微分中值定理的证明与应用

目 录 II摘 要 IIIAbstract 11.1研究的背景 21.2研究的价值和方法 31.3论文结构 4第二章 微分中值定理的证明 42.1 罗尔定理的证明 52.2拉格朗日中值定理的证明 82.3柯西定理的证明 92.4泰勒公式的证明 112.5微分中值定理统一的证明方法 15第三章 微分中值定理的推广 183.2拉格朗日中值定理的推广 223.3柯西中值定理的推广 233.4微分中值定理的推广 243.5新中值定理 26第四章 微分中值定理的应用 264.1 用微分中值定理证明不等式 294.2 用微分中值定理证明方程根的存在性 314.3 用微分中值定理证明等式 354.4 用泰勒公式求极限 39致谢： 40参考文献 摘 要 微分中值定理是数学分析的重要知识，在数学理论分析中占据着重要的地位。微分中值定理一般包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理以及泰勒公式。本文按照对定理的证明，定理的推广和定理的应用的顺序对微分中值定理进行了深层次的剖析。证明部分，推广部分，应用部分是本文的三大核心内容，其中证明部分不同于教科书式的证明，对于每个定理采用了多种证明方法，可以得到微分中值定理形式的统一性，同时给出了微分中值定理一种统一的证明方法；本文从不同的角度对微分中值定理进行了推广并得到一些很实用的推论和定理；应用部分精心挑选了一些很经典的习题，通过灵活运用微分中值定理可以加深对数学分析基础知识的了解并锻炼数学思维。 关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式。 Abstract Differential mean value theorem is of great importance in mathematical analysis,It occupies the important position In the mathematical theory analysis ,Generally speaking differential mean value theorem includes Rolle theorem, Lagrange theorem and Cauchy mean value theorem and Taylor formula.It take a deeper analysis for Differential mean value theorem In this paper, according to the the order of the proof of the theorem and the promotion and the application of Differential mean value theorem. The proof part,and promotion,and application part is the three core content of this article ,Which the prove part is different from the textbook ,and use a variety of identification method for each of the theorem ,then we can get a unity of Differential mean value theorem,At the same time it gives the proof of differential mean value theorem a unified method,The paper take Differential mean value theorem to the promotion from different angle and got some useful inferences and theorem,The Application part carefully chosen some of the very classic problem, throughing the flexible use of differential mean value theorem can deepen the understanding of the basic knowledge of mathematical analysis and mathematical thinking. Keywords: Rolle theorem; Lagrange theorem ;Cauchy mean value theorem ; Taylor formula. 