中考数学--二次函数知识点归纳及相关题

二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数. 2.二次函数 的性质 （1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴. （2）函数 的图像与 的符号关系. ①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 EMBED Equation.3 . 3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线. 4.二次函数 用配 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 可化成： 的形式，其中 . 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线 中， 的作用 （1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. （2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. （3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）： ① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当 时 开口向上 当 时 开口向下 （ 轴） （0,0） （ 轴） (0, ) ( ,0) ( , ) ( ) 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式. （2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： . 12.直线与抛物线的交点 （1） 轴与抛物线 得交点为(0, ). （2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ). （3）抛物线与 轴的交点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 抛物线与 轴相交； ②有一个交点（顶点在 轴上） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 抛物线与 轴相切； ③没有交点 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 抛物线与 轴相离. （4）平行于 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根. （5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 EMBED Equation.3 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 EMBED Equation.3 与 只有一个交点；③方程组无解时 EMBED Equation.3 与 没有交点. （6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故 EMBED Equation.3 第二部分 典型习题 １.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ D ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C　） Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0 　 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　Ｄ　） 　　A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 　　C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0 ４.如图，已知 中，BC=8，BC上的高 ，D为BC上一点， ，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ Ｄ ） ５.抛物线 与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ． 6.已知二次函数 与x轴交点的横坐标为 、 （ ），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当 时，y＞0；③方程 有两个不相等的实数根 、 ；④ ， ；⑤ ，其中所有正确的结论是　①③④　（只需填写序号）． 7.已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为 . （1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线 上，试确定这条抛物线的解析式； （2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线 的解析式. 解：（1） 或 将 代入，得 .顶点坐标为 ，由题意得 ，解得 . （2） 8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为 ，且 是x的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, 相应的输出值分别为5, , ． （1）求此二次函数的解析式； （2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为正数时输入值 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为 , 则 ,即 ,解得 故所求的解析式为: . （2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值 为正数时， 输入值 的取值范围是 或 ． 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式． 解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶ 10.已知抛物线 与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得 △ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不 存在，请说明理由． 解：依题意，得点C的坐标为（0，4）． 　　 设点A、B的坐标分别为（ ，0），（ ，0）， 　 　由 ，解得　 ， ． 　　 ∴　点A、B的坐标分别为（-3，0），（ ，0）． 　　 ∴　 ， ， EMBED Equation.3 ． 　 　∴　 ， 　　　　 ， ． 　　〈ⅰ〉当 时，∠ACB＝90°． 　 　由 ， 　　 得 ． 　　 解得　 ． 　　 ∴　当 时，点B的坐标为（ ，0）， ， ， ． 　　 于是 ． 　　 ∴　当 时，△ABC为直角三角形． 　　〈ⅱ〉当 时，∠ABC＝90°． 　　由 ，得 ． 　　解得　 ． 　　当 时， ，点B（-3，0）与点A重合，不合题意． 　　〈ⅲ〉当 时，∠BAC＝90°． 　　由 ，得 ． 　　解得　 ．不合题意． 　　综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当 时，△ABC为直角三角形． 11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ ，试求m的值； （2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值. 解: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根. ∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ; 又AB＝∣x1 — x2∣＝ , ∴m2－4m＋3=0 . 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(－a，－b) . ∵M、N是抛物线上的两点, ∴ ①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 . ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N. ∴ . 这时M、N到y轴的距离均为 , 又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 , ∴2× ×（2－m）× =27 . ∴解得m=－7 . 12.已知：抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0）． 　（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； 　（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式； 　（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一： 　　（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2． 　　 ∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0）， 　　 ∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）． （2）∵ 抛物线 与x轴的一个交点为A（－1， 0）， 　　 ∴ ．∴ t＝3a．∴ ． 　　∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上， 　　∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4． 　　∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ．∴ ． 　　∴ a±1． 　　∴ 所求抛物线的解析式为 或 ． 　　（3）设点E坐标为（ ， ）.依题意， ， ， 且 ．∴ ． 　　①设点E在抛物线 上，　 ∴ ． 　　解方程组 得 EMBED Equation.3 　　∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（ ， ）． 　　设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小． 　　∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小． 　　∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0）， 　　∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 　　设过点E、B的直线的解析式为 ， 　　∴ 解得 　　∴ 直线BE的解析式为 ．∴ 把x＝－2代入上式，得 ． 　　∴ 点P坐标为（－2， ）． 　　②设点E在抛物线 上，∴ ． 　　