06食科 孙宁志
线性代数
1、行列式
1.
行列式共有
个元素,展开后有
项,可分解为
行列式;
2. 代数余子式的性质:
①、
和
的大小无关;
②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;
③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为
;
3. 代数余子式和余子式的关系:
4. 设
行列式
:
将
上、下翻转或左右翻转,所得行列式为
,则
;
将
顺时针或逆时针旋转
,所得行列式为
,则
;
将
主对角线翻转后(转置),所得行列式为
,则
;
将
主副角线翻转后,所得行列式为
,则
;
5. 行列式的重要
公式
小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载
:
①、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积
;
③、上、下三角行列式(
):主对角元素的乘积;
④、
和
:副对角元素的乘积
;
⑤、拉普拉斯展开式:
、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
⑦、特征值;
6. 对于
阶行列式
,恒有:
,其中
为
阶主子式;
7. 证明
的方法:
①、
;
②、反证法;
③、构造齐次方程组
,证明其有非零解;
④、利用秩,证明
;
⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
8.
是
阶可逆矩阵:
EMBED Equation.DSMT4 (是非奇异矩阵);
EMBED Equation.DSMT4 (是满秩矩阵)
EMBED Equation.DSMT4 的行(列)向量组线性无关;
齐次方程组
有非零解;
EMBED Equation.DSMT4 ,
总有唯一解;
EMBED Equation.DSMT4 与
等价;
EMBED Equation.DSMT4 可
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示成若干个初等矩阵的乘积;
的特征值全不为0;
是正定矩阵;
EMBED Equation.DSMT4 的行(列)向量组是
的一组基;
EMBED Equation.DSMT4 是
中某两组基的过渡矩阵;
9. 对于
阶矩阵
:
无条件恒成立;
10.
11. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;
12. 关于分块矩阵的重要结论,其中均
、
可逆:
若
,则:
Ⅰ、
;
Ⅱ、
;
②、
;(主对角分块)
③、
;(副对角分块)
④、
;(拉普拉斯)
⑤、
;(拉普拉斯)
3、矩阵的初等变换与线性方程组
13. 一个
矩阵
,总可经过初等变换化为
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
形,其标准形是唯一确定的:
;
等价类:所有与
等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵
、
,若
;
14. 行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;
15. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
1、 若
,则
可逆,且
;
②、对矩阵
做初等行变化,当
变为
时,
就变成
,即:
;
③、求解线形方程组:对于
个未知数
个方程
,如果
,则
可逆,且
;
16. 初等矩阵和对角矩阵的概念:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、
,左乘矩阵
,
乘
的各行元素;右乘,
乘
的各列元素;
③、对调两行或两列,符号
,且
,例如:
;
④、倍乘某行或某列,符号
,且
,例如:
;
⑤、倍加某行或某列,符号
,且
,如:
;
17. 矩阵秩的基本性质:
①、
;
②、
;
③、若
,则
;
④、若
、
可逆,则
;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
⑤、
;(※)
⑥、
;(※)
⑦、
;(※)
⑧、如果
是
矩阵,
是
矩阵,且
,则:(※)
Ⅰ、
的列向量全部是齐次方程组
解(转置运算后的结论);
Ⅱ、
⑨、若
、
均为
阶方阵,则
;
18. 三种特殊矩阵的方幂:
①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)
行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;
②、型如
的矩阵:利用二项展开式;
二项展开式:
;
注:Ⅰ、
展开后有
项;
Ⅱ、
Ⅲ、组合的性质:
;
③、利用特征值和相似对角化:
19. 伴随矩阵:
①、伴随矩阵的秩:
;
②、伴随矩阵的特征值:
;
③、
、
20. 关于
矩阵秩的描述:
①、
,
中有
阶子式不为0,
阶子式全部为0;(两句话)
②、
,
中有
阶子式全部为0;
③、
,
中有
阶子式不为0;
21. 线性方程组:
,其中
为
矩阵,则:
①、
与方程的个数相同,即方程组
有
个方程;
②、
与方程组得未知数个数相同,方程组
为
元方程;
22. 线性方程组
的求解:
①、对增广矩阵
进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组的解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
23. 由
个未知数
个方程的方程组构成
元线性方程:
①、
;
②、
(向量方程,
为
矩阵,
个方程,
个未知数)
③、
(全部按列分块,其中
);
④、
(线性表出)
⑤、有解的充要条件:
(
为未知数的个数或维数)
4、向量组的线性相关性
24.
