复旦大学高等数学极限与连续练习题

极限与连续练习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 §1 函数 1.确定下列初等函数的定义域： (1) 2 1 arctan)(   x xf ； (2) 3cos3sin2)( 2  xxxf ； (3) 1 )2ln( )( 2    x x xf ； (4) 24 tan )( x x xf   。 2.作出下列函数的图像： （1）  xxxf sin)(  ； (2) |1|1)( 2  xxf ； （3）        .21, ,10,2 )( 2 2 xx xxx xf 3.判断下列函数的奇偶性： （1） 2 2 1 sin)( x x xf   ； （2） xxxf tansecln)(  ； （3） 4 2arctan)(   xxf ； （4） xxxf sin 2 arccos)(         。 4. 设函数 f 满足： )( fD 关于原点对称，证明： f 可表示成一个奇函数与一个偶 函数之和。 5．设函数 f 定义在 ),(  上。若有常数 0c ，使得 )()( xfcxf  ， ),( x 。证明：函数 f 是一个周期函数。 6．下列函数中，哪些是周期函数？如果是周期函数，写出它们的最小正周期： （1） xxxf tan)(  ； （2） xxf 2sin)(  ； （3） x x xf cos )(  ； （4） )13cot()(  xxf 。 7．判断下列函数在给定区间上是否有界： （1） 21 )( x x xf   ， Rx ； （2） xxxf tan)( 2 ，        4 ,0  x ； （3） x x xf   1 )( ， )1,0(x ； （4） xxxf sin100ln)(  ， ),1( x 。 8．设       ,0,2 ,0,0 )( x x xf x       .0, ,0, )( 2 2 xx xx xg 求 gf  ， fg  ， ff  ， gg  。 9．下列函数分别是由哪几个较简单的函数复合而成： （1） xexf 21)(  ； （2） )arctan1ln()( 2 xxf  ； （3） )1(cos)( 3 xxf  。 10．求下列函数的反函数，并指出反函数的定义域： （1） 2 tan)( x xf  ，  3 x ； （2） x x xf 21 21 )(    ； （3） 211)( xxf  ， 01  x ； （4）        . 2 3 ,sin ,0,)( )( 2   xx xx xf 11．设 21 )( x x xf   ，记 )()(1 xfxf  ， ))(()(1 xffxf nn  （ ,2,1n ），证明 21 )( nx x xf n   （ ,2,1n ）。 §2 数列的极限 1． 用定义证明： （1） n lim 2 1 12 2 2 2    n nn ； （2） n lim 1)2( 2  nnn 。 2．求下列极限： （1） n lim 2 2 2 2   n nn ； （2） n lim nn n 2 45 3 2   ； （3） n lim 2 23 3 4   n nn ； （4） n lim )1ln( arctan n n ； （5） n lim nn nn 2 2 222 221   ； （6） n lim n nn 21 ； （7） n lim        )1( 2 1 2211 1 222 nnnn n  ； （8） n lim n n        1 1 。 3． 求极限 n lim            nnn n nnnn 222 2 2 1 1  。 4． 利用“单调有界数列必收敛”，证明下列数列{ nx }收敛，并求出它们的极限： （1） 2 11 2,01 nnn xxxx   ， ,2,1n ； （2） nn xxx   2,2 11 ， ,2,1n ； （3） n n x xx 1 1,1 11   ， ,2,1n 。 5． 设 00 a ， 1na =         3 81 3 4 1 n n a a （ ,2,1n ），证明数列 }{ na 收敛，并求出 n lim na 。 6． 设 ,2,1,23,2,1 1221   nxxxxx nnn ，求极限 n n n x x 1lim   。 7． 设 ,2,1, 1 1 ,1 11     n x xx n n 。证明数列{ nx }收敛，并求出其极限。 8． 利用不等式 nn   1)1( （ 1 ， Nn ），证明数列                n n 1 1 严格单 调增加，                1 1 1 n n 严格单调减少，从而证明这两个数列都收敛且极限相等。 9． 利用不等式 xx x x   )1ln( 1 （ 0x ），证明数列{ na }收敛，其中 n n an ln 1 2 1 1   。 10．利用 Cauchy 收敛准则，讨论以下数列{ nx }的敛散性： （1） ! 2 !2 2 1 2 2 n x n n   ； （2） )1( sin 32 2sin 21 1sin       nn n xn  ； （3） 12 1 5 1 3 1 1   n xn  。 §3 函数的极限 1. 用定义证明下列极限： （1） 2 lim x 3 1 2 3 2 2    x xx ； （2） 0 lim x 0tan x 。 2. 设 ax lim f(x) = 0A ，用定义证明 ax lim Axf 1 )( 1  。 3. 求下列极限： （1） 2 lim x 42 62 2 2   xx x ； （2） 3 lim x 32 9 2 2   xx x ； （3） 0 lim x x xx sin2sin  ； （4） x lim )( sin cos1 x x x    ； （5） 0 lim x x x arctan 2arcsin ； （6） 0 lim x xx xx 2sin 2coscos  ； （7） 0 lim h h xhx tan)tan(  ； （8） x lim x x 3 2 1        ； （9） x lim 23 1 x x        ； （10） x lim x x x         34 35 ； （11） 0 lim x x x 1)1( 2 3  ； （12） x lim  xxxx  22 3 ； （13） x lim  xxxx  22 3 ； （14） x x x 21 2 lim  。 4. 讨论函数             )3,2(,sin ],2,1(,cos ],1,0(, 11 )( x x x xxx x x x xf   在 x = 0，1，2，3 这四个点的单侧极限。 5. 讨论  xxf sin)(  在  , 2 ,0x 这三个点处的单侧极限。 6. 求极限 n lim )1sin( 2 n 。 7. 求极限 x lim )121(3  xxxx 。 §4 连续函数 1．用定义证明 xy arctan 为连续函数。 2．确定下列函数的间断点及其类型： （1） )(xf )1( 2 xx ； （2） )(xf 1 1 2   x x ； （3） )(xf x x tan ； （4） )(xf xx x 1 cos 1 sin  ； （5） ][][)( xxxf  ； （6） )(xf xx 1 )21(  。 3．求下列极限： （1） 2 lim x 2 37   x x ； （2） x lim )11( 22  xxx ； （3） x lim xx xx cos sin   ； （4） 3 lim x 3 3 3   x xx ； （5） 0 lim x xx sin 2 )]1ln(1[  ； （6） x lim          1 11 2 xx aax )0( a ； （7） x lim         1 1 arcsin 1 arcsin2 xx x ； （8） 1 lim x x x x 1 ； （9） 0 lim x x xx 13141 43  ； （10） n n n                     2ln 1 2ln lim 。 4．当 0x 时，用 x 的幂函数表示下列函数的等价无穷小量： （1） xx 32 sin4 ； （2） xe x cos ； （3） 1)1( )1ln(  xx ； （4） 4 22 4141 xx  。 5. 求曲线 2 1    x x y 的渐近线。 6. 求曲线 222  xxy 的渐近线。 7. 求曲线 62 3    xx xx y 的渐近线。 8. 设 f 是 ),0(  上的连续函数，且 )()( 2xfxf  ， x ),0(  ，证明 f x( ) 在 ),0(  上为常数。 9. 设 f 是 ]1,0[ 上的非负连续函数，且 0)1()0(  ff ，证明：对于 )1,0(a ，存 在 ]1,0[ ，使得 )()(  faf  。 10. 设 f 是 ]1,0[ 上的连续函数，且 )1()0( ff  ，证明：对于每个正整数n，存在 ]1,0[ ，使得 )( 1  f n f        。