第一章 绪论 1.1研究的背景 在16世纪微积分思想真正快速发展和成熟。从1400年到1600年在欧洲文艺复兴,使整个欧洲完全觉醒。一方面,社会生产力迅速提高,科学技术的迅速发展,另一方面,社会需求的增长,但也紧急做了一些科学问题。在此期间,在运动和变化的自然科学已经成为一个核心问题的常数为主要研究对象的古典数学不能满足要求,科学家们开始通过正确的一个常数为主要对象的研究转移到一个变量作为主要研究对象,自然科学开始进入阶段的全面突破。 微积分创立第一个处理十七世纪一系列关键科学问题。有四种主要类型的科学问题: 第一类是已知距离的运动对象表是一个时间的函数公式,找到对象在任何时间的瞬时速度和加速度的变化率的优先问题; 第二类是这样设计的光学路径的望远镜需求曲线切线问题成为不可避免的; 第三类是确定最大范围的贝壳和找到离太阳最远的行星,最近的距离函数涉及到极大值、极小值问题; 第四类问题是找到行星轨道走,线和地区席卷星矢直径和重力重心等,还允许面积、体积、弧长、重心和重力基本问题如微积分计算被重新审视。 在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。 知道什么是微积分吗?它是一种数学思想,‘无限细分’和“无限求和”是微积分的本质。无限是极限,极限的思想是微积分的基础,它是一个运动的观点看待问题。例如,子弹飞行的瞬时速度是微分的概念,子弹飞离每一刻的路程,那是积分的概念 如果把整个数学比作树,那么初等数学是树的根,是数学的众多的分支的一个,而树干是微积分的主要部分。微积分被称为人类智慧的最伟大的成就。从17世纪开始,由于社会进步和发展的生产力,以及导航、天文学、矿山建设和其他许多问题有待解决,从而开始了学习改变数量的数学即为“变量数学”时代,这种情况继续改善作为一门学科。整个17世纪,有数十名科学家创立微积分方面做了开创性的研究,但是使得微积分成为一个重要的数学分支的是牛顿和莱布尼兹。 牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。 。 （l）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系”，这相当于微分学。 （2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。 （3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。 牛顿已完全清楚上述（l）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。 牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。 莱布尼茨使微积分更加简洁和准确 而德国数学家莱布尼兹(见莱布尼兹16461716)独立发现的微积分来自几何方面的灵感,牛顿和莱布尼兹以前至少十几个数学家研究,他们做了一个开创性的贡献为微积分的产生。但这些工作都是支离破碎的,杂乱的,缺乏统一的。莱布尼兹创立微积分的方法和牛顿是不同的。莱布尼兹通过研究四周是切线的曲线和区域的曲线,使用的分析方法引入概念,算法的演算。牛顿的微积分应用更结合运动学、造诣比莱布尼兹更好,但表达形式的莱布尼兹的数学符号但远远优于牛顿,简单、准确地揭示微积分的本质,有力地促进了高等数学的发展。 莱布尼茨创建的微积分符号,随着印度——阿拉伯数字的发展促进了算术和代数,促进了微积分的发展,莱布尼兹是其中一个最突出的符号数学历史的创造者。微分和积分符号牛顿现在是不习惯采用,但莱布尼兹使用符号今天仍在使用。莱布尼兹是早期的和更清楚地意识到,良好的符号可以大大节省思维劳动,使用象征性的技术是一个关键的数学的成功。微积分的诞生标志作为一个独立的科学。为解决微积分问题的前兆真的做出了宝贵的贡献,但他们的方法仍然缺乏足够的普遍性。尽管人们已经注意到,一些这些问题之间的联系,但是没有这些链接作为一个一般规则,清除互逆关系的基本特征的积分和微分还没有引起足够的重视。因此,在一个更高的层面上个人贡献和分散结合成一个统一的理论,成为一个艰巨的任务需要17世纪中期数学家。 