个
维列向量所组成的向量组
:
构成
矩阵
;
个
维行向量所组成的向量组
:
构成
矩阵
;
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;
25. ①、向量组的线性相关、无关
有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量的线性表出
是否有解;(线性方程组)
③、向量组的相互线性表示
是否有解;(矩阵方程)
26. 矩阵
与
行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组
和
同解;(
例14)
27.
;(
例15)
28.
维向量线性相关的几何意义:
①、
线性相关
EMBED Equation.DSMT4 ;
②、
线性相关
坐标成比例或共线(平行);
③、
线性相关
共面;
29. 线性相关与无关的两套定理:
若
线性相关,则
必线性相关;
若
线性无关,则
必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)
若
维向量组
的每个向量上添上
个分量,构成
维向量组
:
若
线性无关,则
也线性无关;反之若
线性相关,则
也线性相关;(向量组的维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
30. 向量组
(个数为
)能由向量组
(个数为
)线性表示,且
线性无关,则
;
向量组
能由向量组
线性表示,则
;
向量组
能由向量组
线性表示
有解;
向量组
能由向量组
等价
31. 方阵
可逆
存在有限个初等矩阵
,使
;
①、矩阵行等价:
(左乘,
可逆)
与
同解
②、矩阵列等价:
(右乘,
可逆);
③、矩阵等价:
(
、
可逆);
32. 对于矩阵
与
:
①、若
与
行等价,则
与
的行秩相等;
②、若
与
行等价,则
与
同解,且
与
的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;
④、矩阵
的行秩等于列秩;
33. 若
,则:
①、
的列向量组能由
的列向量组线性表示,
为系数矩阵;
②、
的行向量组能由
的行向量组线性表示,
为系数矩阵;(转置)
34. 齐次方程组
的解一定是
的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、
只有零解
只有零解;
②、
有非零解
一定存在非零解;
35. 设向量组
可由向量组
线性表示为:
(
)
其中
为
,且
线性无关,则
组线性无关
;(
与
的列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:
;充分性:反证法)
注:当
时,
为方阵,可当作定理使用;
36. ①、对矩阵
,存在
,
、
的列向量线性无关;
②、对矩阵
,存在
,
、
的行向量线性无关;
37.
线性相关
存在一组不全为0的数
,使得
成立;(定义)
EMBED Equation.DSMT4 有非零解,即
有非零解;
EMBED Equation.DSMT4 ,系数矩阵的秩小于未知数的个数;
38. 设
的矩阵
的秩为
,则
元齐次线性方程组
的解集
的秩为:
;
39. 若
为
的一个解,
为
的一个基础解系,则
线性无关;
5、相似矩阵和二次型
40. 正交矩阵
或
(定义),性质:
①、
的列向量都是单位向量,且两两正交,即
;
②、若
为正交矩阵,则
也为正交阵,且
;
③、若
、
正交阵,则
也是正交阵;
注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;
41. 施密特正交化:
;
;
42. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;
43. ①、
与
等价
EMBED Equation.DSMT4 经过初等变换得到
;
,
、
可逆;
,
、
同型;
②、
与
合同
劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载
,其中可逆;
与
有相同的正、负惯性指数;
③、
与
相似
;
44. 相似一定合同、合同未必相似;
若
为正交矩阵,则
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);
45.
为对称阵,则
为二次型矩阵;
46.
