第二章 习题解答

习题 2-1 1.用导数定义求下列函数的导数 (1) 1 1 y x = + ； (2) cosy x= . 解 (1) (2) 0 0 22( ) 2 2( ) lim lim x x x x xsin sincos x x cos xcos x x xΔ → Δ → + Δ Δ− ⋅+ Δ −′ = =Δ Δ 0 0 2 2lim lim 2 2 x x xsinx x- sin sinxΔ → Δ → x Δ + Δ= ⋅ Δ = − 0 2．问 ( ) ( )0f x f x ′′ = ⎡ ⎤⎣ ⎦ 正确吗？ 解 不正确；右边是一个常数的导数，肯定等于零，而左边不是. 3．设 在点( )y f x= 0x 处不可导，则曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )0 0 0,P x f x 处是否一定不 存在切线？ 解 不一定，若 ，则曲线在( )0f x′ = ∞ ( )( )0 0,x f x 有垂直于 x轴的切线.如 y x= ， 不可导，但是存在切线 . 0 0x = 0x = 4．求曲线 上，其切线与直线3y x x= + 4y x= 平行的点. 5．已知 ( )3f ′ 2= ，则 ( ) ( ) 0 3 3 lim 2h f h f h→ − − = . 29 解 ( ) ( ) 0 3 3 lim 2h f h f h→ − − = ( ) ( ) 0 3 31 lim 1 2 ( )h f h f h→ − −− =− − . 6．讨论下列函数在 处的连续性与可导性: 0x = (1) y x x= ； (2) 2, 0, 3 1, 0 x x y x x . + >⎧= ⎨ − ≤⎩ ； (3) ( )2 1sin , 0, ln 1 , 0. x x xy x x ⎧ <⎪= ⎨⎪ + ≥⎩ 7．设 ( ) ( ) ( )f x x a xϕ= − ，其中 ( )xϕ 在 x a= 处连续，求 ( )f a′ . 解 ( ) ( )( ) lim x a f x f af a x a→ −′ = − = ( ) ( ) ( ) ( )x a x a a x a alim x a ϕ ϕ → − ⋅ + − ⋅ − lim ( ) ( )x a x aϕ ϕ→= = ． 所以 ( )f a′ ( )aϕ= ． 习题 2-2 1．求下列函数的导数 30 (1) 3 3 2 1 12 3 y x xx = − − ； (2) 3 2arccos lnxy x= − − e； (3) ； (4)ln tana xy x a x x= − + − y x x= x ； (5) 1 cos sin xy x += ； (6) 1 ln 1 ln xy x −= + ； (7) ； (8)sin lny x x x= 10 1 ln x y x −= . 解 (1) (2) =(3 2arccos ln e)xy x′ ′= − − 2 13 ln 3 2 1 x x + − ； (3) (4) 7 1 8 87 8 y x x x x x −′′ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (5) (6) 2 2 1 1(1 ln ) (1 ln )1 ln 2 1 ln (1 ln ) (1 ln ) x xx x xy x x x + − −′−⎛ ⎞′ = = = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ x+ ； (7) (8) 2 110 ln10ln (10 1)10 1 ln ln x x x x xy x x − −′⎛ ⎞−′ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ = ( )210 ln ln10 1 1ln x x x x x − + . 2．求下列各复合函数的导数 (1) ； (2)( 1023 2 5y x x= − + ) 2 1 1 y x = + ； 31 (3) sin 24 xy = ； (4) 2 212siny x= ； (5) ； (6)ln lny = x 2 2sec cscx ay a x = + ； 解(1) (2) 1 3 2 22 2 2 1 1( 1) ( 1) 2 21 y x x x⋅ x − −′ ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = = + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( )= 32 1 x x − + ; (3) (4) 2 2 2 2 3 11 1 12sin 4 2sin cosy x x x x ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⋅ = 3 2 4 2sin x x − ; (5) (6) 2 2sec cscx ay a x ′⎛ ⎞′ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ = 2 12sec sec tan 2csc csc cotx x x a a a a a a a a x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞− ⎟⎠ = 2 22 2 2see tan csc cotx x a a a a a x x ⋅ + ⋅ a x . 