1.2研究的价值和方法 对研究微分中值定理,经历了200多年。本文从费马定理,经历了从特殊到一般,从视觉到抽象,从强到弱条件发展阶段。它是在发展过程中,逐渐意识到普遍性的微分中值定理。形成和发展的历史过程的微分中值定理揭示了数学的发展是一个新进程,带来新的通过旧的,是一个强大的新工具和更简单的方法,发现一些旧的,复杂的事情放弃了,是一个发展从低到高的过程,过程分析,代数和几何统一。正如龚昇指出:“数学在每一步的实际发展和更强大的工具和一个简单的方法来找到紧密的联系,这些工具和方法也将有助于理解现有的理论和旧的,复杂的事情放在一边。这种特性的数学科学发展的根深蒂固。 我们从数学,尤其是现代数学已经成为更重要的理解的重要性,微分中值定理在二十一世纪。美利坚合众国“数学评论”2000一个分类已经达到63,主题分类有超过5600,说明现代数学形成了一个科学的系统的大,而且还继续深化发展。在自然科学、工程和技术、国防、国民经济(如金融、管理、人文科学和社会科学)(如语言学、心理学、历史、文学和艺术)和应用在我们的日常生活中是深化和发展。它提供了一个强大的工具,了解世界上的信息对我们来说,它也是重要的部分文化和科学质量新世纪的公民。了微分中值定理在数学和独特的地位拉格朗日中值定理的内容及证明方法有很多种类。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是柯西中值定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。 本文围绕拉格朗日中值定理为核心归纳和总结了一些微分中值定理的证明、推广与应用的方法与技巧，突出了微分中值定理的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握微分中值定理的思想方法；给出了微分中值定理统一的证明方法。 构造辅助函数法是证明微分中值定理的基本方法。不同辅助函数就会有不同的证明方法；辅助函数的构造种类很多，所运用的数学知识范围宽广；微分中值定理的证明关键在于于辅助函数选取。 1.3论文结构 绪论介绍的是微分中值定理的研究背景，研究方法，表明微分中值定理在数学分析以及现实生活中的重要性。 主要讲解微分中值定理的普遍证明证明方法以及其他证明方法。 旨在修改微分中值定理的条件从而推出不同的关于微分中值定理的的一些实用的推论。 专门介绍微分中值定理的的应用，通过精心挑选例题从而达到对微分中值定理的进一步了解的作用。 第二章 微分中值定理的证明 微分中值定理分为：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式。其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（统）称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一。内容是说一段连续 HYPERLINK "http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%85%89%E6%BB%91&action=edit&redlink=1" \o "光滑" 光滑 HYPERLINK "http://www.pcmaniak.info/zh/wiki/%E6%9B%B2%E7%BA%BF.html" \o "曲线" 曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。现通过几何意义、辅助函数结合图形来证明各个定理。 在证明微分中值定理之前先引用一个非常重要的定理—费马定理。 【引理】（费马定理）若 在 处可导且取得极值，则有 该定理实际上就是可导函数取得极值的必要条件。 几何意义：若曲线在某一点处取得极值，且曲线在该点处的切线不垂直于 轴，那么该点处的切线必定平行于 轴。 2.1 罗尔定理的证明 罗尔定理（Rolle）: 如果函数 满足下列条件： ① 在闭区间 上连续， ② 在开区间 内可导， ③ ， 则在区间 内至少存在一点 ，使得 ． 罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。 证明： 因为 在 上连续，所以有最大值与最小值，分别用 与 表示，现分两和情况来讨论： （a）若 = ，则 在 上必为常数，从而结论显然成立。 （b）若 > ，则因 ，使得最大值 与最小值 至少有一个在 内某点 处取得，从而 是 的极值点。由条件②， 在点 处可导，故由费马定理推知 。 2.2拉格朗日中值定理的证明 拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数(该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件)应用罗尔中值定理。由于构造辅助函数的思路不同,拉格朗日中值定理的证法就有多种。 拉格朗日中值定理（Lagrange）: 设函数 满足下列条件： ① 在闭区间 上连续， ② 在开区间 内可导， 则在区间 内至少存在一点 ， 使得 几何意义：若连续曲线在两端点之间的每一点处都有不垂直于 的切线，则曲线在两端点间至少存在一点使得曲线在该点处的切线与两端点的割线平行。 【方法一】 直接作辅助函数 如数学分析中直接作辅助函数来证明拉格朗日中值定理。 作辅助函数 。 显然， =0，且 在 上满足罗尔定理的另两个条件。故存在 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 ，使得 ， 所以 。 从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当 时的特殊情形 一般地，验证函数在闭区间上是否满足上述定理的条件时, 需要同时考虑定理中的条件，只有当定理中所列的条件全部满足了，才能说函数在这个闭区间上满足定理，并能求出定理结论中相应的 。 【方法二】利用坐标旋转构造辅助函数 设函数y = EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 上连续,在 内可导 图1 如图1所示,只要把坐标轴旋转到与直线 重合,在新坐标系下,图形显然满足罗尔定理条件,通过罗尔定理即可得出结论。 为此,可引入旋转坐标变换： 因为 所以有逆变换 记 取旋转角 时, 在 内连续,在 内可导 由 ， 可得 即 ，因此, 满足罗尔定理的条件,故至少存在一点 使 即 。 【方法三】利用分析表达式构造辅助函数 在中学我们就知道一阶导数是可以作为函数的斜率。则由拉格朗日中值定理的结论得 EMBED Equation.DSMT4 ， 可构造辅助函数 ，则 且 在闭区间 上连续，在 内可导， ， 根据罗尔定理，存在一点 使 ，即 ， 定理得证。 或者由拉格朗日中值定理结论 ，辅助函数应满足 ，即 的形式。所以,可构造辅助函数 。 由于 应满足 ，即然 故辅助函数为 所以对 在 内用罗尔定理即可证明。 【方法三】利用向量矢量积的几何意义构造辅助函数 引理1　在平面直角坐标系中,已知 三个顶点的坐标分别为 ，则 面积为 。 于是可以利用引理证明拉格朗日中值定理如下： 若 在 内连续，在 内可导，则 在 内连续，在 内可导，且 所以由罗尔中值定理知：在 内至少存在一点 ，使得 ，而 EMBED Equation.DSMT4 故 。 2.3柯西定理的证明 在前面本文已经证明了拉格朗日中值定理，可以看出如果在拉格朗日定理中加上 的条件，就得到罗尔定理的结论，从而拉格朗日定理包含了罗尔定理。那么在柯西定理中, 若令 ，是否得到拉格朗日定理呢？现则对柯西中值定理进行证明。 柯西中值定理（Cauchy）：如果函数 及 满足以下条件： 在闭区间 上连续； 在开区间 内可导，且 ，那么在 骨至少有一点 ，使得 作辅助函数 因 在区间 上连续，在 内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在 ，使得 ，又因 ， ，故 ，因此 。 作辅助函数 因 与 在 上连续，在 内可导，故 在 上连续，在 内可导，而 ，因此作辅助函数满足罗尔定理的条件 所以由罗尔定理可知至少存在一点 ，使 ，因 故上式可化为： 定理证毕。 2.4泰勒公式的证明 泰勒（Taylor）中值定理： 如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到(n+1)阶的导数，则当 在 内时， 可以表示为 的一个 次多项式 与一个余项 之和： 其中 称为 在 的 次Taylor多项式， 称为 次Taylor多项式的余项。 Lagrange型余项 ， 在 与 之间。 Peano型余项 。 