第2章 对偶理论和灵敏度分析-第4节

null 运筹学 （第三版） 《运筹学》教材编写组 编写 清华大学出版社 运筹学 （第三版） 《运筹学》教材编写组 编写 清华大学出版社 第2章 对偶理论 和 灵敏度分析 第4节 线性规划的 对偶理论 钱颂迪制作第2章 对偶理论和灵敏度分析第2章 对偶理论和灵敏度分析第4节 线性规划的对偶理论 从理论上讨论线性规划的对偶问题4.1 原问题与对偶理论4.1 原问题与对偶理论原问题（LP）：对偶问题(DP) 对偶问题(DP) 标准型原问题与对偶问题的关系标准型原问题与对偶问题的关系 例2 根据表2-3写出原问题与对偶问题的表达式。 例2 根据表2-3写出原问题与对偶问题的表达式。 表2-3 标准形式的变换关系为对称形式 原问题 （LP） 对偶问题(DP) 标准形式的变换关系为对称形式 原问题 （LP） 对偶问题(DP) 非对称形式的变换关系非对称形式的变换关系原问题的约束条件中含有等式约束条件时，按以下步骤处理。 设等式约束条件的线性规划问题 第一步：先将等式约束条件分解为两个不等式约束条件。 第一步：先将等式约束条件分解为两个不等式约束条件。 第二步：按对称形式变换关系可写出它的对偶问题 第二步：按对称形式变换关系可写出它的对偶问题 设yi′是对应(2-13)式的对偶变量 yi″是对应(2-14)式的对偶变量。 这里i=1,2,…，mnull 将上述规划问题的各式整理后得到 将上述规划问题的各式整理后得到 综合上述，线性规划的原问题与对偶问题的关系， 其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。 综合上述，线性规划的原问题与对偶问题的关系， 其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。 nullnull 例3 试求下述线性规划原问题的对偶问题 例3 试求下述线性规划原问题的对偶问题 则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题， 则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题， 4.2 对偶问题的基本性质 4.2 对偶问题的基本性质 (1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题 ; (2)弱对偶性 若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存在CX≤Yb; (3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解; (4) 可行解是最优解时的性质 ; (5) 对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等; (6) 互补松弛性 ; (7) 原问题检验数与对偶问题解的关系. (1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题 (1) 对称性 对偶问题的对偶是原问题 证设原问题是 max z=CX; AX≤b； X≥0 根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是 min ω=Yb; YA≥C； Y≥0 若将上式两边取负号，又因min ω=max(-ω)可得到 max(-ω)=-Yb; -YA≤-C； Y≥0 根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是 min(-ω′)=-CX； -AX≥-b; X≥0 又因 min(-ω′)=maxω′ 可得 maxω′=max z=CX； AX≤b; X≥0 这就是原问题。证毕。(2)弱对偶性 (2)弱对偶性 证明：证明： (3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解 (3) 无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解 证：由性质（2）可知， 例：从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解从两图对比可明显看到原问题无界， 其对偶问题无可行解y1y2(4) 可行解是最优解时的性质 (4) 可行解是最优解时的性质 设 是原问题的可行解， 是对偶问题的 可行解， 当 时， 是最优解。 证明：证明： (5) 对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。 (5) 对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。 (6) 互补松弛性(6) 互补松弛性null将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA-YS代替后，得到 z=(YA-YS)X=YAX-YSX (2-15) 将对偶问题的目标函数中系数列向量b，用b=AX+XS代替后，得到 ω=Y(AX+XS)=YAX+YXS (2-16)null(7) 原问题检验数与对偶问题解的关系 (7) 原问题检验数与对偶问题解的关系 设原问题是 max z=CX; AX+XS=b; X,XS≥0 它的对偶问题是 min ω=Yb; YA-YS=C; Y,YS≥0 则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，其对应关系见表2-5。 表2-5 对应关系表2-5 对应关系YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量， YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量。 证: 设B是原问题的一个可行基，于是A=(B,N)；原问题可以改写为 证: 设B是原问题的一个可行基，于是A=(B,N)；原问题可以改写为 max z=CBXB+CNXN BXB+NXN+XS=b XB，XN，XS≥0 相应地对偶问题可表示为 min ω=Yb YB-YS1=CB (2-17) YN-YS2=CN (2-18) Y，YS1,YS2≥0 这里YS=(YS1，YS2)。null当求得原问题的一个解：XB=B-1b 其相应的检验数为CN-CBB-1N与 -CBB-1 现分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系：令Y=CBB-1，将它代入(2-17)式，(2-18)式得 YS1=0, -YS2=CN-CBB-1N 证毕 例4 已知线性规划问题例4 已知线性规划问题max z=x1+x2 -x1+x2+x3≤2 -2x1+x2-x3≤1 x1,x2,x3≥0 试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。 先将其变换为对偶问题。上述问题的对偶问题为上述问题的对偶问题为minω=2y1+y2 -y1-2y2≥1 y1+ y2≥1 y1- y2≥0 y1，y2≥0 由第1约束条件，可知对偶问题无可行解；原问题虽然有可行解，但最优解。例5 已知线性规划问题例5 已知线性规划问题min ω=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5 x1+x2+2x3+x4+3x5≥4 2x1-x2+3x3+x4+x5≥3 xj≥0，j=1，2，…，5 已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5；z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解 。解：先写出它的对偶问题解：先写出它的对偶问题max z=4y1+3y2 y1+2y2≤2 ① y1-y2≤3 ② 2y1+3y2≤5 ③ y1+y2≤2 ④ 3y1+y2≤3 ⑤ y1，y2≥0将y1* =4/5,y2* =3/5的值代入约束条件，将y1* =4/5,y2* =3/5的值代入约束条件，得②=1/5<3，③=17/5<5，④=7/5<2 它们为严格不等式； 由互补松弛性得 x2*=x3*=x4*=0。 因y1，y2>0；原问题的两个约束条件应取等式，故有 x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3 求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；ω*=5 以上是理解对偶单纯形法的理论基础以上是理解对偶单纯形法的理论基础