3． 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ： (1)可导的偶函数的导数是奇函数； (2)可导的奇函数的导数是偶函数； (3)可导的周期函数的导数是具有相同周期的周期函数. 32 4．设 ( )f x 可导，试求下列函数的导数 (1) ( )2y f x= ； (2) ( )2e cosxy f x−= + ； 33 (3) ( ) ( )2sin cosy f x f x= + 2 ； (4) ( ) ( )ln lny f x f x= ⋅ . 解 (1) (2) ( )( ) ( ) ( )2 2 2e cos e cos e cosx x xy f x f x x− − −′ ′′ ′= + = + ⋅ + ) = ( ) (2 22e sin 2e cosx xx f x− −′− + + . (3) (4) ( ) ( )( )ln lny f x f x ′′ = ⋅ = ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ln ln ln f x f x f x f x x f x ′′ + . 5．设 ( ) ( )2f x x x x= − ，求 ( )f x′ . 34 6．设 ( ) 2 1 , 0, 3 2, 0 1, ln , 1. x x f x x x x x x ⎧ <⎪⎪⎪= − + − ≤ <⎨⎪ ≥⎪⎪⎩ ，求 ( )f x′ . 解 7．求由下列方程所确定的隐函数 ( )y y x= 的导数 ( )y x′ (1) ； (2)e sin e cos 0−−x yy x = ( )ln 1y xy= + ； (3) 2x y a+ = . 解 （1） （2） 35 （3） 方程两边同时对 x求导有 ( ) ( )2x y a′ ′+ = ， 即 1 1 0 2 2 y x y ′+ = ，所以 xyy x ′ = − . 8．已知下列参数方程，求 d d y x . (1) ； (2)2e e− ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ t t x y ( )2ln 1 arctan x t y t t ⎧ = +⎪⎨ = −⎪⎩ ； (3) ( ) ( ) sin 1 cos x a t t y a t = −⎧⎪⎨ = −⎪⎩ ； (4) 2 arctan 2 e =⎧⎨ 5− + =⎩ t x t y ty . 解(1) （2）由 ( )2ln 1 arctan x t y t t ⎧ = +⎪⎨ = −⎪⎩ 有 2 2 2 2 22 2 d 2 d dd 1 d 1 d 2d 2d 11 d 1d 1 1 x t y t y tt t t t x txy t t tt t t ⎧ =⎪⎪ + +⇒ = = =⎨⎪ = − = +⎪ + +⎩ . （3） 36 (4)由⎨ 有2 arctan 2 e 5 =⎧ − + =⎩ t x t y ty 2 2 d 1 d d 1 d d dd d dd 2 2 t x y t t y t xy e y x tt ty ⎧ =⎪ +⎪ ⇒ =⎨ −⎪ = −⎪ −⎩ = ( ) 2 2( e )(1 2 1 ty t ty − + − ) . (其中 2 t 2( , ) 2 e 5, e , 2 2t t yF y t y ty F y F ty= − + − = − = − ⇒ t 2d e dt 2 2 y y ty −= − − ) 9．求曲线 2 2 2 3 1 3 1 atx t aty t ⎧ =⎪⎪ +⎨⎪ =⎪ +⎩ ，在 2t = 处的切线方程和法线方程. 习题 2-3 1．求下列函数的二阶导数. (1) ； (2)lny x x= ( )21 arctany x= + x； 37 (3) ； (4)e− =yxy 1 cos sin x t y t =⎧⎨ =⎩ . 解(1) （2） ( )( )21 arctan 2 arctan 1y x x x x′′ = + = + ( )2 arctan 1y x x ′′′ = + = 222arctan 1 xx x + + . （3） (4)由 cos sin x t y t =⎧⎨ =⎩ 有 d dsin dd d cotdd dcos dd x yt yt t txy xt tt ⎧ = −⎪⎪ ⇒ = = −⎨⎪ =⎪⎩ . 2 3 d d( ) cscd cscdd sin d y y tty txx t t ′ ′′′ = = = = −− . 2．已知函数 y 的 阶导数1n − ( )1 ln n xy x − = ，求 y 的 阶导数. n 3．