元二次型
为正定:
的正惯性指数为
;
与
合同,即存在可逆矩阵
,使
;
的所有特征值均为正数;
的各阶顺序主子式均大于0;
;(必要条件)
6
_1212179248.unknown
_1212435200.unknown
_1212735776.unknown
_1213128586.unknown
_1213638369.unknown
_1213641599.unknown
_1213643081.unknown
_1213643214.unknown
_1213643288.unknown
_1213643199.unknown
_1213642601.unknown
_1213642702.unknown
_1213642745.unknown
_1213642825.unknown
_1213642861.unknown
_1213642705.unknown
_1213642654.unknown
_1213642692.unknown
_1213642638.unknown
_1213641687.unknown
_1213642553.unknown
_1213641636.unknown
_1213638444.unknown
_1213638594.unknown
_1213641567.unknown
_1213638545.unknown
_1213638391.unknown
_1213638430.unknown
_1213638380.unknown
_1213129128.unknown
_1213129462.unknown
_1213638363.unknown
_1213638344.unknown
_1213638350.unknown
_1213638331.unknown
_1213129302.unknown
_1213129461.unknown
_1213129168.unknown
_1213128912.unknown
_1213128952.unknown
_1213128983.unknown
_1213128923.unknown
_1213128691.unknown
_1213128731.unknown
_1213128645.unknown
_1213112458.unknown
_1213112952.unknown
_1213113006.unknown
_1213113033.unknown
_1213112960.unknown
_1213112775.unknown
_1213112923.unknown
_1213112759.unknown
_1212736495.unknown
_1212736588.unknown
_1213112288.unknown
_1213112304.unknown
_1212736502.unknown
_1212736408.unknown
_1212736463.unknown
_1212736398.unknown
_1212735822.unknown
_1212736364.unknown
_1212696955.unknown
_1212735435.unknown
_1212735682.unknown
_1212735706.unknown
_1212735767.unknown
_1212735557.unknown
_1212735616.unknown
_1212735660.unknown
_1212735484.unknown
_1212697245.unknown
_1212697542.unknown
_1212697617.unknown
_1212697680.unknown
_1212697741.unknown
_1212735278.unknown
_1212697723.unknown
_1212697660.unknown
_1212697606.unknown
_1212697597.unknown
_1212697357.unknown
_1212697453.unknown
_1212697264.unknown
_1212697035.unknown
_1212697199.unknown
_1212697227.unknown
_1212696990.unknown
_1212507868.unknown
_1212508021.unknown
_1212696874.unknown
_1212696891.unknown
_1212696823.unknown
_1212696839.unknown
_1212696726.unknown
_1212508000.unknown
_1212435387.unknown
_1212435413.unknown
_1212435455.unknown
_1212435474.unknown
_1212435433.unknown
_1212435399.unknown
_1212435372.unknown
_1212255447.unknown
_1212434049.unknown
_1212434632.unknown
_1212435112.unknown
_1212435183.unknown
_1212435084.unknown
_1212434506.unknown
_1212434574.unknown
_1212434297.unknown
_1212431385.unknown
_1212433990.unknown
_1212434012.unknown
_1212431995.unknown
_1212259994.unknown
_1212416457.unknown
_1212416474.unknown
_1212416494.unknown
_1212260038.unknown
_1212259958.unknown
_1212259969.unknown
_1212255458.unknown
_1212253974.unknown
_1212254292.unknown
_1212254830.unknown
_1212254868.unknown
_1212254910.unknown
_1212254556.unknown
_1212254763.unknown
_1212254242.unknown
_1212254255.unknown
_1212253989.unknown
_1212179320.unknown
_1212253925.unknown
_1212179443.unknown
_1212253904.unknown
_1212179289.unknown
_1212179309.unknown
_1212179281.unknown
_1212089266.unknown
_1212137668.unknown
_1212150787.unknown
_1212151457.unknown
_1212152452.unknown
_1212179062.unknown
_1212179075.unknown