解方程组 消去 ，得 ． 　　∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 　　综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2， ），使△APE的周长最小． 解法二： 　（1）∵ 抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0）， 　　∴ ．∴ t＝3a．∴ ． 　　令 y＝0，即 ．解得 ， ． 　　∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）． 　　 　（2）由 ，得D（0，3a）． 　　∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线 上， 　　∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4． 　　∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ．解得OD＝3． 　　∴ ．∴ a±1． 　　∴ 所求抛物线的解析式为 或 ． 　　 　（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点． 　　∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x轴的交点为F． 　　由PF∥EQ，可得 ．∴ ．∴ ． 　　∴ 点P坐标为（－2， ）． 　　以下同解法一． 13.已知二次函数的图象如图所示． 　（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标． 　（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； 　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 　（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 解：（1）设抛物线的解析式 ， 　　∴ ．∴ ．∴ ． 　　其顶点M的坐标是 ． 　 （2）设线段BM所在的直线的解析式为 ，点N的坐标为N（t，h）， 　　∴ ．解得 ， ． 　　∴ 线段BM所在的直线的解析式为 ． 　　∴ ，其中 ．∴ EMBED Equation.3 ． 　　∴ s与t间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 ． 　（3）存在符合条件的点P，且坐标是 EMBED Equation.3 ， ． 　　设点P的坐标为P ，则 ． ， ． 　　分以下几种情况讨论： 　　i）若∠PAC＝90°，则 ． 　　∴ 　　解得： ， （舍去）．　∴ 点 ． 　　ii）若∠PCA＝90°，则 ． 　　∴ 　　解得： （舍去）．∴ 点 ． 　　iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时， ，所以边AC的对角∠APC不可能是直角． 　（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）， 　　 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E ，F ． 图a 图b 14.已知二次函数 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数． 解：根据题意，得a－2＝－1.　　 ∴ a＝1． ∴ 这个二次函数解析式是 ． 　　因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点． 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）． 　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； 　 （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到1米）． 解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 　　 ． 　　因为点A（ ，0）（或B（ ，0））在抛物线上， 所以 ，得 ． 　　因此所求函数解析式为 ． 　（2）因为点D、E的纵坐标为 ， 所以 ，得 ． 　　所以点D的坐标为（ ， ），点E的坐标为（ ， ）． 　　所以 ． 　　因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数 （a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C． （1）a、c的符号之间有何关系? （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证 a、c互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b＝－4， ，求a、c的值． 解: （1）a、c同号． 或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．　　 （2）证明：设点A的坐标为（ ，0），点B的坐标为（ ，0），则 ． 　　∴ ， ， ． 　　据题意， 、 是方程 的两个根． ∴ ． 　　由题意，得 ，即 ． 　　所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数． （3）当 时，由（2）知， ，∴ a＞0． 　　解法一：AB＝OB－OA＝ ， 　　∴ ． 　　∵ ， ∴ ．得 ．∴ c＝2. 　　解法二：由求根公式， ， 　　∴ ， ． 　　∴ ． 　　∵ ，∴ ，得 ．∴ c＝2． 17.如图，直线 分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点． （1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标； （2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式： （3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由． 解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）． ∵ A、B是直线 分别与x轴、y轴的交点．∴ A（3，0），B ． 又∠COD＝∠CBO．　∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C是的中点．　∴ EC⊥OA． ∴ ． 连结OE．∴ ．　∴ ．∴ C点的坐标为（ ）． （2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为 ． ∵ C（ ）．　∴ ．∴ ． ∴ 为所求． （3）∵ ，　∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°． 由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ． ∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2． ∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2． ∴ △ADP是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°． ∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即　PA⊥AB． 即直线PA是⊙E的切线． y O x 第9题 N M C x y O - 4 - _1132497361.unknown _1145963405.unknown _1147889062.unknown _1157040549.unknown _1157044403.unknown _1157045130.unknown _1157127531.unknown _1157128093.unknown _1157299550.unknown _1158507954.unknown _1158510648.unknown _1158510683.unknown _1158510025.unknown _1158510422.unknown _1158510413.unknown _1158508873.unknown _1157299557.unknown _1157299563.unknown _1157299567.unknown _1157299560.unknown _1157299554.unknown _1157128926.unknown _1157299544.unknown _1157299296.unknown _1157128722.unknown _1157127863.unknown _1157128004.unknown _1157128048.unknown _1157127918.unknown _1157127967.unknown _1157127577.unknown _1157126547.unknown _1157127410.unknown _1157126710.unknown _1157127224.unknown _1157045959.unknown _1157126499.unknown _1157045232.unknown _1157045897.unknown _1157045912.unknown _1157045335.unknown _1157045187.unknown _1157044569.unknown _1157044882.unknown _1157044985.unknown _1157045013.unknown _1157044674.unknown _1157044683.unknown _1157044784.unknown _1157044635.unknown _1157041718.unknown _1157044211.unknown _1157043214.unknown _1157043335.unknown _1157042915.unknown _1157042851.unknown _1157042879.unknown _1157042013.unknown _1157042612.unknown _1157042678.unknown _1157041957.unknown _1157040762.unknown _1157041507.unknown _1157041547.unknown _1157041299.unknown _1157041020.unknown _1157041225.unknown _1157040889.unknown _1157040586.unknown _1157040590.unknown _1157040007.unknown _1157040158.unknown _1157040377.unknown _1157040448.unknown 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