验证： 1 2e eλ λ−= +x xy c c ( 1 2, ,c c λ为常数)满足关系式 2 0y yλ′′ − = . 38 4．求下列函数的高阶导数. (1) 求e cos ,= xy x ( )4y ； (2) 求10 1 ,n n ny a x a x a−= + + +" ( )ny ； (3) 3e ,−= xy x 求 ( )ny ； (4)设 3 215 e−= + +x xy x ，求 ( )ny . 解(1) （2） ( )ny ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 10 1 0 1n n n nn n n nn na x a x a a x a x a− −= + + + = + + +" " = . 0 !a n （3） (4) 3 2 3 2 1 15 e 5 ln 5 3 2e 2x x xy x x − −′⎛ ⎞′ = + + = ⋅ − −⎜ ⎟⎝ ⎠ x ( ) ( ) 23 2 3 2 3 ( ) 3 2 1 1 25 e 5 3ln 5 2 e !5 3ln 5 ( 1) ( 2) e . 2!x x x nn x n n x n y x x ny x − − − + ′′⎛ ⎞′′ = + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇒ = + − + − x 39 5．令 t = x ，将方程 ( )2 2d d4 2 1d d e xy yx xx x+ − = 化为以 为自变量的方程. t 解 6.试从 d 1 d x y y = ′ 导出： (1) 2 2 3 d d ( ) x y y y ′′= − ′ ； (2) 3 2 3 5 d 3( ) d ( ) x y y y y y ′′ ′ ′′′−= ′ . 40 （2） 习题 2-4 1．求下列函数的微分： (1) arcsiny = x ； (2) 1 cose −= xy ； (3) 2 cos 1 xy x = − ； (4) 2 2arctan 1 xy x = − ； (5) ( )2sin ln 3 1y x= ⎡⎣ + ⎤⎦； (6) 3ln 1y 2x= + ； (7) tan(tan )x xy x x= + ； (8) 2xy a= . 解 41 （5） （6） （7） （8） 2 2 2 2 2 2 2dy= d d a a a a yxy a y y x x x x x x ′⎛ ⎞′= ⇒ = ⇒ = = − ⇒ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ x . 2．设 .计算在点3 2y x x= + 1x = 处而 xΔ 分别等于 0.1,0.2 时函数的增量 与函数 的微分 . yΔ dy 解 42 3．求下列近似值： (1) ； (2) ； cos 61D ln1.1 (3) ； (4)arctan1.02 3 996 . 解(1) （2）设 ，则lny = x 1dy dx x = ， 所以 0 1ln1.1 ln1 0.1 0.1( 1, 0.1) 1 x x≈ + ⋅ = = Δ = . （3） (4)设 3y = x ，则 3 2 1d 3 dy x x = ， 所以 3 3 03 2 1996 1000 4 9.9867( 1000, 4) 3 1000 x x≈ + ⋅ = = Δ = . 4．水管的正截面是圆形，它的内半径为 2 厘米，管壁厚度为 0.2 厘米，管的长度为 5 43 米，设制造水管所用材料的密度为 5 克/厘米3，问制造水管所用材料大约为多少克？ 5．当 x 较小时，证明: 1 1 1 x x ≈ −+ . 证 6．证明： e e 0 2 −+= x x y 在 >x 时满足方程： 2d 1y y= − dx . 证 2 2d e e e e 1 1 d 2 2 x x x xy y x − −′⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −= = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − . 习题 2-5 1.已知某商品的成本函数和收益函数各为 1( ) 1 1 C x x x = + − + 和 ( ) 2R x x= ， x为销售量，求该产品的边际成本、边际收益和边际利润. 2.若商品的需求函数 100 2Q p p为价格). = − ( 44 讨论其弹性变化. 解 根据需求弹性的定义： pQ Q η ′= − ⋅ ， 即 22 0 100 2 100 2 p p p p p η = ⋅ = > ⇒ ∈− − (0,50), 2 200 0 (100 2 )p η ′⎛ ⎞′ = > ⇒⎜ ⎟−⎝ ⎠ η在 递增， (0,50) 即 p越大，每增加一个单位价格需求量减少得越多. 3. 设某商品的销售额 R与 p价格之间的函数关系为 ( ) (88 30 )R R p p p= = − . 试求当价格 元与 1.50 元水平时，销售额函数的弹性，并说明其经济意义. 1.00p = 综合测 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 二 (时间 120 分钟,满分 100 分) 一．选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 已知 2 1( )g x x = ，且复合函数 ( ( ))f g x 对 x的导数为 1 2x − ，那么 1( ) 2 f ′ =_______. (A)1； (B) 2 4 − ； (C) 1 2 ； (D)2. 解 令 ，则( )t g x= 1x t = ，且 3( ( )) ( ) ( ) ( ) 1( 2) 2 df g x df t df t dt df t x dx dx dt dx dt x −= = ⋅ = ⋅ − × = − ， 45 所以 2 3( ) 1 1 2 ( 2) 4 4 df t xx dt x t = − × = =× − ， 所以 1 1 2 2 1 ( ) 1( ) . 2 4t t df tf dt t= = ′ = = 1 2 = 选 C。 2.设 ( ) sinf x x= ，则 ( )( )( f f x )′ = . (A) ( )cos sin cosx x； (B) ( )sin sin cosx x； (C) ( )cos cos sinx x； (D) ( )sin cos sinx x . 3．设 ，则( )ln 1 2y x= − ( )10y . (A) ( )10 9! 1 2x− ； (B) ( )10 9! 1 2x − − ； (C) ( ) 9 10 10!2 1 2x− ； (D) ( ) 10 10 9!2 1 2x − − . 4．设 ( )f x 可导且 ( )0 12f x′ = ，则 0xΔ → 时， ( )f x 在 0x 处的微分 与dy xΔ 比较 是 的无穷小. (A)等价； (B)同阶； (C)低阶； (D)高阶. 46 5．设 ( )f x 在点 0x 可导， 为常数，则,a b ( ) ( )0 00limx f x a x f x b xxΔ → + Δ − + Δ =Δ . (A) ； (B)( )0abf x′ ( ) ( )0a b f x′+ ； (C) ； (D)( ) ( 0a b f x′− ) ( )0a f xb ′ . 二．填空题(每小题 3 分，共 15 分) 1.已知 2 32 0 ( e ) , x x y x y − =′= + =则 _____________________. 2.设函数 由方程( )y y x= 2xy x y= + 所确定，则 0 d x y = = ________. 3.曲线 3 3 cos sin x t y t ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ 上对应于 π 6 t = 点处的法线方程为______________. 47 4．设函数 ( ) ( 1)( 2) ( 100), (0)f x x x x x f ′= − − −" 则 =_____________. 5.当 =__________________时，曲线 相切. a 2 lny ax y x= =与 三．计算与综合(每小题 10 分，共 70 分) 1．设函数 ( ) 1f x x =在 处连续，且 1 ( )lim 2, (1), (1) 1x f x f f x→ ′=− 求 . 48 2．设 ，试确定 的值，使该函数在 处可导. 2 2e , 0, ( ) 1, 0. x a x f x x bx x ⎧ + <⎪= ⎨ + + ≥⎪⎩ ,a b 0x = 3.设函数 ( )( )2 d( ) arcsin , ( ) , (( ( ))), , ( ( ( ))) . d ( ) f x f x x x x f x f x x ϕϕ ϕ ϕϕ′ ′= = 求 解 4.设 ，求sin , 0,( ) , 0. x x f x x x <⎧= ⎨ ≥⎩ ( )f x ′ . 49 解 5.设 1 , 1 xy x −= + 求 ( )ny . 解 6.由方程e 确定的 是ey xy+ − = 0 y x的函数，求 0|xy =′ . 解 把方程两边分别对 x求导，得 0.ye y y xy′ ′+ + = 将 代入 e e 得0x = 0y xy+ − = 1,y = 再将 0x = ， 1,y = 代入即得 0 1| .xy e=′ = − 7.甲船以 6km/h 的速度向东行驶，乙船以 8km/h 的速度向南行驶.在中午十二点整，乙 船位于甲船之北 16km 处.问下午一点正两船相离的速度为多少？ 解 设从中午十二点正起，经过 小时，甲船与乙船的距离为 t 2 2(16 8 ) (6 ) ,s t= − + t 故速度 2 2 2(16 8 ) ( 8) 72 . 2 (16 8 ) (6 ) ds t tv dt t t − ⋅ − += = − + 50 当 时（即下午一点正）两船相离的速度为 1t = 1 128 72 2.8 20t v = − += = − (km/h). 51