证明： 由假设， 在 内具有直到 阶导数，且 两函数 及 在以 及 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 （ 在 与 之间） 两函数 及 在以 及 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 （ 在 与 之间） 如此下去，经过 次后，得 （ 在 与 之间，也在 与 之间） 因为 ，所以 则由上式得 （ 在 与 之间） 称为 按 幂展开的 次近似多项式 称为 按 的幂展开的n阶泰勒公式 （ 在 与 之间） 所以 从上面的式子可以看出当 时,泰勒公式即为拉格朗日中值定理 （ 在 与 之间）即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广 下面是对上述两个泰勒公式的条件，结论和用途进行简单的对比的 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 ： 拉格朗日余项的泰勒公式 带皮亚诺余项的泰勒公式 条件 在 内有 阶导数，在 上有 阶连续导数，要求较高 在点 处存在 阶导数，要求较低 余项 表明了余项与 之间的 阶导数关系，并且表明了余项是关于 的 阶无穷小量 仅仅表明了余项是较 高阶的无穷小量 用途 可用于 上，例如证明不等式或等式，证明函数或者导数存在某种特点等等 仅仅能够用于 处的邻域，例如求 的极限，确定无穷小的阶，求 ，或者考察（局部）极值问题 2.5微分中值定理统一的证明方法 一般的教材书都是以罗尔定理为基础证明拉格朗日中值定理，然后证明柯西中值定理以及泰勒公式，现在给出一种相反的证明方法，先证明一种广义的微分中值定理，其他微分中值定理作为推论给出。 若函数 和 都在闭区间 具有 阶连续导数，在开区间 内具有有限的导数，假定 ，对于每一个 ，存在一个介于 和 之间的数 ，使得： 为了证明的简便，我们引入以下定理。 【引理】设 在闭区间 上连续， ，若 在 的任意小区间上不恒为常数，则： (1) 的最大值 和最小值 至少有一个不在 的端点处取得。 (2)若 是 在 上的最大值（最小值）点，则存在数列： 使得： 且 ， 为严格的单调有界数列。 【证明】假定 且让 固定，且对于每一个 ，定义函数 如下： 则函数 在闭区间 上连续且具有有限的导数，且有： 对于任意的 ，做 如下： 则 在闭区间 上连续，在开区间 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 上具有有限导数，且 。 下面证明一定存在 ，使得 。 若 在闭区间 的某一个子区间内为常数，则至少存在一点 使得 。 我们不妨设 在 的任意子区间上不恒为常数，则根据引理的(1) 不妨设 不能在端点处取得，即令 ， 。则至少存在 ，使得 ，则由引理的(2)可知，存在数列： ，使得： ， ，且对于任意的 有: ，所以： 但是由于 在 处可导，所以会有如下结论： 所以： 由上可得到： 然后对函数 分别求导有： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 整理可得： 【推论1】（泰勒公式） 假设函数 在含有 的某个开区间 内具有直到(n+1)阶的导数，则当 在 内时， 可以表示为 的一个 次多项式 与一个余项 之和： 【证明】 在广义的微分中值定理中令 ，用 替代 ，对于 ，有 ，化简可得： 【推论2】（柯西中值定理） 如果函数 及 满足以下条件： （1）在闭区间 上连续； （2）在开区间 内可导，且 ，那么在 骨至少有一点 ，使得 【证明】在广义微分中值定理中令 ，便可得到： 其中 介于 之间 故 根据 和 在 上的任意性 令 则上式可以写成： （其中 介于 之间） 【推论3】（拉格朗日中值定理） 设函数 满足下列条件： ① 在闭区间 上连续， ② 在开区间 内可导， 则在区间 内至少存在一点 ，使得 【证明】上面的柯西中值定理中 便可得到： 【推论4】（罗尔定理） 如果函数 满足下列条件： ① 在闭区间 上连续， ② 在开区间 内可导， ③ ， 则在区间 内至少存在一点 ，使得 ． 【证明】在上面的拉格朗日中值定理中当 时 显然有 由上可以得到微分中值定理之间的相互联系：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，而拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，柯西中值定理在广义意义上是泰勒定理的特殊情况，因此三大微分中值定理是紧密联系的。