高中必修四数学知识点总结

第一部分：三角函数 1．任意角和弧度制 ⑴ 1弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为 1弧度角 ⑵ 弧度数公式： R l =a ⑶ 角度制与弧度制的互化： p 弧度 180= o，1 180 p =o 弧度，1弧度 180( ) p = o '57 18» o . ⑷ 弧长公式： | |l Ra= ； 扇形面积公式： 2 1 1| | 2 2 S R Rla= = . 2．三角函数定义： ⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点 P(x,y)， 那么 y叫作α的正弦，记作 sinα； x叫作α的余弦，记作 cosα； y x 叫作α的正切，记作 tanα. ⑵ 角a 中边上任意一点P为 ( , )x y ，设 | |OP r= ，则： sin ,cos ,y x r r a a= = tan y x a = . 三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦. 3．三角函数线： 正弦线：MP； 余弦线：OM； 正切线： AT. 4．诱导公式： 角 函数 2kp a+ p a+ a- p a- 2 p a- 2 p a+ T M AO P x y 正弦 sina sina- sina- sina cosa cosa 余弦 cosa cosa- cosa cosa- sina sina- 正切 tana tana tana- tana- / / 六组诱导公式统一为“ ( ) 2 k k Zp a± Î ”， 记忆 口诀 小学生乘法口诀表下载关于乘法口诀表的题目党史口诀下载一建市政口诀下载健身气功八段锦功法口诀下载 一：奇变偶不变，符号看象限. 记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系： 2 2sin cos 1a a+ = （平方和关系）； sintan cos a a a = （商数关系）. 6．两角和与差的正弦、余弦、正切： ① sin( ) sin cos cos sina b a b a b± = ± ； ② cos( ) cos cos sin sina b a b a b± = m ； ③ tan tantan( ) 1 tan tan a b a b a b ± ± = m . 两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用： 7．辅助角公式： 2 2 2 2 2 2 sin cos ( sin cos )a by a x b x a b x x a b a b = + = + + + + = 2 2 sin( )a b x j+ + . 8．二倍角公式： ① sin 2 2sin cosa a a= ； ② 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= - = - = - ； ③ 2 2tantan 2 1 tan a a a = - . 变形：升幂公式： 2 cos2cos1 2 aa =+ ; 2 sin2cos1 2 aa =- 2) 2 sin 2 (cossin1 aaa ±=± 降幂公式： 2 1 cos2sin 2 a a - = ； 2 1 cos 2cos 2 a a + = . a aa sin1) 2 sin 2 (cos 2 ±=± 9.物理意义： 物理简谐运动 sin( ) , [0, )y A x xw j= + Î +¥ ，其中 0, 0A w> > . 振幅为 A， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示物体离开平衡位置的最大距离； 周期为 2T p w = ，表示物体往返运动一次所需的时间； 频率为 1 2 f T w p = = ，表示物体在单位时间内往返运动的次数； xw j+ 为相位； j为初相. 10．三角函数图象与性质： 函 数 siny x= cosy x= tany x= 图象 作图：五点法 作图：五点法 作图：三点二线 定义域 （－∞，＋∞） （－∞，＋∞） { | , } 2 x x k k Zpp¹ + Î 值域 ［－1，1］ ［－1，1］ （－∞，＋∞） 极值 当x＝2kπ＋2 p ,ymax=1； 当 x＝2kπ,ymax＝1； 无 当 x＝2 kπ＋ 3 2 p ymin=-1 当 x＝2kπ＋π,ymin＝－1 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 T 2π 2π π 单调性 [2 ,2 ] 2 2 k kp pp p- + 递增 3[2 ,2 ] 2 2 k kp pp p+ + 递减 [2 ,2 ]k kp p p- 递增 [2 ,2 ]k kp p p+ 递减 ( , ) 2 2 k kp pp p- + 递增 （注：表中 k均为整数） 11. 