_1212152560.unknown
_1212166396.unknown
_1212152502.unknown
_1212152499.unknown
_1212152114.unknown
_1212152212.unknown
_1212152277.unknown
_1212152316.unknown
_1212152188.unknown
_1212151497.unknown
_1212151389.unknown
_1212151412.unknown
_1212151438.unknown
_1212151400.unknown
_1212151339.unknown
_1212151368.unknown
_1212150824.unknown
_1212149523.unknown
_1212150335.unknown
_1212150743.unknown
_1212150342.unknown
_1212150685.unknown
_1212149600.unknown
_1212150271.unknown
_1212149554.unknown
_1212137965.unknown
_1212149448.unknown
_1212149506.unknown
_1212149416.unknown
_1212137832.unknown
_1212137935.unknown
_1212137800.unknown
_1212090092.unknown
_1212090524.unknown
_1212090633.unknown
_1212130630.unknown
_1212137452.unknown
_1212090726.unknown
_1212130584.unknown
_1212090714.unknown
_1212090626.unknown
_1212090133.unknown
_1212090317.unknown
_1212090456.unknown
_1212090302.unknown
_1212090101.unknown
_1212090000.unknown
_1212090034.unknown
_1212089687.unknown
_1212089948.unknown
_1212089393.unknown
_1212047815.unknown
_1212048182.unknown
_1212048512.unknown
_1212048588.unknown
_1212048665.unknown
_1212089249.unknown
_1212048700.unknown
_1212048616.unknown
_1212048566.unknown
_1212048576.unknown
_1212048534.unknown
_1212048272.unknown
_1212048474.unknown
_1212048238.unknown
_1212048063.unknown
_1212048098.unknown
_1212048117.unknown
_1212048086.unknown
_1212047911.unknown
_1212048031.unknown
_1212047838.unknown
_1212047881.unknown
_1211439141.unknown
_1212043199.unknown
_1212047709.unknown
_1212047775.unknown
_1212045380.unknown
_1212046037.unknown
_1212046309.unknown
_1212046585.unknown
_1212047541.unknown
_1212047639.unknown
_1212046336.unknown
_1212046402.unknown
_1212046123.unknown
_1212046229.unknown
_1212046057.unknown
_1212045963.unknown
_1212045973.unknown
_1212045429.unknown
_1212043686.unknown
_1212043734.unknown
_1212043864.unknown
_1212043711.unknown
_1212043338.unknown
_1212043400.unknown
_1212043532.unknown
_1211827409.unknown
_1212042430.unknown
_1212042562.unknown
_1212043001.unknown
_1212043024.unknown
_1212043190.unknown
_1212043011.unknown
_1212042984.unknown
_1212042492.unknown
_1212041841.unknown
_1212042307.unknown
_1212041762.unknown
_1212041773.unknown
_1212041824.unknown
_1212041616.unknown
_1211827539.unknown
_1211440856.unknown
_1211440984.unknown
_1211441070.unknown
_1211827134.unknown
_1211441069.unknown
_1211441011.unknown
_1211440960.unknown
_1211440925.unknown
_1211440938.unknown
_1211440642.unknown
_1211440682.unknown
_1211440712.unknown
_1211440650.unknown
_1211440605.unknown
_1211440631.unknown
_1211440595.unknown
_1211438332.unknown
_1211438550.unknown
_1211439064.unknown
_1211439094.unknown
_1211439015.unknown
_1211438929.unknown
_1211438998.unknown
_1211438391.unknown
_1211438415.unknown
_1211438347.unknown
_1211438066.unknown
_1211438087.unknown
_1211438157.unknown
_1211438196.unknown
_1211438320.unknown
_1211438190.unknown
_1211438149.unknown
_1211438080.unknown
_1211437972.unknown
_1211437985.unknown
_1211437836.unknown
_1211437855.unknown
_1211437759.unknown