黄冈中学高考数学典型例题13---数列的通项与求和

黄冈中学 高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 详解 数列的通项与求和 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 敬请搜索“黄冈中学高考数学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ” 结合起来看 效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法. ●难点磁场 (★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. (1)写出数列{an}的前3项. (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程) (3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn－n). ●案例探究 ［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)， (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 EMBED Equation.3 . 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口. 错解分析：本题两问环环相扣，(1) 问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2) 问中对条件的正确认识和转化是关键. 技巧与方法：本题(1) 问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2) 问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣. 解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2， ∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d， ∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2， ∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2， ∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1 (2)令 =dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*), ∴dn=an+1－an=2, ∴ =2,即cn=2·bn=8·(－2)n－1；∴Sn= ［1－(－2)n］. ∴ ［例2］设An为数列{an}的前n项和，An= (an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3; (1)求数列{an}的通项公式； (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1; (3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br－Dn，求 EMBED Equation.3 . 命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力. 知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点. 错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清. 技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示Br，问题便可迎刃而解. 解：(1)由An= (an－1)，可知An+1= (an+1－1)， ∴an+1－an= (an+1－an)，即 =3，而a1=A1= (a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n. (2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C ·42n－1(－1)+…+C ·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3， ∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4－1)2n=42n+C ·42n－1·(－1)+…+C ·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1)， ∴32n {bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1. (3)由32n+1=4·r+3，可知r= ， ∴Br= ， ●锦囊妙计 1. 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性. 2. 数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an= 3.求通项常用方法 ①作新数列法.作等差数列与等比数列. ②累差叠加法.最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1. ③归纳、猜想法. 4.数列前n项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n= n(n+1) 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2 ②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. ③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项： ④错项相消法 ⑤并项求和法 数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法. ●歼灭难点训练 一、填空题 1.(★★★★★)设zn=( )n，(n∈N*)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜，则 Sn=_________. 2.(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________. 二、解答题 3.(★★★★)数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an·an+1－ nan+12=0，又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1. (1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn； (2)求数列{bn}的前n项和Tn； (3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由. 4.(★★★★)数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn; (3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞ 成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 5.(★★★★★)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)－man.对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1. (1)求证：{an}是等比数列； (2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足：b1= a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).试问当m为何值时， 成立？ 6.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论. 7.(★★★★★)设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…). (1)求证：数列{an}是等比数列； (2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f( )(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn； (3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1. 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 难点磁场 解析：(1)由题意，当n=1时，有 ，S1=a1， ∴ ，解得a1=2.当n=2时，有 ，S2=a1+a2，将a1=2代入，整理得(a2－2)2=16，由a2＞0，解得a2=6.当n=3时，有 ，S3=a1+a2+a3，将a1=2，a2=6代入，整理得(a3－2)2=64，由a3＞0，解得a3=10.故该数列的前3项为2，6，10. (2）解法一：由(1）猜想数列{an}.有通项公式an=4n－2.下面用数学归纳法证明{an}的通项公式是an=4n－2，(n∈N*）. ①当n=1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立. ②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有 ，将ak=4k－2.代入上式，解得2k= ，得Sk=2k2，由题意，有 ，Sk+1=Sk+ak+1，将Sk=2k2代入得( )2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2，即当n=k+1时，上述结论成立.根据①②，上述结论对所有的自然数n∈N*成立. 解法二：由题意知 ，(n∈N*).整理得，Sn= (an+2)2,由此得Sn+1= (an+1+2)2，∴an+1=Sn+1－Sn= ［(an+1+2)2－(an+2)2］.整理得(an+1+an）(an+1－an－4)=0，由题意知an+1+an≠0，∴an+1－an=4，即数列{an}为等差数列，其中a1=2，公差d=4.∴an=a1+(n－1)d=2+4(n－1)，即通项公式为an=4n－2. 解法三：由已知得 ,(n∈N*)①，所以有 ②，由②式得 ，整理得Sn+1－2 · +2－Sn=0，解得 ，由于数列{an}为正项数列，而 ，因而 ，即{Sn}是以 为首项，以 为公差的等差数列.所以 = +(n－1) = n,Sn=2n2， 故an= 即an=4n－2(n∈N*). (3)令cn=bn－1，则cn= 歼灭难点训练 一、 答案：1+ 2.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an= ，正三角形的内切圆构成等比数列{rn}，可得rn= a, ∴这些圆的周长之和c= 2π(r1+r2+…+rn)= a2， 面积之和S= π(n2+r22+…+rn2)= a2 答案：周长之和 πa，面积之和 a2 二、3.解：(1）可解得 ，从而an=2n，有Sn=n2+n， (2)Tn=2n+n－1. (3)Tn－Sn=2n－n2－1，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2＜S2；n=3时，T3＜S3;n=4时，T4＜S4；n=5时，T5＞S5；n=6时T6＞S6.猜想当n≥5时，Tn＞Sn，即2n＞n2+1 可用数学归纳法证明(略）. 4.解：(1）由an+2=2an+1－an an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列， d= =－2,∴an=10－2n. (2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，故Sn= (3)bn= ；要使Tn＞ 总成立，需 ＜T1= 成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7. 5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－man+1，即(m+1)an+1=man对任意正整数n都成立. ∵m为常数，且m＜－1 ∴ ，即{ }为等比数列. (2)当n=1时，a1=m+1－ma1，∴a1=1，从而b1= . 由(1)知q=f(m)= ，∴bn=f(bn－1)= (n∈N*,且n≥2) ∴ ，即 ，∴{ }为等差数列.∴ =3+(n－1)=n+2， (n∈N*). 6.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得： 解得b1=1,d=3, ∴bn=3n－2. (2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ ) =loga［(1+1)(1+ )…(1+ )］， logabn+1=loga . 因此要比较Sn与 logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+ )…(1+ )与 的大小， 取n=1时，有(1+1)＞ 取n=2时，有(1+1)(1+ )＞ … 由此推测(1+1)(1+ )…(1+ )＞ ① 若①式成立，则由对数函数性质可判定： 当a＞1时，Sn＞ logabn+1， ② 当0＜a＜1时，Sn＜ logabn+1， ③ 下面用数学归纳法证明①式. (ⅰ)当n=1时，已验证①式成立. (ⅱ)假设当n=k时(k≥1），①式成立，即： .那么当n=k+1时， 这就是说①式当n=k+1时也成立. 由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n都成立. 由此证得： 当a＞1时，Sn＞ logabn+1；当0＜a＜1时，Sn＜ logabn+1. 7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t. ∴a2= . 又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， ① 3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ② ①－②得3tan－(2t+3)an－1=0. ∴ ,n=2,3,4…,所以{an}是一个首项为1公比为 的等比数列； (2)由f(t)= = ,得bn=f( )= +bn－1. 可见{bn}是一个首项为1，公差为 的等差数列. 于是bn=1+ (n－1)= ; (3)由bn= ,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和 ，公差均为 的等差数列，于是b2n= , ∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1) =－ (b2+b4+…+b2n)=－ · n( + )=－ (2n2+3n) * 第 4 页 * 共 11 页 * _1234567953.unknown _1234567985.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568017.unknown _1234568021.unknown _1234568025.unknown _1234568029.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568033.unknown _1234568030.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568026.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown