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必修4之平面向量
知识点
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归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为
，其方向是任意的，
与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、向量加法：设
，则
+
=
=
（1）
；（2）向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
3、向量的减法： ① 相反向量：与
长度相等、方向相反的向量，叫做
的相反向量
②向量减法：向量
加上
的相反向量叫做
与
的差，③作图法：
可以表示为从
的终点指向
的终点的向量（
、
有共同起点）
4、实数与向量的积：实数λ与向量
的积是一个向量，记作λ
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）
； （Ⅱ）当
时，λ
的方向与
的方向相同；当
时，λ
的方向与
的方向相反；当
时，
，方向是任意的
5、两个向量共线定理：向量
与非零向量
共线
有且只有一个实数
，使得
=
6、平面向量的基本定理：如果
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数
使：
，其中不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1
平面向量的坐标表示：平面内的任一向量
可表示成
，记作
=(x,y)。
2
平面向量的坐标运算：
(1) 若
，则
(2) 若
，则
(3) 若
=(x,y)，则
EMBED Equation.3 =(
x,
y)
(4) 若
，则
(5) 若
，则
若
，则
三．平面向量的数量积
1
两个向量的数量积：
已知两个非零向量
与
，它们的夹角为
，则
·
=︱
︱·︱
︱cos
叫做
与
的数量积（或内积）
规定
2
向量的投影：︱
︱cos
=
∈R，称为向量
在
方向上的投影
投影的绝对值称为射影
3
数量积的几何意义：
·
等于
的长度与
在
方向上的投影的乘积
4
向量的模与平方的关系：
5
乘法
公式
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成立：
；
EMBED Equation.3
6
平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
EMBED Equation.3
特别注意：（1）结合律不成立：
；
（2）消去律不成立
EMBED Equation.3 不能得到
（3）
=0
不能得到
=
或
=
7
两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量
，则
·
=
8
向量的夹角：已知两个非零向量
与
，作
=
,
=
,则∠AOB=
（
）叫做向量
与
的夹角
cos
=
=
当且仅当两个非零向量
与
同方向时，θ=00，当且仅当
与
反方向时θ=1800，同时
与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9
垂直：如果
与
的夹角为900则称
与
垂直，记作
⊥
10
两个非零向量垂直的充要条件：
⊥
EMBED Equation.3
·
＝O
EMBED Equation.3 平面向量数量积的性质
_1156853147.unknown
_1197235796.unknown
_1197237745.unknown
_1198780766.unknown
_1198781548.unknown
_1199479984.unknown
_1199479985.unknown
_1198781853.unknown
_1198780774.unknown
_1198780754.unknown
_1198780760.unknown
_1197235838.unknown
_1197235884.unknown
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_1197235869.unknown
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_1197232178.unknown
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_1197232227.unknown
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_1197232138.unknown
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浙公网安备 33021202002483