朱界杰群论讲义2

1 1. 按规则画出杨图即可，略。 2. 画出杨图，利用钩长公式。 3. 画出杨图和杨 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，利用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 表示读出规则。 4. 略。 1 第六章 李群基础 一、 拓扑学1 研究李群的性质和严格地定义李群都需要拓扑学的知识。 拓扑学是“橡皮膜上的数学”， 去除了距离，但是保留了相邻、连续的概念。 在拓扑学中，球体和正方体是同样的客体，可以通过变形互相转变。 无论怎样变形，只要没有切开或粘结，球体不可能变形圆环，所以它们在拓扑上是不同 的。（孙悟空变成庙也是拓扑变形） 为了描述这种性质，引进拓扑的概念。 1． 拓扑空间 （1） 定义 复合的的数学结构(𝑋,𝒯 )，其中𝑋是集合，𝒯 ⊆ 2𝑋是子集簇，且满足 （1）𝜙 ∈ 𝒯, 𝑋 ∈ 𝒯； （2）有限个开集的交集仍然是开集：𝐴1, 𝐴2,⋯ , 𝐴𝑘 ∈ 𝒯，⇒ 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩⋯∩ 𝐴𝑘 ∈ 𝒯； （3）任意多个开集的并集仍然是开集：𝐴1, 𝐴2,⋯ ∈ 𝒯，⇒ 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪⋯ ∈ 𝒯； (𝑋,𝒯)称为拓扑空间（有时直接称 X 为拓扑空间），𝒯称为 X 的一个拓扑，𝒯中的任何一个元 素都称为𝒯的一个开集。 例 𝑋 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+, 𝒯 = {𝜙, *𝑎+, *𝑎, 𝑏+, *𝑎, 𝑐+, *𝑎, 𝑏, 𝑐+}. 请自行验证它构成拓扑空间。 （2） 闭集 开集的补集称为闭集。 空集和全集是既开且闭的子集。 1 关于本节的内容，比较容易上手的参考书可以选读熊金城，《点集拓扑讲义》第 3 版，高等教育出版社， 2003 年；尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1997 年。 2 （3） 邻域 取拓扑空间(𝑋, 𝒯)中一个点𝑥 ∈ 𝑋，任何一个包含𝑥的开集，都是𝑥的一个（开）邻域。 下面所说的邻域都指开邻域。 （4） 平庸拓扑 𝒯 = *𝜙, 𝑋+ 这是集合上所有可能的拓扑结构中最粗的结构。 （5） 离散拓扑 𝒯 = 2𝑋 这是最细的拓扑结构。 （6） 欧氏空间的自然拓扑 𝑛维欧氏空间𝐑𝑛上定义了距离 𝜌(𝑥, 𝑦) ≝ {∑(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖) 2 𝑛 𝑖=1 } 1/2 在此基础上取𝑋 = 𝐑𝑛，开集簇𝒯定义为所有的球形邻域及其并集，则得到拓扑空间(𝑋,𝒯)， 称为由度量𝜌诱导出来的拓扑。 事实上，拓扑的概念就是从度量空间引出的。 （7） 矩阵群的拓扑 矩阵的范数 ‖𝑀‖ = ∑ |𝑀𝑖𝑗| 2 𝑛 𝑖,𝑗=1 可以给出两个矩阵之间的距离， 𝜌(𝑀1,𝑀2) ≝ √‖𝑀1 −𝑀2‖ 于是矩阵群同时是一个度量空间，这个空间的维数就是群参数的个数。 由矩阵范数可以诱导出拓扑，所以矩阵群也是一个拓扑空间。 例 GL(3,C)群的参数空间是 18 维度量空间，SU(3)群的参数空间是 8 维度量空间，它们都 是拓扑空间。 2． 连续映射和同胚 连续映射：𝑋和𝑌是两个拓扑空间，映射𝑓: 𝑋 → 𝑌，如果满足任何一个开集的原象都是开集， 则称此映射为连续映射。⬄任何一个闭集的原象都是闭集。 3 同胚映射：一一的满映射，且映射本身、逆映射都连续。又称同胚。 拓扑空间同胚：如果两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称它们同胚。 同胚关系是等价关系。同胚的空间在拓扑学上就是同一个空间。 拓扑性质：在同胚映射下保持不变的性质，如开集、闭集、紧致、连通、流形的维数等。 例 开圆盘𝐃2和平面𝐑2同胚。 取单位圆盘𝐃2，建立极坐标系，作映射𝜃′ = 𝜃,𝜑′ = 𝜑, 𝑟′ = −ln (1− 𝑟) 其逆映射为𝜃＝𝜃′, 𝜑＝𝜑′, 𝑟 = 1 − 𝑒−𝑟 ′ 。显然都是连续映射。 3． 拓扑子空间 设(X, 𝒯)是拓扑空间，A ⊂ X是子集，定义𝒯A = *S ∩ A|S ∈ 𝒯+，则(A,𝒯A)是拓扑空间，称 为(X, 𝒯)的拓扑子空间。 例 3 维空间的球、曲面、曲线或者任意形状的物体。 4． 流形 如果拓扑空间𝑋的每个点，都存在一个开邻域同胚于𝑛维欧氏空间𝐑𝑛，则称这个空间是𝑛 维流形。 子流形 例 圆环、球面、环面…… 例 SO(3)群是流形 3 × 3实矩阵按范数定义距离，可以得到一个度量空间，同胚于𝐑9，是一个流形。SO(3) 是𝐑9的子流形。 连续的矩阵群都是流形。 5． 拓扑群 是群，也是拓扑空间，并且群运算（乘法和逆）是连续的。 例 有限群可以赋予离散拓扑，得到拓扑群。 例 如前所述，矩阵群按范数定义的度量空间，可以诱导出拓扑（实际上是流形）。 矩阵的乘法和逆是普通的代数运算，因而在普通函数的意义上都连续；又矩阵的范数是 矩阵元的连续函数，所以群的乘法和逆是度量空间的连续映射，从而必然是拓扑空间中的连 续映射。 所有的矩阵群都是拓扑群。 4 6． 直积拓扑空间 设(𝑋, 𝒯𝑋)和(𝑌, 𝒯𝑌)是两个拓扑空间，定义 𝑍 ≝ 𝑋⊗𝑌, 𝒯𝑍 ≝ {⋃𝐴𝑖⊗𝐵𝑗 𝑖,𝑗 |𝐴𝑖 ∈ 𝒯𝑋, 𝐵𝑗 ∈ 𝒯𝑌} 则(𝑍,𝒯𝑍)是拓扑空间，称为(𝑋, 𝒯𝑋)和(𝑌, 𝒯𝑌)的直积拓扑。 例 𝑥-轴和𝑦-轴直积得到 2 维平面，相应的直积拓扑＝2 维欧氏空间的自然拓扑。 例 环面𝑇2 = 𝑆1⊗𝑆1 7． 商拓扑 将橡皮筋的两端粘结，可以得到橡皮圈；将正方形橡皮膜的一对对边粘结，可以得到橡 皮管；将橡皮管的两头粘结，可以得到橡皮轮胎。这些都是商拓扑的例子。 定义 设(𝑋, 𝒯)是一个拓扑空间，映射𝑓是𝑋到子集𝑌 ⊂ 𝑋的一个满射。取𝑌上的开集簇为 𝒯𝑓 ≝ *𝑈|𝑈 ⊂ 𝑌, 𝑓 −1(𝑈) ∈ 𝒯 +，则(𝑌,𝒯𝑓)是拓扑空间，𝒯𝑓称为 𝑌的（相对于满射𝑓而言的）商 拓扑。 满射𝑓的作用是给出一个等价关系，𝑋中投射到𝑌中同一个点的点等价（粘结）。 例 圆柱面和 Mobius 带，环面和 Klein 瓶的粘结方式 例 SU(2)群是拓扑群，拓扑空间等价于 3 维球体，同时球面上所有点等价。 令 3 维球体的球面上的对跖点等价，SO(3)群的参数空间等价于这个球体。 8． 连通性 如果一个拓扑空间可以是两个闭集的并，则称这个空间不连通。（等价于存在既开且闭 的非空真子集） 拓扑群的连通性定义相应的拓扑空间的连通性。 例 平面上不相交的两个圆不连通。 例 O(3)群不连通，SO(3)群连通。 例 𝑋 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+, 𝒯 = {𝜙, *𝑎+, *𝑎, 𝑏+, *𝑎, 𝑐+, *𝑎, 𝑏, 𝑐+}，连通。 5 不连通的拓扑空间可以分成两个既开且闭的子集，各自成为一个拓扑子空间。对每个拓 扑子空间，我们可以检查它的连通性，如果不连通，则可以继续分块，直至不能继续分块为 止。最后我们得到每个拓扑子空间都是连通的，称为连通分支。 严格的数学定义为： 连通子集：𝑌 ⊂ 𝑋，如果𝑌作为𝑋的子空间是连通空间，则称𝑌是𝑋的连通子集。 点之间的连通性：𝑥, 𝑦是拓扑空间𝑋中的两个点，如果存在连通子集同时包含这两个点， 那么称𝑥, 𝑦是是连通的。 点与点的连通关系是等价关系。 连通分支：（最大连通子集）按点与点的连通关系将拓扑空间分拆，每一个等价类称为 拓扑空间的一个连通分支。 例 O(3)群有 2 个连通分支。 9． 紧致性 如果拓扑空间的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称这个拓扑空间是紧致的。 紧致空间的任意闭子集都是紧致的。 拓扑群的紧致性定义为相应的拓扑空间的紧致性。 例 SU(2)群紧致 3 维球体是𝐑𝟑的有界闭子集，因而是紧致的。SU(2)流形是 3 维球体的商拓扑。SU(2) 的任意开覆盖，必然对应为 3 维球体的开覆盖，因而有有限子覆盖，这个子覆盖限制到 SU(2) 流形上时，也是 SU(2)的有限子覆盖。 例 SO(3,1)非紧致 例 Galilei 群非紧致。 10． 可数性公理 拓扑基 按拓扑空间或邻域是否有可数基对拓扑空间分类。略。 度量空间必有可数基。 可数性是拓扑性质。 11． 分离性公理 按点与点的可分离性对拓扑空间分类。 𝐓𝟎空间：如果拓扑空间中的任意两个点，必有一个点存在不包含另一个点的邻域，则这个空 间称为T0空间。 𝐓1空间：如果拓扑空间中的任意两个点，每个点都存在不包含另一个点的邻域，则这个空间 称为T1空间。 𝐓2空间：如果拓扑空间中的任意两个点，每个点都存在不包含另一个点的邻域，并且这两个 邻域不相交，则这个空间称为T2空间或 Hausdorff 空间。 6 𝑥0 𝑥1 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 度量空间的自然拓扑是 Hausdorff 空间。特别的，矩阵群诱导出来的拓扑空间是 Hausdorff 空间。 定理 Hausdorff 空间的任意闭子集是紧致的。 12． 道路连通和基本群 直观上看球面和环面是不同胚的。环面可以用一根线拴住，而球面不能。这种判别的方 法表述为数学语言，就引进了道路同伦的概念。 （1） 道路 设𝑋是拓扑空间，连续映射𝑓: ,0,1- → 𝑋称为道路。𝑓(0)称为道路的起点，𝑓(1)称为道路 的终点。 起点和终点相同的道路称为环路。这时的起点称为环路的基点。 反道路：𝑓̅(𝑥) ≝ 𝑓(1 − 𝑥) 两个点的道路连通性：拓扑空间的两个点𝑥0和𝑥1，如果存在道路以这两点为起点和终点，则 称𝑥0和𝑥1是道路连通的。否则称两个点道路不连通。 拓扑空间的道路连通性：如果拓扑空间𝑋中的任意两个点道路连通，则称这个拓扑空间道路 连通。 道路连通的空间必然是连通的；反之不然。 反例：𝑋 = *𝑎, 𝑏, 𝑐+, 𝒯 = {𝜙, *𝑎+, *𝑎, 𝑏+, *𝑎, 𝑐+, *𝑎, 𝑏, 𝑐+}. （2） 道路同伦 道路同伦是从一条道路到另外一条道路的连续变形： 设𝑓和𝑔是拓扑空间𝑋中以𝑥0为起点，𝑥1为终点的两条道路，如果存在连续映射 𝐹: ,0,1- × ,0,1- → 𝑋 满足 𝐹(𝑠, 0) = 𝑓(𝑠), 𝐹(𝑠, 1) = 𝑔(𝑠), 𝐹(0, 𝑡) = 𝑥0, 𝐹(1, 𝑡) = 𝑥1, 则称道路𝑓和𝑔同伦（𝑓 ≃𝑝 𝑔）；连续映射𝐹称为从道路𝑓到道路𝑔的一个道路同伦。 道路同伦是等价关系。（请自行验证） 按道路同伦关系可以把拓扑空间中的所有道路划分为 等价类。含有道路𝑓的道路同伦类记作,𝑓-。 𝑇0空间 𝑇1空间 𝑇2或Hausdorff空间 7 （3） 连续映射的同伦和拓扑空间的同伦 把上面的道路同伦的概念推广， 连续映射的同伦：设𝑓, 𝑔:𝑋 → 𝑌是连续映射，如果存在连续映射𝐹:𝑋 × ,0,1- → 𝑌，满足 ∀𝑥 ∈ 𝑋,𝐹(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝐹(𝑥, 1) = 𝑔(𝑥), 则称𝑓, 𝑔同伦，𝑓 ≃ 𝑔。𝐹称为𝑓, 𝑔的一个同伦或伦移，𝐹: 𝑓 ≃ 𝑔 注意：这里不要求映射𝑓, 𝑔可逆或者是满射。 道路同伦是同伦的特殊情形，附加要求道路的端点固定。 拓扑空间的同伦：两个拓扑空间𝑋,𝑌之间存在连续映射𝑓: 𝑋 → 𝑌, 𝑔: 𝑌 → 𝑋，并且𝑓 ∘ 𝑔 ≃ 1𝑋， 𝑔 ∘ 𝑓 ≃ 1𝑌（1𝑋, 1𝑌分别表示𝑋, 𝑌中的恒等映射），则称拓扑空间𝑋,𝑌同伦等价；或者说，两个 空间的伦型相同。 同胚的空间必同伦，反之不然。 流形的维数不是同伦不变量。 （4） 基本群和连通度 道路的粘结：拓扑空间中的道路𝑓的起点为𝑥0，终点为𝑥1；道路𝑔的起点为𝑥1，终点为𝑥2， 定义粘结道路为 𝑓 ∗ 𝑔: ,0,1- → 𝑋, (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = { 𝑓(2𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1 2 ] ; 𝑔(2𝑡 − 1), 𝑡 ∈ [ 1 2 , 1] . 道路同伦类的粘结：定义为其中两条道路粘结后的道路同伦类。 基本群：𝜋1(𝑋, 𝑥0) ≝ {以𝑥0为基点的环路的同伦类}，乘法定义为道路的粘结，则(π1,∗)是群， 称𝜋1(𝑋, 𝑥0)是拓扑空间𝑋以𝑥0为基点的基本群。 单位元是常值道路的同伦类，常值道路为𝑒𝑥0(𝑡) = 𝑥0。 逆元素是,𝑓-−1 = [𝑓̅]，封闭性和结合率是显然的。 在道路连通的空间中，基本群与基点的选取无关： 设两个基本群𝜋1(𝑋, 𝑥0)和𝜋1(𝑋, 𝑥1)，连接𝑥0和𝑥1的道路为𝛼(𝑡)，则可定义同构映射 α̂: 𝜋1(𝑋, 𝑥0) → 𝜋1(𝑋, 𝑥1), α̂,𝑓- ≝ ,�̅�- ∗ ,𝑓- ∗ ,𝛼- 所以对道路连通空间，无需指明基点，直接说基本群𝜋1(𝑋) 连通度 一个道路连通的拓扑空间𝑋，其连通度定义为基本群元素的数目|𝜋1(𝑋)|。 |𝜋1(𝑋)| = 1称为单连通，否则为多连通。 例 SU(2)群单连通，SO(3)群连通度为 2。 图示略 例 U(1)群（即 S1）的基本群同构于整数加法群。 例 𝑆𝑛（𝑛 ≥ 2）是单连通的。 例 AB 效应，Berry 相位， Winding number, solitions, kinks, hedgehogs, monopoles and lumps 定理 𝜋1(𝑋 × 𝑌, (𝑥0, 𝑦0)) ≅ 𝜋1(𝑋, 𝑥0) ⊗ 𝜋1(𝑌, 𝑦0) 例 环面𝑇2的基本群是𝑍 ⊕ 𝑍 8 基本群是同伦不变量，当然也就是拓扑不变的。 利用基本群𝜋1(𝑋)可以对拓扑空间分类，基本群不同构的拓扑空间必然不同胚。 （5） 高阶同伦群 利用基本群可以研究 2 维曲面上的同伦性质，但是无法区分球体和球壳这样的拓扑空间。 为此需要引进 2 维环路（从 2 维 Euclid 空间中的单位方块,0,1- × ,0,1-到拓扑空间 X 中的连 续映射，要求方块的 4 条边映射到同一点。即球面到 X 的连续映射）和 2 阶同伦群𝜋2(𝑋)。 更高阶的环路和同伦群可类似定义。 基本群可以是 Abel 的，也可以是非 Abel 的。 𝑛 ≥ 2阶的同伦群𝜋𝑛(𝑋)必然是 Abel 群。（证明略） 13． Poincaré猜想 Poincaré猜想（1904 年）：紧致的单连通的 3 维流形必定同胚于 3 维球面 S3。 广义 Poincaré猜想：对于𝑛 ≥ 2，紧致的单连通的𝑛维流形必定同胚于𝑛维球面Sn。 𝑛 = 2早就为人所知。 𝑛 ≥ 5，1961 年被 S. Smale 证明，因此于 1966 年得到 Fields 奖； 𝑛 = 4，1983 年被 M. Freedman 证明，因此获得 1986 年 Fields 奖； 𝑛 = 3，2002 年被 Grigori Perelman 证明，拒绝领取 2006 年 Fields 奖。 二、 微分流形和李群 1. 微分流形2 （1） 流形的局部坐标 𝑛-维流形(𝑋,𝒯)局部同胚于𝐑𝑛，所以可以建立局部坐标系。 设𝑝是流形𝑋中一个点，按定义，必然存在开邻域𝑈 ∈ 𝒯同构于𝐑𝑛，因此存在同胚映射𝑓𝑈， 𝜑𝑈(𝑈)是𝐑 𝑛的开集。称(𝑈, 𝜑𝑈)为流形𝑋的一个坐标卡（地图）。𝜉 𝑖(𝑥) ≝ 𝜑𝑈 𝑖 (𝑥)称为点𝑥的局 部坐标。 （2） 坐标卡集 一般来说，一个邻域无法覆盖整个空间，如一张平面地图无法覆盖整个地球。所以必须 建立多个局部坐标系，即需要多个坐标卡。 设有一组坐标卡(𝑈1, 𝜑𝑈1), (𝑈2, 𝜑𝑈2),⋯, 满足 2 可参考陈省身、陈维恒《微分几何讲义》，第二版，北京大学出版社，2001 年。汪容《数学物理中的微分 几何与拓扑学》，浙江大学出版社，1998 年。 9 ⋃𝑈𝑖 𝑖 = 𝑋 覆盖了整个空间，则称𝒜 ≝ {(𝑈1, 𝜑𝑈1), (𝑈2, 𝜑𝑈2),⋯ }为坐标卡集（地图册）。 （3） 坐标卡之间的相容性 各个局部坐标系在重叠区域应该是相容的。 