岩土材料最大主剪应变破坏准则的推导

第 26 卷 第 3 期 岩石力学与工程学报 Vol.26 No.3 2007 年 3 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering March，2007 收稿日期：2006–03–29；修回日期：2006–07–23 基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412708)；国家杰出青年科学基金资助项目(50325414) 作者简介：高 红(1979–)，女，2000 年毕业于重庆大学工程力学系工程力学专业，现为博士研究生，主要从事岩土力学方面的研究工作。E-mail： gaohong1979@126.com 岩土材料最大主剪应变破坏准则的推导 高 红 1，郑颖人 1，2，冯夏庭 1 (1. 中国科学院 岩土力学重点实验室，湖北 武汉 430071；2. 中国人民解放军后勤工程学院 军事土木工程系，重庆 400041) 摘要：屈服和破坏是 2 个不同的概念，是材料变形过程中的 2 个不同阶段。在应力空间中，理想塑性的屈服面在 材料变形过程中始终保持不变，而在应变空间中，后继屈服面与初始屈服面大小相同，但中心位置随着塑性变形 的增大而移动。所以传统的基于应力空间的各种准则无法判断材料破坏与否，而基于应变空间进行 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述则能克服 这一局限。据此，建立基于最大主剪应变的岩土材料延性剪切破坏应变准则；根据正常固结饱和土排水和不排水 三轴试验结果，分析应力和体积应变(排水)或孔隙水压力(不排水)随应变的变化规律，并利用 ANSYS 对上述三轴 试验进行数值模拟，计算结果与试验结果所得规律一致，表明取试样进入临界状态起始点的应变作为破坏极限应 变容许值是合理的。最后，详细推导出最大主剪应变的计算公式，并针对几种常用屈服准则给出计算示例。 关键词：岩土力学；破坏；最大主剪应变；临界状态 中图分类号：TU 432 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2007)03–0518–07 DEDUCTION OF FAILURE CRITERION FOR GEOMATERIALS BASED ON MAXIMUM PRINCIPAL SHEAR STRAIN GAO Hong 1，ZHENG Yingren1，2，FENG Xiating1 (1. Key Laboratory of Rock and Soil Mechanics，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan，Hubei 430071，China；2. Department of Civil Engineering，Logistical Engineering University of PLA，Chongqing 400041，China) Abstract：Yield and failure are two different conceptions，and they are two different steps in the deformation processes of materials. In the stress space，the failure surface of perfect plastic materials keeps unchangeable. In the strain space，however，with the constant size of failure surface，its center location moves with the increase of plastic deformation. So the traditional criteria built in the stress space cannot determine whether the material is destroyed. On the contrary，the criteria built in the strain space can properly deal with the problem. The strain criterion for ductile shear failure based on the maximum principal shear strain is established. On the basis of triaxial compression test results of normally consolidated saturated clay，the development laws of stress and volume strain(drained) or pore water pressure(undrained) with strain are analyzed；and the results of numerical simulation with ANSYS are in consistent