正弦型函数 sin( ) ( 0, 0)y A x Aw j w= + > > 的性质及研究思路： ① 最小正周期 2T p w = ，值域为[ , ]A A- . ② 五点法图：把“ xw j+ ”看成一个整体，取 30, , , , 2 2 2 x p pw j p p+ = 时的五个 自变量值，相应的函数值为0, ,0, ,0A A- ，描出五个关键点，得到 一个周期内的图象. ③ 三角函数图象变换路线： siny x= j¾¾¾¾¾®左移 个单位 sin( )y x j= + w¾¾¾¾¾® 1 横坐标变为 倍 sin( )y xw j= + A¾¾¾¾¾®纵坐标变为 倍 sin( )y A xw j= + . 或： siny x= w¾¾¾¾¾® 1 横坐标变为 倍 siny xw= j w¾¾¾¾¾® 左移 个单位 sin ( )y x jw w = + A¾¾¾¾¾®纵坐标变为 倍 sin( )y A xw j= + . ④ 单调性： sin( ) ( 0, 0)y A x Aw j w= + > > 的增区间， 把“ xw j+ ”代入到 siny x= 增区间[ 2 , 2 ] ( ) 2 2 k k k Zp pp p- + + Î ， 即求解 2 2 ( ) 2 2 k x k k Zp pp w j p- + £ + £ + Î . ⑤ 整体思想： 把“ xw j+ ”看成一个整体，代入 siny x= 与 tany x= 的性质中进行求解. 这种整体思 想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值. 第二部分 平面向量 1. 向量与数量： 在数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，反之，把只有大小，没有方向的量 称为数量. 向量常用有向线段来表示，记为 a r 或 AB uuur （起点 A，终点 B）. 向量的大小叫做向 量的长度（或模），记为 | |a r 或 | |AB uuur . 规定长度为 0的向量叫做零向量，记为0 r ；长度等于 1 个单位的向量称为单位向量. 2. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作 //a b r r ，并规定零向量平行于任意一个向 量. 平行向量都可以移到同一直线上，因而也叫共线向量. 方向相同且长度相等的向量称为相 等向量，记作 a b= r r . 与向量 a r 长度相等而方向相反的向量，称为 a r 的相反向量，记为 a- r ， 规定零向量的相反向量仍是零向量. 3. 向量加减法： 向量加减法运算遵循三角形法则与平行四边形法则. 如图所示，已知非零向量 ,a b r r ，在平面内任取一点 O， 作 ,OA a AB b= = uuur r uuur r ，则向量OB a b= + uuur r r . 若作 ,OA a OC b= = uuur r uuur r ，则向量CA a b= - uuur r r . 向量的加减法满足：交换律 a b a b+ = - r r r r ；结合律 ( ) ( )a b c a b c+ + = + + r r r r r r . 向量不等式：对于任意两个向量 ,a b r r ，有 || | | || | | | | | |a b a b a b- £ ± £ + r r r r r r . 向量加法多边形法则：向量首尾相接，结果首尾连. 4. 向量数乘运算： 实数l与向量 a r 的乘积仍然是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作 al r ， 并规定：① | | | || |a al l= r r ； ②当 0l > 时， al r 的方向与 a r 的方向相同； 当 0l < 时， al r 的方向与 a r 的方向相反； 当 0l = 时， 0al = r r . 数乘运算满足下列运算律： 分配律 ( )u a a ual l+ = + r r r 、 ( )a b a bl l l+ = + r r r r ； 结合律 ( ) ( )a al m lm= r r . 对于任意向量 ,a b r r ，以及任意实数 1 2, ,u ul ，恒有 1 2 1 2( )u a u b u a u bl l l± = ± r r r r . 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 5. 平面向量基本定理： 如果 1 2,e e ur uur 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量 a r ，有且只有 一对实数 1 2,l l ，使 1 1 2 2a e el l= + r ur uur . 把不共线的向量 1 2,e e ur uur 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底. 向量夹角： 对两个非零向量 ,a b r r ，在平面内任取一点 O，作 ,OA a OB b= = uuur r uuur r ，则 AOBq = Ð 叫做向 量 a r 与b r 夹角. 