设(𝑈, 𝜑𝑈), (𝑉, 𝜑𝑉)是两个坐标卡，且𝑈 ∩ 𝑉 ≠ 𝜙，在重叠区域可以定义映射 𝜑𝑉 ∘ 𝜑𝑈 −1: 𝜑𝑈(𝑈 ∩ 𝑉) → 𝜑𝑉(𝑈 ∩ 𝑉), 以及逆映射 𝜑𝑈 ∘ 𝜑𝑉 −1: 𝜑𝑉(𝑈 ∩ 𝑉) → 𝜑𝑈(𝑈 ∩ 𝑉), 如果这两个映射都是𝐶𝑟的，则称这两个坐标卡是𝐶𝑟-相容的。 （4） 微分结构 所有可能坐标卡中，只要是能两两相容的，都放进坐标卡集中，就得到了流形的微分结 构。 𝑛-维流形(𝑋,𝒯)的坐标卡集𝒜 = {(𝑈1, 𝜑𝑈1), (𝑈2, 𝜑𝑈2),⋯ }如果满足下列三个条件， ⒈ ⋃ 𝑈𝑖𝑖 = 𝑋，是开覆盖； ⒉ 𝒜是相容的，即𝒜中任意两个坐标卡𝐶𝑟-相容； ⒊ 𝒜是极大的，即𝑋的一个坐标卡，如果和𝒜中所有坐标卡相容，则必包含于𝒜中， 那么称𝒜是𝑋的一个𝐶𝑟-微分结构。 （5） 微分流形 如果𝑋上给定了一个𝐶𝑟-微分结构，则称𝑋是𝑪𝒓-微分流形。 如果𝑋上给定了一个𝐶∞-微分结构，则称𝑋是光滑流形。 如果𝑋上给定了一个𝐶ω-微分结构，则称𝑋是解析流形。 一般来说，微分流形指光滑流形。 例 球面 S2 其坐标卡集可取为 U1 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 > 0+, φ𝑈1(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≝ (𝑦, 𝑧), U2 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 < 0+, φ𝑈1(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≝ (𝑦, 𝑧), U3 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑦 > 0+, φ𝑈3(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≝ (𝑥, 𝑧), U4 = *(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑦 < 0+, φ𝑈4(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≝ (𝑥, 𝑧), 这两个坐标卡是𝐶∞-相容的。其它和这两个𝐶∞-相容的坐标卡不管是否存在，我们都已证明 了 S2 存在一个𝐶∞-微分结构，所以 S2是光滑流形。（实还是解析流形） 例 实𝑛维射影空间𝑅𝑃(𝑛)是𝐑𝑛+1通过原点的射线的集合。令同一射线上的点等价（～），其 拓扑定义为商空间(𝐑𝑛+1 − *𝟎+)/~。 取 𝑈𝑖 = {,𝑥 1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛+1-|𝑥𝑖 ≠ 0}, 𝜑𝑈𝑖(,𝑥-) = ( 𝑥1 𝑥𝑖 , 𝑥2 𝑥𝑖 , ⋯ , 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 𝑥𝑖 ,⋯ , 𝑥𝑛+1 𝑥𝑖 ), 得光滑流形。 10 （6） 微分同胚 从𝑛维流形出发，赋予其微分结构，可以得到微分流形。 同一个流形可以赋予多种的微分结构。 光滑映射：光滑流形𝑋, 𝑌的维数相同dim𝑋 = dim𝑌，𝑓: 𝑋 → 𝑌是连续映射。𝑝 ∈ 𝑋， 𝑝 ∈ 𝑈, (𝑈, 𝜑𝑈) ∈ 𝒜𝑋，𝑓(𝑝) ∈ 𝑉, (𝑉,𝜑𝑉) ∈ 𝒜𝑌，如果 𝜑𝑉 ∘ 𝑓 ∘ 𝜑𝑈 −1:𝜑𝑈(𝑈) → 𝜑𝑉(𝑉) 在点𝜑𝑈(𝑝)是光滑的，则称𝑓在𝒑点是光滑的。 如果𝑓在𝑋中的每一点都是光滑的，则称𝑓是𝑋到𝑌的光滑映射。 微分同胚：光滑流形𝑋, 𝑌的同胚映射𝑓，如果满足𝑓和𝑓−1都是光滑映射，则称𝑓是微分同胚。 微分同胚→拓扑同胚→同伦，条件依次减弱。 4 维欧氏空间具有无穷多种互相不微分同胚的微分结构。（证明和 Y-M 场有关） （7） 子流形 子流形 开子流形 闭子流形 正则子流形 例 矩阵群是光滑流形（是𝐑2𝑛 2 的正则子流形）。 （8） 直积流形 略 2. 李群 在微分流形上定义群的乘法，则得到李群。 定义：李群是一个复合结构(𝑋,∙, 𝒯,𝒜)：是群，也是𝑛-维光滑流形，并且群的乘法运算和逆 运算都是光滑映射。 例 𝑆1 = {𝑒𝑖𝜃}是 1 维光滑流形，定义群的乘法𝑒𝑖𝜃1 ∙ 𝑒𝑖𝜃1 ≝ 𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2) ，检验相容性，得李群 U(1)（一维圆环群）。 例 𝑛维圆环群𝑇𝑛 ≝ 𝑆1⊗𝑆1⊗⋯⊗𝑆1是李群。 例 矩阵群都是李群。（矩阵群是光滑流形，且矩阵的乘法和逆都是光滑映射） 定义：参数群 parametric group（=locally Euclidean group） 如果一个拓扑群能够局域地参数化，𝑔 = 𝑔(𝛼1,⋯ , 𝛼𝑛)，且群的乘法和逆是参数的连续 函数，即 𝑔(𝛼)𝑔(𝛽)−1 = 𝑔(𝑓(𝛼, 𝛽)) 中𝑓是连续函数则称之为参数群。 定理 任意一个参数群必然是一个李群(Hilbert 问题 5，1900 年)。 11 3. 李群的同构、同态 李群同构：存在一个光滑映射，是群同构，同时是流形的微分同胚 李群同态：存在一个光滑映射，是群同态，并且是流形的微分。 4. 李子群 子群＋子流形，并且相容（是李群）。 5. 李群的直积 子群直积＋流形的直积 6. 李群的拓扑性质 指相应的流形的拓扑性质。 