2009年高考语文
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（重庆卷） 导 数 考试内容：
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探索©版权所有www.delve.cn导数的背影． 数学探索©版权所有www.delve.cn导数的概念． 数学探索©版权所有www.delve.cn多项式函数的导数． 数学探索©版权所有www.delve.cn利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求： 数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解导数概念的某些实际背景． 数学探索©版权所有www.delve.cn（2）理解导数的几何意义． 数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数MATCH_
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_1714591226282_0，会求多项式函数的导数． 数学探索©版权所有www.delve.cn（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． 数学探索©版权所有www.delve.cn（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设 是函数 定义域的一点，如果自变量 在 处有增量 ，则函数值 也引起相应的增量 ；比值 称为函数 在点 到 之间的平均变化率；如果极限 存在，则称函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处的导数，记作 或 ，即 = . 注：① 是增量，我们也称为“改变量”，因为 可正，可负，但不为零. ②以知函数 定义域为 ， 的定义域为 ，则 与 关系为 . 2. 函数 在点 处连续与点 处可导的关系： ⑴函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 在点 处可导，那么 点 处连续. 事实上，令 ，则 相当于 . 于是 ⑵如果 点 处连续，那么 在点 处可导，是不成立的. 例： 在点 处连续，但在点 处不可导，因为 ，当 ＞0时， ；当 ＜0时， ，故 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数 在点 处的导数的几何意义就是曲线 在点 处的切线的斜率，也就是说，曲线 在点P 处的切线的斜率是 ，切线方程为 4. 求导数的四则运算法则： （ 为常数） 注：① 必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设 ， ，则 在 处均不可导，但它们和 在 处均可导. 5. 复合函数的求导法则： 或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ＞0，则 为增函数；如果 ＜0，则 为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数 在区间 内恒有 =0，则 为常数. 注：① 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 在 上并不是都有 ，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样 是f（x）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在 附近所有的点，都有 ＜ ，则 是函数 的极大值，极小值同理） 当函数 在点 处连续时， ①如果在 附近的左侧 ＞0，右侧 ＜0，那么 是极大值； ②如果在 附近的左侧 ＜0，右侧 ＞0，那么 是极小值. 也就是说 是极值点的充分条件是 点两侧导数异号，而不是 =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点 是可导函数 的极值点，则 =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 ， 使 =0，但 不是极值点. ②例如：函数 ，在点 处不可导，但点 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I. （ 为常数） （ ） II. III. 求导的常见方法： ①常用结论： . ②形如 或 两边同取自然对数，可转化求代数和形式. ③无理函数或形如 这类函数，如 取自然对数之后可变形为 ，对两边求导可得 .
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