当 a r 与b r 夹角是 90°时， a r 与b r 垂直，记作 a b^ r r . 正交分解： 依据平面向量的基本定理，对平面上的任意向量 a r ，均可分解为不共线的两个向量 1 1al uur 与 2 2al uur ，使 1 1 2 2a a al l= + r uur uur . 若把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 坐标表示： 在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 ,i j r r 作为基底，则对 于平面内的一个向量 a r ，有且只有一对实数 x、y，使得 a xi y j= + r r r . 即平面内的任意向量 a r 都 可由 x、y唯一确定，把有序数对（x,y）叫做向量 a r 的坐标，记作 ( , )a x y= r ，式子 ( , )a x y= r 叫做向量的坐标表示. 6. 平面向量的数量积运算： qcosbaba =× ，其中q 是 a r 与b r 的夹角，| | cosa q r 叫做向量 a r 在b r 方向上的投影. ba × 的几何意义：数量 ba × 等于 a r 的长度 | |a r 与b r 在 a r 的方向上的投影 | | cosb q r 的乘积. 把 aa × 记作 2 a r ，有性质 2 2| |a a= r r ，从而 2 | |a a= r r . 数量积运算满足下列运算律： 交换律： abba ×=× ； 数乘结合律： )()()( bababa lll ×=×=× ； 分配律： cabacba ×+×=+× )( . 力作功： 一个物体在力F ur 的作用下产生位移 s r ，那么力F ur 所作的功 | || | cosW F s q= ur r ， 其中q 是 F ur 与 s r 的夹角，从而 sFW ×= . 7. 平面向量的坐标运算：设 1 1( , )a x y= r ， 2 2( , )b x y= r ，则 加减法： 1 2 1 2( , )a b x x y y+ = + + r r ， 1 2 1 2( , )a b x x y y- = - - r r ； 数乘： 1 1( , )a x yl l l= r ； 向量数量积： 2121 yyxxba +=× ； 模： 2 21 1| |a x y= + r ； 距离： 2 22 1 2 1| | | | ( ) ( )ABd AB b a x x y y= = - = - + - uuur r r ； 夹角： 2 2 2 2 2 1 2 1 2121,cos yxyx yyxx ba baba ++ + = × >=< . 8. 向量共线： 设 1 1( , )a x y= r ， 2 2( , )b x y= r ，其中 0b ¹ r r ，若 ,a b r r 共线，当且仅当存在实数l，使 a bl= r r ， 即 //a b a blÛ = r r r r 1 2 2 1 0x y x yÛ - = . 由此可证明平行问题、三点共线等. 9. 向量垂直： 对于平面内任意两个非零向量 ,a b r r ， 0=×Û^ baba . 设 1 1( , )a x y= r ， 2 2( , )b x y= r ，则 1 2 1 2 0a b x x y y^ Û + = r r . 10. 线段定比分点的坐标： 已知点 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ，点 ( , )P x y 是线段 1 2PP 上的一个分点，且 1 2 PP PP l= ， 则有 1 2PP PPl= uuur uuur ，即 1 1 2 2( , ) ( , )x x y y x x y yl- - = - - ， 由此得到 1 2 1 2, 1 1 x x y yx yl l l l + + = = + + . 若 1l = ，得到线段中点坐标公式 1 2 1 2, 2 2 x x y yx y+ += = . 11.向量知识与平面几何的联系： 平面几何问题 向 量 方 法 求线段 AB的长度 转化为求向量 AB uuur 的长度： 2 22 1 2 1( ) ( )AB x x y y= - + - uuur . 求两条线段的夹角 由数量积求夹角 ba ba × =qcos 或 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2( )( ) x y x y x y x y + + + . 证明两条直线垂直 转化为两个非零向量 ,a b r r 的数量积为 0，即 0=× ba . 证明两条直线平行 转化为证明两个非零向量 ,a b r r 共线，即 a bl= r r 12. 向量法解决平面几何问题三步曲： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等； （3）把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.