维数 紧致性 连通性 连通度 不连通的李群称为混合李群。 定理：混合李群含有单位元的连通分支是正规子群。 7. 李群的作用空间 左方变换群：𝐺是李群，𝑋是光滑流形，如果存在光滑映射𝑓: 𝐺 ⊗𝑋 → 𝑋（记𝑔𝑥 ≝ 𝑓(𝑔, 𝑥)）， 满足 ∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑒𝑥 = 𝑥;∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑔1, 𝑔2 ∈ 𝐺, 𝑔1(𝑔2𝑥) = (𝑔1𝑔2)𝑥, 则称𝐺是𝑋的左方变换群。 右方变换群：类似定义。 定理 一个点𝑥的迷向子群𝐺𝑥是李群𝐺的正则子流形，且是𝐺的闭李子群。（再有参数是否 有界，可用来判断紧致性） 例 一般线性群𝐺𝐿(𝑛, 𝐂)按线性变换是𝐂𝑛的左方变换群。 例 𝑓: 𝑔𝑙(𝑛, 𝐂)⊗ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐂) → 𝑔𝑙(𝑛, 𝐂), 𝑓(𝐴,𝐾) ≝ �̃�𝐾𝐴，𝐺𝐿(𝑛, 𝐂)是𝑔𝑙(𝑛, 𝐂)的右方变换群， 𝐾 ∙ 𝐴 = �̃�𝐾𝐴, (𝐾 ∙ 𝐴) ∙ 𝐵 = 𝐾 ∙ (𝐴𝐵), 固定群为𝐺𝐾 = {𝐴|𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐂), �̃�𝐾𝐴 = 𝐾}，由定理，是𝐺𝐿(𝑛, 𝐂)闭李子群。 例 𝑓: 𝑔𝑙(𝑛, 𝐂)⊗ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐂) → 𝑔𝑙(𝑛, 𝐂), 𝑓(𝐴,𝐾) ≝ �̃�𝐾𝐴∗，𝐺𝐿(𝑛, 𝐂)是𝑔𝑙(𝑛, 𝐂)的右方变换群， 𝐾 ∙ 𝐴 = �̃�𝐾𝐴∗, (𝐾 ∙ 𝐴) ∙ 𝐵 = 𝐾 ∙ (𝐴𝐵), 固定群为𝐺∗ 𝐾 = {𝐴|𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐂), �̃�𝐾𝐴∗ = 𝐾}，由定理，是𝐺𝐿(𝑛, 𝐂)的闭李子群。 例 其它的的矩阵群都可以看成是𝐺𝐿(𝑛, 𝐂)的某个迷向子群，因而是闭李子群。这样只要参 数空间是有界的，则必然是紧致李群。 12 三、 常见的李群及其拓扑性质 1. 时空平移群 𝑇(𝑎)𝑥𝜇 = 𝑥𝜇 + 𝑎𝜇 4 维 Abel 李群，同构于 4 维实数加法群𝐑𝟒。非紧致，连通，单连通。 2. 一维仿射群 𝑥′ = 𝑔(𝛼, 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽, α ≠ 0. 非 Abel 群，维数 2，非紧致，不连通，有 2 个连通分支，各个分支单连通。 3. 一般线性群 𝐺𝐿(𝑛, 𝐂) ≝ *𝐴|𝐴 ∈ 𝑀(𝑛, 𝐂), det 𝐴 ≠ 0+ 维数2𝑛2，非紧致，连通，无穷连通（从𝐑2𝑛 2 挖去一个2𝑛2 − 2维子空间*𝐴| det 𝐴 = 0+）。 4. 特殊线性群 𝑆𝐿(𝑛, 𝐂) ≝ *𝐴|𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐂), det 𝐴 = 1+ 维数2𝑛2 − 2，非紧致，连通，单连通 5. 酉群 𝑈(𝑛) ≝ *𝐴|𝐴+𝐴 = 𝟏,𝐴 ∈ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐂)+ 由于𝐵 ≝ 𝐴+𝐴是厄米矩阵，𝐵 = 𝟏给出的约束实际上为上半三角2 × 1 2 𝑛(𝑛 − 1)个，对角 线𝑛个，总计𝑛2个约束。群的维数为2𝑛2 − 𝑛2 = 𝑛2。 紧致；连通；连通度为∞（原因是𝑈(𝑛) ≅ 𝑈(1)⊗ 𝑆𝑈(𝑛)，基本群也是相应的直积） 6. 特殊酉群 𝑆𝑈(𝑛) ≝ *𝐴|𝐴 ∈ 𝑈(𝑛), det𝐴 = 1+ 酉群群元的行列式满足|det𝐴|2 = 1，det𝐴 = 𝑒𝑖𝜃。所以det𝐴 = 1给出 1 个约束，维数为 𝑛2 − 1。 是固定群，参数有界，所以紧致；连通；单连通。 13 7. 实正交群 𝑂(𝑛) ≝ {𝐴|𝐴�̃� = 1, 𝐴 ∈ 𝑀(𝑛, 𝐑)} 维数为𝑛2 − 1 2 (𝑛 + 1)𝑛 = 1 2 𝑛(𝑛 − 1)；紧致；不连通，有 2 个连通分支，对应det𝐴 = ±1；每 个连通度为 2。 8. 特殊正交群 𝑆𝑂(𝑛) ≝ *𝐴|𝐴 ∈ 𝑂(𝑛), det 𝐴 = 1+ 由于实正交群中元素的行列式满足(det 𝐴)2 = 1, det𝐴 = ±1，所以条件det𝐴 = 1并不给 出额外的约束，特殊正交群的维数为 1 2 𝑛(𝑛 − 1)。 紧致；连通；连通度为 2。 