with the test results. So it is rational to take the shear strain of initial critical state as the limit failure strain. The formulas of the maximum principal shear strain are deduced；and the calculation cases for several commonly used yield criteria are presented. Key words：rock and soil mechanics；failure；maximum principal shear strain；critical state 第 26 卷 第 3 期 高 红，等. 岩土材料最大主剪应变破坏准则的推导 • 519 • 1 引 言 材料的破坏可分为脆性破坏和延性破坏 2 种。 材料发生脆性破坏时，其试验应力–应变关系曲线 没有明显的屈服点，因而是直接破坏，破坏后的变 形是由断裂面的摩擦滑动和断裂面间的碎屑流动而 发生的；延性破坏则有明显的屈服点和塑性流动阶 段，屈服点后的永久变形是由塑性变形产生的，当 塑性流动到一定程度时即发生破坏。 常用的经典脆性材料破坏准则包括最大正应力 准则和最大正应变准则[1]。而对于延性破坏，当前 普遍混淆屈服与破坏的概念，多数人都没有对这 2 个概念进行区分，通常人们所说的破坏准则确切地 说应该是屈服准则。实际上屈服和破坏是 2 种不相 同的概念[2]，是材料变形过程中的 2 个不同阶段， 初始屈服是材料由弹性状态进入塑性状态的标志， 是材料弹性变形的上限，是弹性状态与塑性状态的 分界点；破坏是塑性过程发展的最终结果，是塑性 变形所能达到的极限状态，也代表材料的极限变形 能力。达到屈服点材料并不破坏，从屈服到破坏之 间还有一个塑性变形的范围。因此破坏准则与屈服 准则是不相同的，有必要建立真正的破坏准则。 2 岩土材料应变破坏准则 材料屈服后，应力–应变关系不再满足一一对 应的关系，应力–应变关系要受到加载状态、应力 水平、应力历史与应力路径等的影响。对应同一个 应力值，可有不同的应变值，材料可处于不同的状 态——弹性状态或塑性状态和硬化阶段或软化阶段。 对于理想弹塑性材料，屈服后并不立即破坏，而是 要塑性流动到一定程度才破坏，因此其屈服应力和 最后的破坏应力相等，但屈服应变和破坏应变不相 等。在应力空间中，理想塑性的屈服面在材料变形 过程中始终保持不变，其后继屈服面与初始屈服面 相同；而在应变空间中，后继屈服面与初始屈服面 大小相同，但其中心位置随着塑性变形的增大而发 生移动。所以传统的基于应力空间的各种准则无法 判断材料破坏与否，而基于应变空间进行表述则能 克服这一局限。应变特别是作为内变量的塑性应变， 其变化可体现加载路径和加载历史，反映材料在荷 载作用下从初始状态不断劣化直至最后破坏的整个 过程。正如汪闻韶[3]所指出的，从较为直观的物理 量来看，选择容许变形量作为破坏标准是比较合理 的。应变的极限值可充分反映材料的极限变形能力， 因此本文尝试以应变为手段建立材料的破坏准则。 就单元体而言，破坏应该是指其应力不再增加， 应变或位移达到某个极限值的状态。就结构整体而 言，破坏首先意味着结构整体不能继续承受荷载； 其次破坏点连通形成整体的破坏面，沿破坏面两侧 发生显著的、较大规模的相对移动，因而破坏面上 会有应变、位移的突变。随着外加荷载的增加，首 先是单元体出现破坏，即单元应变达到破坏极限应 变，变形到一定程度后，破坏单元逐渐连通，形成 贯通的破坏面，破坏面上单元处处达到破坏状态， 导致整体破坏的发生[2]。 根据破坏形态，岩土材料的破坏可分为拉伸破 坏和剪切破坏 2 种。拉伸破坏以脆性破坏为主，剪 切破坏则既有脆性的，也有延性的破坏，本文只讨 论延性剪切破坏。岩土材料应变破坏准则可表达为 maxγ ≤ fγ (1) 式中： fγ 为材料破坏时的极限应变容许值，即认为 当某点的最大主剪应变达到极限值时材料就发生破 坏。 3 破坏极限应变容许值的确定 材料破坏时的极限应变容许值可由试验确定， 本文试验资料摘自 J. A. R. Ortigao[4]的研究。图 1 所 示为正常固结黏土在 3 种不同围压 =′cσ 70，200， 700 kPa 下的固结排水三轴试验结果，给出轴向偏应 力 )( 31 σσ − 及体积应变 volε 与轴向应变 1ε 的关系曲 线。从图 1 中可看出，随着围压的增大，应力–应 变关系曲线初始斜率增大，抗剪强度增大，体积应 变也随之增大。但在 3 种围压情况下，其轴向应变 约为 =1ε 20%时，轴向偏应力均达到其最大值 max31max )( σσ −=q ，压缩体积应变也达到其最大值 maxvol )(ε ，而后基本保持不变，只有剪应变 γ 持续增 加。图 2 所示为正常固结黏土在围压 =′cσ 150 kPa 下的固结不排水三轴试验结果，给出轴向偏应力 2)( 31 σσ −=t 及孔隙水压力 uΔ 与轴向应变 1ε 的关 系曲线。随着轴向荷载的增大，轴向偏应力和孔隙 水压力增大，在轴向应变达到约 =1ε 10%时，轴向 偏应力和孔隙水压力分别达到其最大值 maxq 和 max)( uΔ ，而后基本保持不变，剪应变却进入流动状 态持续增加。