通过简单的变形可知罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理在形式上也具备统一性，这就为微分中值定理寻找统一的证明的方法的可行性提供了有力的支持。 第三章 微分中值定理的推广 从上述所讨论的内容可看到，三大微分中值定理都要求函数 在 上是连续，在 内是可导。接下来我们将讨论将闭区间 ，推广到无限区间 或 ，再把开区间 推广到无限区间 或 ，也即微分中值定理的前提条件改变的话，我们又会得到什么样的结论呢？ 本章节按照上述思路，分别对罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理进行推广，由于所需要讨论的情形较多，本章只讨论集中典型的区间推广，并给出相应的证明。 3.1 罗尔定理的推广 定理1 设 在 内可导,且 ,其中 ,则存在 使得 . 【证明一】 由于 在 内可导,则必有 在 上连续,又有 . (1)当 时,对 在 两点进行连续延拓,使得 ,则有 在 上连续,在 内可导且有 ,所以,满足罗尔定理的条件,存在 使得 . (2)当 时,由于 ,故存在 ,使得 , 所以 在 上连续,在 内可导,满足罗尔定理,即存在 使得 . 综上所述,存在 使得 . 【证明二】 若 ，对于任意的 ，结论显然成立。否则，必然存在 使得 ，不妨设 ，由极限的不等式知，存在 ，使得 ，并且当 ，或者 时都有 ，于是 在 上有最小值，且必定在 内的某一点 取到，由费马定理可知 。 定理2：设函数 在(a, ),内可导，且 ，证明：在 中存在一点 ，使得 ． 【证明】 令 ，且 ，于是，复合函数 在有穷区间 上满足一下条件:（Ⅰ）： 在 内可导；（Ⅱ）： ．于是，令 其中 由定理1知，存在一点 ，使得 ， 其中 显然 ，由于 ，故有 。 定理3：设函数 在 ,内可导，且 ，证明：在 中存在一点 ，使得 。 【证明】 令 ，且 ，于是，复合函数 在有 穷区间 上满足一下条件：（Ⅰ）： 在 内可导；（Ⅱ）： ．于是，令 其中 由定理1知，存在一点 ，使得 ， 其中 显然 ，由于 ，故有 。 定理4：设函数 在（ ， ),内可导，且 ，证明：在（ , )中存在一点 ，使得 ． 【证明】令 ，于是复合函数 在有穷区间 内满足一下条件：（Ⅰ）： 在 内可导；（Ⅱ）： ，于是令 其中 由定理1可知，至少存在一点 ，使得 ，其中 ，由于 ，故有 。 【推论】 设 在 上可导，且 与 符号相反，则存在 ，使得 。 【证明】 不妨设 ，而 ，由极限的不等式性质和题设可知，存在 使得 ，而且 ， 于是 ， 。 这表明 在 上的最大值必定在 内的某一点取到，即存在 ，使得 ，故由费马定理可知 。 3.2拉格朗日中值定理的推广 在此先介绍拉格朗日中值定理的两个简单的推论，即把拉格朗日中值定理中的一个条件 在 可导改为 在 除了有限个点外可导，将会得到如下结论： 【推论1】 假设 在 上连续，在 上除了有限个点外可导，则存在 ，使得 【证明】不妨设 仅在 点处不可导，则分别在区间 上运用拉格朗日中值定理则有 取 ，则会有 【推论2】 设函数 在 上连续，在 上除 个点之外可导，则存在 点 ，和 个正数 其中 ， 使得 【证明】先假设 仅在 点不可导，则在区间 上分别运用拉格朗日中值定理则有 取 使得 这样就满足 ， 并且 这样我们可以用数学归纳法来证明整个定理 假设函数 在 点处是不可导的，由上面可设当 时 成立 其中 ... … 现在假设 则有如下结果 ... … 对上述式子求和便立即可以得到 即当 时也成立，所以推论得证！ 定理5：如果函数 满足条件：在开区间 上可导且 ， 存在，则在 内至少存在一点 ，使得： 。 【证明】令 ， 则易知 ，则根据定理1可得，至少存在一点 ，使得 ， 则在 内至少存在一点 ，使得 ． 故命题得证． 定理6 设 在 上连续,在 内可导,则存在 使得 . 【证明】 作辅助函数 , 很明显 在 连续,在 内可导,且 ,则根据罗尔定理有,存在 使得 ,命题得证. 定理7 若 在有限开区间 内可导,且 与 存在,则至少存在一点 使得 . 【证明】 (1)当 时,由定理1可知,结论成立. (2)当 时,作辅助函数 , 由 在 内可导知, 在 内也可导,又因为 ; , 根据定理1可知,至少存在一点 使得 .进而有 , 即 . 综上所述,存在一点 使得 . 3.3柯西中值定理的推广 定理8 设 在 连续,在 内可导,对于任意 ,有 .则存在 使得 . 