9. Lorentz 群 Minkowski 空间 𝑥0 = 𝑐𝑡, 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦, 𝑥3 = 𝑧 𝑠2 = (𝑐𝑡)2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = �̃�𝑔𝑥 = 𝑥𝜇𝑔𝜇𝜈𝑥 𝜈 = 𝑥𝜇𝑥𝜇 度规 (𝑔𝜇𝜈) = diag*1,−1,−1,−1+，逆矩阵(𝑔 𝜇𝜈) = (𝑔𝜇𝜈) 保持𝑠2不变的线性变换： 𝑥′𝜇 = Λ 𝜈 𝜇 𝑥𝜈, 𝑥𝜇𝑥𝜇 = 𝑠 2 = 𝑥′𝜇𝑥𝜇 ′ , 令𝑥𝜇 = 𝑦𝜇 + 𝑧𝜇， (𝑦′ + 𝑧′)2 = (𝑦 + 𝑧)2 ⇒ 𝑦′ ⋅ 𝑧′ = 𝑦 ⋅ 𝑧 Λ 𝛼 𝜇 𝑦𝛼𝑔𝜇𝜈Λ 𝛽 𝜈 𝑧𝛽 = 𝑦𝛼𝑔𝛼𝛽𝑧 𝛽 Λ 𝛼 𝜇 Λ 𝛽 𝜈 𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝛼𝛽 , Λ̃𝑔Λ = 𝑔. Lorentz 群 ℒ = {𝛬|𝛬𝑔𝛬 = 𝑔,𝑔 ≡ diag*1,−1,−1,−1+, Λ∗ = Λ} 维数为 6；非紧致； 不连通，按行列式(proper)和是否顺时(othochronous)分为 4 块不连通的区域： det(Λ̃𝑔Λ) = det𝑔 ⇒ det Λ = ±1 Λ 𝛼 𝜇 Λ 𝛽 𝜈 𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝛼𝛽 ⇒ (Λ 0 0 )2 = 1 + (Λ 0 1 )2 + (Λ 0 2 )2 + (Λ 0 3 )2 ≥ 1, ⇒ Λ 0 0 ≥ 1 or Λ 0 0 ≤ −1 4 个连通分支为ℒ = 𝐿+↑ ∪ 𝐿+↓ ∪ 𝐿−↑ ∪ 𝐿−↓ 每个分支的连通度为 2，恰当顺时 Lorentz 群𝐿+↑的流形同胚于 SO(3)和𝐑 3的直积。 10. 辛群 正则坐标，正则动量(𝑞, 𝑝) 运动方程 �̇� = 𝜕𝐻 𝜕𝑝 , �̇� = − 𝜕𝐻 𝜕𝑞 ⬄( �̇� �̇� ) = . 0 1 −1 0 /( 𝜕𝐻/𝜕𝑞 𝜕𝐻/𝜕𝑝 ) 14 记 𝑄 = . 𝑞 𝑝/ , 𝜕𝐻 𝜕𝑄 = ( 𝜕𝐻/𝜕𝑞 𝜕𝐻/𝜕𝑝 ) , 𝐽 = . 0 1 −1 0 /, 运动方程成为 �̇� = 𝐽 𝜕𝐻 𝜕𝑄 . 作正则变换 𝑄 → 𝑄′, 𝐻′(𝑄′) = 𝐻(𝑄). 于是 𝜕𝐻(𝑄) 𝜕𝑄𝑗 = 𝜕𝐻′(𝑄′) 𝜕𝑄𝑗 = 𝜕𝐻′ 𝜕𝑄𝑘 ′ 𝜕𝑄𝑘 ′ 𝜕𝑄𝑗 = 𝜕𝐻′ 𝜕𝑄𝑘 ′ 𝐴𝑘𝑗 = 𝜕𝐻′ 𝜕𝑄𝑘 ′ 𝐴𝑘𝑗 𝐴𝑘𝑗 ≝ 𝜕𝑄𝑘 ′ 𝜕𝑄𝑗 , → 𝜕𝐻 𝜕𝑄 = �̃� 𝜕𝐻′ 𝜕𝑄′ ; �̇�𝑗 ′ = 𝜕𝑄𝑗 ′ 𝜕𝑄𝑘 𝑑𝑄𝑘 𝑑𝑡 = 𝐴𝑗𝑘�̇�𝑘,→ �̇� ′ = 𝐴�̇� �̇�′ = 𝐴�̇� = 𝐴𝐽 𝜕𝐻 𝜕𝑄 = 𝐴𝐽�̃� 𝜕𝐻′ 𝜕𝑄′ 正则方程保持形式不变�̇�′ = 𝜕𝐻′ 𝜕𝑄′ 的条件是 𝐴𝐽�̃� = 𝐽 推广到多自由度的情形， 𝑄 ≝ (𝑞1, 𝑞2,⋯ 𝑞𝑙, 𝑝1, 𝑝2,⋯ , 𝑝𝑙) 𝑇, 𝐽 ≝ ( 𝟎𝑙×𝑙 𝟏𝑙×𝑙 −𝟏𝑙×𝑙 𝟎𝑙×𝑙 ), 则正则变换必须满足𝐴𝐽�̃� = 𝐽。于是得实辛群（sympletic group）3， 𝑆𝑝(2𝑙, 𝐑) ≝ {𝐴|𝐴𝐽�̃� = 𝐽, 𝐴 ∈ 𝑀(2𝑙, 𝐑)} 复辛群定义为 𝑆𝑝(2𝑙, 𝐂) = {𝐴2𝑙×2𝑙|𝐴𝐽�̃� = 𝐽, 𝐴 ∈ 𝑀(2𝑙, 𝐂)} 由于𝐵 ≝ 𝐴𝐽�̃�是反对称矩阵，�̃� = −𝐵，𝐵 = 𝐽给出2 ⋅ 2𝑙(2𝑙 − 1)/2个约束，⇒复辛群的 维数为4𝑙2 + 2𝑙。 复辛群连通：行列式为 1，利用 ∑ 𝜀𝑎1⋯𝑎2𝑙𝐽𝑎1𝑎𝑙+1⋯𝐽𝑎𝑙𝑎2𝑙 𝑎1,⋯,𝑎2𝑙 = 2𝑙𝑙! det𝑀 = det𝑀 1 2𝑙𝑙! ∑ 𝜀𝑎1⋯𝑎2𝑙𝐽𝑎1𝑎𝑙+1⋯𝐽𝑎𝑙𝑎2𝑙 𝑎1,⋯,𝑎2𝑙 = 1 2𝑙𝑙! ∑ 𝐽𝑎1𝑎𝑙+1⋯𝐽𝑎𝑙𝑎2𝑙 ∑ 𝜀𝑏1⋯𝑏2𝑙𝑀𝑎1𝑏1⋯𝑀𝑎2𝑙𝑏2𝑙 𝑏1⋯𝑏2𝑙𝑎1,⋯,𝑎2𝑙 = 1 2𝑙𝑙! ∑ 𝜀𝑏1⋯𝑏2𝑙(𝐽𝑎1𝑎𝑙+1𝑀𝑎1𝑏1𝑀𝑎𝑙+1𝑏𝑙+1)⋯ 𝑏1⋯𝑏2𝑙 (𝐽𝑎𝑙𝑎2𝑙𝑀𝑎𝑙𝑏𝑙𝑀𝑎2𝑙𝑏2𝑙) 注意到 𝐽𝑎1𝑎2𝑀𝑎1𝑏1𝑀𝑎2𝑏2~(�̃�𝐽𝑀)𝑏1𝑏2 , (𝐴𝑀)̃𝐽(𝐴𝑀) = �̃��̃�𝐽𝐴𝑀 = �̃�𝐽𝑀, 即det𝑀在正则变换下不变， det(𝐴𝑀) = det𝑀 ,⇒ det𝐴 = 1. 另外复辛群单连通；非紧致。 实辛群𝑆𝑝(2𝑙, 𝐑) = {𝐴2𝑙×2𝑙|𝐴𝐽�̃� = 𝐽, 𝐴𝑗𝑘 ∈ 𝐑}的维数为2𝑙 2 + 𝑙。连通；连通度为∞；非紧 致。 3 𝑨𝑱�̃� = 𝑱 ×�̃�−1 ⇔ 𝐴𝐽 = 𝐽�̃�−1 𝐽×⋯×𝐽,𝐽2=−𝟏,𝐽 =−𝐽 ⇔ 𝐽𝐴 = �̃�−1𝐽 ~ ⇔�̃�𝐽 = 𝐽𝐴−1 ×𝐴 ⇔�̃�𝑱𝑨 = 𝑱. 15 四、 李群和李代数的关系 1. 李群的参数化和结合函数 参数化：按李群的定义，群元素可以写成𝑔 = 𝑔(𝛼1, 𝛼2,⋯ , 𝛼𝑛)（一般约定𝑔(0)为单位元） 结合函数：群的乘法公式为 𝑔(𝛾) = 𝑔(𝛼)𝑔(𝛽), 𝛾𝑖 = 𝜑𝑖(𝛼, 𝛽). 𝜑𝑖(𝛼, 𝛽)称为结合函数。 结合函数的性质：解析，封闭，结合律，单位元，逆 2. 无穷小算符和李代数 （1） 无穷小算符 群元素的参数在单位元附近 Taylor 展开，得无穷小生成元。 𝑋𝑖 ≝ 𝜕𝑔(𝛼) 𝜕𝛼𝑖 | 𝛼=0 （2） 李代数 在线性空间上定义两个矢量的李积，使之满足双线性、幂零和 Jacobi 恒等式，则构成一个李 代数。 李代数是线性代数，但不是结合代数。 例 3 维 Euclid 空间的矢量叉乘构成李代数。 （3） 李群的李代数 李群的无穷小算符张开一个线性空间，在这个线性空间上定义李积[𝑋𝑗, 𝑋𝑘] = 𝑋𝑗𝑋𝑘 −𝑋𝑘𝑋𝑗。 由李群的封闭性𝑔(𝛼)𝑔(𝛽) = 𝑔(𝛾)可得 [𝑋𝑗, 𝑋𝑘] = 𝐶𝑗𝑘 𝑙𝑋𝑙 其中实系数𝐶𝑗𝑘 𝑙称为李群的结构常数。 描述李群和李代数关系，最好的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是微分几何，这里限于课时，从略。 