这种平均正应力 p′、轴向偏应力 q、 • 520 • 岩石力学与工程学报 2007 年 图 1 固结排水试验曲线[4] Fig.1 CD test curves[4] 图 2 固结不排水试验曲线[4] Fig.2 CU test curves[4] 体积应变 vε (排水)或孔隙水压力 u(不排水)保持不 变，剪切应变 γ 持续增大，材料表现为摩擦塑性流 动的状态称之为临界状态[5～8]。此后试样由于变形 过大而严重扭曲，继续测量应变已毫无意义，试验 终止，因此取试样进入临界状态起始点的剪切应变 为破坏极限应变 fγ 是合理的。 利用 ANSYS 对上述正常固结黏土的排水三轴 压缩试验进行数值模拟，屈服准则选用 Drucker- Prager 屈服函数，采用非关联流动法则，以 Mises 函数作为塑性势函数。试样底部为固定约束，有限 元网格划分如图 3 所示。给出 2 种较低围压 =′cσ 70 和 200 kPa 下的计算结果。图 4 所示为轴向偏应力 q 与轴向应变 1ε 的关系曲线，图 5 为体积应变 vε 与 轴向应变 1ε 的关系曲线。从图 4，5 中可看出，在轴 向应变达到大约 =1ε 20%时，轴向偏应力和体积应 图 3 有限元网格划分 Fig.3 Meshes of finite elements 图 4 q-ε1关系曲线 Fig.4 Relation curves of q-ε1 图 5 εv-ε1关系曲线 Fig.5 Relation curves of εv-ε1 变达到稳定值即进入临界状态，这与试验结果所得 规律是一致的。可见上述以试样进入临界状态起始 点的剪切应变为破坏极限应变 fγ 的应变破坏准则 是可行的。 4 最大主剪应变的计算 材料弹塑性本构模型[9～13]主要是建立在塑性增 量理论基础上的，最大主剪应变为 maxmax dγγ ∫= (2) 材料进入塑性变形阶段后，应变增量可分为两 部分——弹性部分和塑性部分之和，即 p max e maxmax ddd γγγ += (3) －2 0 2 4 6 8 10 －10 0 10 20 30 轴向应变ε1 体 积 应 变 ε v 70 kPa 200 kPa 轴向应变ε1 0 50 100 150 200 250 300 350 －10 0 10 20 30 偏 应 力 q/ kP a 70 kPa 200 kPa －50 ε1/% (a) ε1/% (b) (σ 1 － σ 3) /k Pa ε1/% ε vo l/% 第 26 卷 第 3 期 高 红，等. 岩土材料最大主剪应变破坏准则的推导 • 521 • 式中： emaxdγ 为弹性最大主剪应变增量，可按弹性理 论计算； pmaxdγ 为塑性最大主剪应变增量，可按塑性 增量理论计算。 根据广义虎克定律，弹性最大主剪应变增量为 )dd(1ddd 31e3e1emax σσεεγ −+=−= E ν (4) 根据塑性理论，塑性最大主剪应变增量为 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂=−= 31 p 3 p 1 p max dddd σσλεεγ QQ (5) 式中： λd 为塑性因子。 设屈服函数为 ( ) 0 )( 32m == HJJHij ，，，， σφφ σ (6) 设塑性势函数为 ( ) 0 )( 32m == HJJQHQ ij ，，，， σσ (7) 总应变增量可分解为 pe ddd ijijij εεε += (8) 式中： ed ijε 为弹性应变增量，由广义虎克定律确定； pd ijε 为塑性应变增量，由塑性位势理论确定，且有 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ∂ ∂= = − ij ij klijklij Q σλε σε dd dd p 1ee D (9) 式中： eijklD 为弹性刚度矩阵，由弹性常数组成； λd 为塑性因子； ijσ 为应力分量，且有 =−== )dd(dd peee klklijklklijklij εεσ DD ε ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂− kl klijkl Q σλε dd eD (10) 对于等向硬化材料有 kl kl Q A σσλ d 1d ∂ ∂= (11) 其中， ijij QH H QA σε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂−= p (12) 相容条件为 0ddd p p =∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂= kl kl kl kl H H εεσσ φφφ (13) 即 0=−∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂ λσλσεσ ddd ee AQ pq mnpq mn klijkl ij DD φφ (14) 所以有 pq mnpq mn klijkl ij QA σσ σλ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ = e e d d D D φ εφ (15) 将φ 及 Q 分别对 ijσ 求偏导后可得 ijijijij J J J J σσσσ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ 3 3 2 2 m m φφσ σ φφ (16) ijijijij J J QJ J QQQ σσσ ∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ 3 3 2 2 m m σ σ σ (17) 其中， ij ij δσ 3 1m =∂ ∂σ (18) ij ij J J s 2 2 2 1=∂ ∂ σ (19) ijkjikij ij JJ δσ 2 3 3 2−==∂ ∂ sst (20) 令 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂= 3 3 22 2 m 1 2 1 3 1 J B JJ B B φ φ σ φ (21) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂= 3 3 22 2 m 1 2 1 3 1 J QC JJ QC QC σ (22) 则有 ijijij ij BBB ts 321 ++=∂ ∂ δσ φ (23) ijijij ij CCCQ ts 321 ++=∂ ∂ δσ (24) 令 • 522 • 岩石力学与工程学报 2007 年 e ijkl ij klH Dσ∂ ∂= φ (25) kl kl kl ijkl ij QHAQAH σσσ ∂ ∂+=∂ ∂ ∂ ∂+= eDφ (26) 则有 H H ijij ελ dd = (27) 对于理想弹塑性材料 0=A ，弹性刚度矩阵以 K，G 形式可表示为 )( 3 2e jkiljlikklijijkl GGK δδδδδδ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=D (28) 则有 ijijijij GBGBKBH ts 321 223 ++= δ (29) +++= )32(29 3322211 JCJCGBKCBH ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+ 2233223 3 432 JCCJCGB ljilkjik ssss (30) 可见，对于不同的屈服准则和塑性势函数，只 需计算出相应的 iB 和 iC ，即可求出最大塑性主剪应 变增量。 5 几种常用屈服准则计算示例 下面针对几种常用屈服理论给出计算结果。对 金属材料采用关联流动法则，这是完全成立的；对 岩土材料则采用非关联流动法则，由于塑性体积应 变增量与塑性剪切应变增量比较相对较小，塑性流 动方向与塑性剪切应变增量方向偏离不大，故取 Mises 函数为塑性势函数，这是近似适用的，即 02 =−= kJQ (31) 则有 )( 2 ddd 31 231 p max σσσσ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂= J QQ λλγ (32) 5.1 Mises屈服准则 Mises 屈服函数为 02 =−= kJφ (33) 或 0])()()[( 6 1 2 13 2 32 2 21 =−−+−+−= kσσσσσσφ (34) 代入到式(21)，(22)，(29)和(30)，则有 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ = = = 0 2 1 0 3 2 2 1 B J B B (35) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ = = = 0 2 1 0 3 2 2 1 C J C C (36) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = = GH J GH ijij s 2 1 (37) 故有 ijij ijij JG J G ε ε λ d1 d1 d 2 2 s s == (38) ijijJJ ελγ d 2 )( 2 dd 2 31 31 2 p max s σσσσ −=−= (39) ijijJE εσσγ d 2 )dd(1d 2 31 31max s σσν −+−+= (40) 5.2 Drucker-Prager屈服准则 Drucker-Prager 屈服函数为 021 =−+= kJIαφ (41) 代入到式(21)，(22)，(29)和(30)，则有 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ = = = 0 2 1 3 2 2 1 B J B B α (42) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = 0 2 1 0 3 2 2 1 C J C C (43) ijijij J GKH s 2 13 += δα (44) GH = (45) 故 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = G J GK ijijij εδ λ d13 d 2 sα 第 26 卷 第 3 期 高 红，等. 