ]. 成都科技大学出版社, 1993. [ 9 ]　王学萌等 1 灰色系统分析方法论初探[J ]. 系统辩证学学报, 1995, 21 The D ynam ic M odel of Gray System and Its Appl ica tion to Popula tion Forcasting HAO Yong2hong1, 　W AN G Xue2m eng2 (1. Inst itu te of Environm ent and R esources, Shanx i U niversity, T aiyuan 030006, Ch ina) (2. Inst itu te fo r IN tegrated Survey of A gricu ltu re R esource Shanx i P rovince, T aiyuan 030006, Ch ina) Abstract: 　 In susta inab le developm ent, popu lat ion is a key facto r. In th is essay, the popu lat ion of our coun try is fo recasted dynam ically th rough gray system models and m ethods. Exam ination indicated that the models are reasonab le and simp le and the resu lts of fo recast confo rm to reality. T he conclusions are usefu l to po licy2m ak ing body. Keywords: 　 dynam ic fo recast ing w ith recursive compensation by gray num bers of iden tical dim ensions; gray system ; susta inab le developm ent; popu lat ion fo recast 028 数　学　的　实　践　与　认　识 32 卷