16 3. 生成元的线性变换—李群参数的重新选择 如果重新选择李群的参数为𝛼′，生成元成为 𝑋𝑗 ′ ≡ 𝜕𝑔 𝜕𝛼𝑗 ′| 0 = 𝜕𝑔 𝜕𝛼𝑘 𝜕𝛼𝑘 𝜕𝛼𝑗 ′ | 0 = Λ𝑗 𝑘𝑋𝑘 矩阵𝛬非奇异。 此时结构常数也相应改变， [𝑋𝑗, 𝑋𝑘] = 𝐶𝑗𝑘 𝑙𝑋𝑙, [𝑋𝑗 ′, 𝑋𝑘 ′ ] = 𝐶′𝑗𝑘 𝑙𝑋𝑙 ′, 𝐶′𝑗𝑘 𝑙 = Λ𝑗 𝑗′Λ𝑘 𝑘′(Λ−1) 𝑙′ 𝑙 𝐶𝑗′𝑘′ 𝑙′ 注意上下指标的变换性质不同。 4. 李氏三定理及其逆定理 定理一 连通李群的线性表示完全由它的生成元决定。 定理二 李群线性表示的生成元满足对易关系 [𝑋𝑗, 𝑋𝑘] = 𝐶𝑗𝑘 𝑙𝑋𝑙 其中结构常数 𝐶𝑗𝑘 𝑙 ≝ { 𝜕𝑆𝑙𝑘(𝛼) 𝜕𝛼𝑗 − 𝜕𝑆𝑙𝑗(𝛼) 𝜕𝛼𝑘 }| 𝛼=0 , 𝑆𝑖𝑗(𝛼) ≝ ( 𝜕𝜑𝑖(𝛼, 𝛽) 𝜕𝛼𝑗 )| 𝛽=�̅� 反之，满足上述对易关系的一组矩阵，可以作为李群表示的一组生成元，确定单连通李群的 一个单值或多值表示。 定理三 李群的结构常数满足 𝐶𝑗𝑘 𝑙 = −𝐶𝑘𝑗 𝑙（反对称） ∑{𝐶𝑗𝑘 𝑝𝐶𝑝𝑙 𝑞 +𝐶𝑘𝑙 𝑝𝐶𝑝𝑗 𝑞 + 𝐶𝑙𝑗 𝑝𝐶𝑝𝑘 𝑞} 𝑝 = 0(Jacobi identity) 反之，满足这两个关系的一组实常数，必存在相应的李群，以这组常数作为结构常数。 5. 李群和李代数的伴随表示 李群的任意元素必然可以展开为 𝑕 = exp*𝜓𝑘𝑋𝑘+ 考虑群的内自同构𝑕 → 𝑕′ = 𝑔𝑕𝑔−1，则𝑕′ = exp*𝜓𝑘 ′ 𝑋𝑘+，即有 𝑋𝑗 → Ad(𝑔)𝑋𝑗 ≝ 𝑔𝑋𝑗𝑔 −1 =∑𝑇𝑘𝑗 ad(𝑔)𝑋𝑘 𝑘 {𝑇ad(𝑔)|𝑔 ∈ 𝐺}构成李群𝐺的有限维线性表示，称为伴随表示。 取无穷小变换 𝑔 = exp*𝜀𝑘𝑋𝑘+ 𝑔𝑋𝑗𝑔 −1 =∑𝑇𝑘𝑗 ad(𝑔)𝑋𝑘 𝑘 ↔ 𝑋𝑗 + 𝜀𝑘[𝑋𝑘, 𝑋𝑗] = (𝟏 + 𝑋𝑘 ad𝜀𝑘)𝑙𝑗𝑋𝑙 [𝑋𝑘, 𝑋𝑗] = (𝑋𝑘 ad) 𝑙𝑗 𝑋𝑙 李代数的伴随表示为 17 ad(𝑋𝑗)𝑋𝑘 ≝ [𝑋𝑗, 𝑋𝑘] = (𝑋𝑗 ad) 𝑙𝑘 𝑋𝑙 与李代数的对易关系[𝑋𝑗 , 𝑋𝑘] = 𝐶𝑗𝑘 𝑙𝑋𝑙比较得 (𝑋𝑗 ad) 𝑙𝑘 = 𝐶𝑗𝑘 𝑙 由 Jacobi 恒等式可证 ad([𝑋𝑗, 𝑋𝑘]) = [ad(𝑋𝑗), ad(𝑋𝑘)] 6. 李群和李代数的关系 以无穷小生成元为基，每一个李群都对应一个实李代数（李群的线性化）。 每一个有限维实李代数对应唯一一个单连通李群（指数化）。 李代数不可约表示与单连通李群不可约的表示一一对应。 对应相同的李代数的李群中，唯一的单连通李群称为通用覆盖群（universal covering group），其它李群是通用覆盖群对分立不变子群的商群，并且分立不变子群是单连通李群的 中心。 例 SU(2)/Z2，SU(3)/Z3，SU(4) 7. 典型李群及其李代数 韩其智 P.222 列表 8. 李群的分类定理 找所有不同构的李群⬄找所有不同构的实李代数 参数群＝李群 { 混合李群 连通李群 { 多连通李群 ～单连通李群/中心 单连通李群 ↔实李代数 18 附录 1 求矩阵群不变积分的一种方法 定理：A−1dA的每个矩阵元都是左不变微分 1-形式；由此构造出的体积元是不变积分。 如正实数乘法群𝐑+，最一般的 1-形式为𝑘(𝑥)𝑑𝑥， �̂�𝑓(𝑥) ≝ 𝑓(𝑔−1𝑥) �̂�(𝑘(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑘(𝑥 𝑔⁄ )𝑑(𝑥 𝑔⁄ ) = 1 𝑔 𝑘(𝑥 𝑔⁄ )𝑑𝑥 左不变的微分形式满足 �̂�(𝑘(𝑥)𝑑𝑥) = 𝑘(𝑥)𝑑𝑥, 所以 1 𝑔 𝑘(𝑥 𝑔⁄ ) = 𝑘(𝑥), 𝑘(𝑥) ∝ 1 𝑥 所以不变积分为 1 𝑥 𝑑𝑥。 推广到一般的矩阵群可以证明𝐴−1𝑑𝐴是左不变的。 如以 SU(2)为例， 𝑢 = . 𝑎 𝑏 −𝑏∗ 𝑎∗ / = 𝛼0𝟏 + 𝑖(𝛼1𝜏1 + 𝛼2𝜏2 + 𝛼3𝜏3) = ( 𝛼0 + 𝑖𝛼3 𝛼2 + 𝑖𝛼1 −𝛼2 + 𝑖𝛼1 𝛼0 − 𝑖𝛼3 ) det(𝛼0𝟏+ 𝑖�⃗� ⋅ 𝜏) = 𝛼0 2 + �⃗�2 = 𝑎𝑎∗ + 𝑏𝑏∗ = 1 得 𝑏𝑑𝑏∗ = −(𝑎𝑑𝑎∗ + 𝑎∗𝑑𝑎 + 𝑏∗𝑑𝑏) 𝑢−1 = . 𝑎∗ −𝑏 𝑏∗ 𝑎 / , 𝑑𝑢 = . 𝑑𝑎 𝑑𝑏 −𝑑𝑏∗ 𝑑𝑎∗ /, 𝑢−1𝑑𝑢 = . 𝑎∗𝑑𝑎 + 𝑏𝑑𝑏∗ 𝑎∗𝑑𝑏 − 𝑏𝑑𝑎∗ 𝑏∗𝑑𝑎 − 𝑎𝑑𝑏∗ 𝑏∗𝑑𝑏 + 𝑎𝑑𝑎∗ / 计算其中 3 个矩阵元的外积 (𝑎∗𝑑𝑎 + 𝑏𝑑𝑏∗) ∧ (𝑎∗𝑑𝑏 − 𝑏𝑑𝑎∗) ∧ (𝑏∗𝑑𝑏 + 𝑎𝑑𝑎∗) = (𝑎∗𝑑𝑎 + 𝑏𝑑𝑏∗) ∧ (𝑎∗𝑑𝑏 ∧ 𝑎𝑑𝑎∗ − 𝑏𝑑𝑎∗ ∧ 𝑏∗𝑑𝑏) = (𝑎∗𝑑𝑎 + 𝑏𝑑𝑏∗) ∧ (𝑑𝑏 ∧ 𝑑𝑎∗) = 𝑎∗𝑑𝑎 ∧ 𝑑𝑏 ∧ 𝑑𝑎∗ − (𝑎𝑑𝑎∗ + 𝑎∗𝑑𝑎 + 𝑏∗𝑑𝑏) ∧ (𝑑𝑏 ∧ 𝑑𝑎∗) = 0, 或者另取 3 个矩阵元计算： (𝑏∗𝑑𝑎 − 𝑎𝑑𝑏∗) ∧ (𝑎∗𝑑𝑏 − 𝑏𝑑𝑎∗) ∧ (𝑏∗𝑑𝑏 + 𝑎𝑑𝑎∗) = (𝑏∗𝑑𝑎 − 𝑎𝑑𝑏∗) ∧ (𝑑𝑏 ∧ 𝑑𝑎∗) = 1 𝑏 𝑑𝑎 ∧ 𝑑𝑏 ∧ 𝑑𝑎∗ 所以左不变积分为 1 𝑏 𝑑𝑎 ∧ 𝑑𝑏 ∧ 𝑑𝑎∗ = 2 𝛼0 𝑑𝛼1 ∧ 𝑑𝛼2 ∧ 𝑑𝛼3 归一化后得 𝑑𝑢 = 1 2𝜋2 1 √1 − �⃗�2 𝑑𝛼1𝑑𝛼2𝑑𝛼3. 