岩土材料最大主剪应变破坏准则的推导 • 523 • ijijJG K εε d1d3 2 v s+α (46) +−=−= v 2 31 31 2 p max d2 )(3)( 2 dd ελγ GJ K J σσασσ ij ij J εd 2 )( 2 31 σσ −s (47) +−+−+= v 2 31 31max d2 )(3)dd(1d εσσγ GJ K E σσαν ij ij J εd 2 )( 2 31 σσ −s (48) 5.3 Mohr-Coulomb屈服准则 Mohr-Coulomb 屈服函数为 0cos)sin1( 2 1)sin1( 2 1 31 =−−−+= ϕϕσϕσφ c (49) 或 −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= ϕθθϕφ σσ sinsin3 1cossin 3 1 21 JI 0cos =ϕc ( 6/π− ≤ σθ ≤ 6/π ) (50) 则 ϕsin 3 1 1 =B (51) ⎩⎨ ⎧ ++= )3tan(tan1 2 cos 2 2 σσ σ θθθ J B ⎭⎬ ⎫− ]tan)3[tan( sin 3 1 σσ θθϕ (52) )3cos(2 sincossin3 2 3 σ σσ θ ϕθθ J B += (53) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = 0 2 1 0 3 2 2 1 C J C C (54) ⋅+ ⎭⎬ ⎫− ⎩⎨ ⎧ +++= )3cos( ]tan)3[tan(sin 3 1 )3tan(tan1 cos sin 2 2 σ σσ σσ σ θθθϕ θθθϕ J G J G KH ij ij ijij t sδ ( )ϕθθ σσ sincossin3 + (55) ⎩⎨ ⎧ ++= )3tan(tan1cos σσσ θθθGH ⋅+ ⎭⎬ ⎫− )3cos(2 3]tan)3[tan(sin 3 1 2 σ σσ θθθϕ J G )sincossin3( ϕθθ σσ + (56) 故有 ⋅⎪⎩ ⎪⎨ ⎧+= 2 v cosdd sind J G HH K ijij σθϕ sεελ + ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −++ ]tan)3[tan(sin 3 1)3tan(tan1 σσσσ θθϕθθ ( ) ⎭⎬ ⎫+ ϕθθθ σσσ sincossin3)3cos(2J G ijt (57) +−=−= HJ K J 2 v31 31 2 p max 2 d)(sin)( 2 dd ελγ σσϕσσ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++− )3tan(tan1cos 2 d)( 22 31 σσ σ θθθσσ J G HJ ijij sε ⋅+⎪⎭ ⎪⎬ ⎫− )3cos( ]tan)3[tan( sin 3 1 2 σ σσ θθθϕ J G ijt ( )⎪⎭⎪⎬ ⎫+ ϕθθ σσ sincossin3 (58) +−+−+= HJ K E 2 v31 31max 2 d)(sin)dd(1d εσσγ σσϕν ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++− )3tan(tan1cos 2 d)( 22 31 σσ σ θθθσσ J G HJ ijij sε ⋅+ ⎭⎬ ⎫− )3cos( ]tan)3[tan( sin 3 1 2 σ σσ θθθϕ J G ijt ( )⎪⎭⎪⎬ ⎫+ ϕθθ σσ sincossin3 (59) 6 结 论 (1) 材料屈服后，应力–应变不再满足一一对 偏 差 应 力 • 524 • 岩石力学与工程学报 2007 年 应的关系，采用应力准则无法判断材料破坏与否。 应变特别是作为内变量的塑性应变，其变化可体现 加载路径和加载历史，反映材料在荷载作用下从 初始状态不断劣化直至最后破坏的整个过程，采 用应变的极限值来表征材料的极限变形能力是合 适的。 (2) 建立基于最大主剪应变的岩土材料延性剪 切破坏应变准则。根据正常固结饱和土排水和不排 水三轴试验结果，分析应力和体积应变(排水)或孔 隙水压力(不排水)随应变的变化规律。利用 ANSYS 对上述三轴试验进行数值模拟，计算结果与试验结 果所得规律一致，表明取试样进入临界状态起始点 的应变作为破坏极限应变容许值是合理的。 (3) 根据弹塑性理论，详细推导最大主剪应变 的计算公式，并针对几种常用屈服准则给出计算示 例。 参考文献(References)： [1] 孙训方，方孝淑，关来泰. 材料力学[M]. 北京：高等教育出版社， 1995.(SUN Xunfang，FANG Xiaoshu，GUAN Laitai. 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