19 附录 2 庞加莱猜想，百年未解的谜题 发信人: lltt (lltt), 信区: NewExpress 标 题: 讲述完整的故事：庞加莱猜想，百年未解的谜题 发信站: 水木社区 (Mon Sep 4 19:13:01 2006), 站内 十几年来，没有哪一届国际数学家大会，能像8月22日将在西班牙马德里召开的2006年 国际数学家大会（ICM2006）这样引人注目。 早在几个月前，ICM2006的网站上，就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难 题的证明，将在本届大会上宣布。”尽管做出欲说还休的姿态，但看一眼会议的日程表----8 月22日17:15至18:15，里查德·汉密尔顿（RichardHamilton）。 题目:庞加莱猜想。 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ，已经无需再言。 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生 下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响 起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许 多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中， 假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜 想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。 于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。 20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德 （Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了 论文。失之桑榆、收之东隅的是，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而 这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。 50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾 （R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均 在其中。帕帕奇拉克普罗斯是 1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超 长超难念，大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距 离，直到被普林斯顿大学邀请做客。 帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家 约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学 家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。” 然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传 着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚 的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让 帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。 这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因 此发展出了低维拓扑学这门学科。 一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。 然而，因 为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。 1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的 庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经 常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。 他，就是斯梅尔。1961年的夏天， 在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立 时引起轰动。 10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freed man）将证明又向前推动了一步。 在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是， 再向前推进的工作，又停滞了。拓扑