【证明】作一个辅助函数 , 则 在 连续,在 内可导,且 , 所以 在 上满足罗尔定理,即存在 使得 . 因为 ,所以, , 即得 . 定理9 若 在有限或无穷区间 中的任意一点有有限导数 和 ,任意 , , , , , 都存在,则至少存在一点 使得 . 【证明】 首先证明 . 假设 即 ,根据定理1可知,至少存在一点 使得 .与已知条件相互矛盾. 另外,作辅助函数 由已知得 在 可导且 , , 所以, .根据定理1可知,至少存在一点 使得 即 3.4微分中值定理的推广 定理10：设函数 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则在 内至少存在一点 ,使得： 【证明】 作辅助函数 则 在 上连续,在 内可导，且 ，故由罗尔定理知，至少存在一点 ，使得 ，即 当 时，就可得到柯西中值定理； 当 ，可得到拉格朗日中值定理. 所以定理10可以看作是微分中值定理的一般形式. 假设我们把罗尔定理作为一般定理的特殊情形，定理10可以用另外一种方法来证明。 【另证】 由于 在 上连续，则 在 上必有最大值和最小值.以及 ，所以最大值和最小值至少有一个在 内的某一点 处取得，因为 在 内每一点可导，所以 在 处可导.由于 是最大值（最小值也一样），所以 也是极大值.由于 在 处可导，由极值存在的必要条件知 ，即 3.5新中值定理 定理11: 设函数 和 在闭区间 上连续，在 上可导，则在 内存在一点 ，使得 ． 【证明】 令 ，则 ，又有 ， ． 易知 在闭区间 上连续，在 上可导，故运用拉格朗日中值定理可得，存在一点 ，使得 ， 即 ，所以在 内存在一点 ，使得 ， 故定理得证． 定理12: 设函数 和 在闭区间 上连续，在 上可导，且在闭区间 上， 有意义， ．则在 内存在一点 ，使得 ． 【证明】 令 ， ，易知 和 在区间 上满足柯西中值定理条件，故有， , 即 ， 所以在 内存在一点 ，使得 ， 故定理得证． 第四章 微分中值定理的应用 本文按照证明—推广—应用的顺序，先给出了微分中值定理的普遍的证明方法，然后再对微分中值定理进行了多方面的推广，本章所讨论的是微分中值定理的应用。微分中值定理是微分学的基本定理，在证明解的存在性问题以及不等式和等式等领域有着非常广泛应用。 本章着重选取了一些具有代表性的例子来显示微分中值定理的应用价值，以及微分中值定理在微分学中的重要性，同时也表明了灵活运用微分中值定理对于解决难题很有帮助。 4.1 用微分中值定理证明不等式 用微分中值定理来证明不等式的思路是对不等式进行变形，并且验证所给的前提条件是否满足微分中值定理的基本要求，例如利用拉格朗日中值定理证明不等式，即：若 在 上连续，在 内可导，由拉格朗日中值定理可知存在 使得 ；如果可以得到 的适当估计式，就可以得到关于 的有关不等式。 例1：设函数 满足下列条件：在闭区间 上连续，在开区间 内可导，，且 ，以及 ，证明：对于任意的 ，有如下不等式成立 【分析与证明】：联系 与 的是拉格朗日中值定理，不妨设 ，分两种情形来讨论： 若 ，直接应用拉格朗日中值定理得到 得证 若 ，当 时，利用条件 ，分别在 上运用拉格朗日中值定理可知存在 使得 ①当 且 时，有 ②当 ，且 时，同样有 因此对于任意的 总会有 成立 例2 设 ，且 ，求证 【分析】把不等式改写成 因为 ， ，又因为 ，对于 ，应用柯西中值定理即可。 【证明】令 ，在区间 上应用柯西中值定理，即可知道存在满足 的 使得 ， 即 由于 ，故由上式可得 例3 设 ，证明： 【证明】 令 ，在 上使用拉格朗日中值定理，有 ， 其中 ，很显然 在 上是单调减少的，故 综合可得 。 例4 设 ，证明不等式： 【证明】 利用微分中值定理，设函数 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 由拉格朗日中值 定理知，至少存在一点 使得 由于 ，所以有 ，以及 从而 。 例5 设 在 上连续，在 上可导，并且满足 ， ，求证： 【分析与证明】由条件容易得到 ，原不等式可以转化为证明： 在此引进辅助函数 ，上式又可以写成 这时明显可以运用柯西中值定理 由假设可知 在 上可导，且 ，于是由柯西中值定理可知，存在 使得 同样对于 与 可以在 上使用柯西中值定理，即存在 ，使得 因此 4.2 用微分中值定理证明方程根的存在性 例1 设 在 上可微，且 ， 与 同号，证明：方程 在 内至少有两个不同的根。 【分析】 本题可以由 与 同号和 证明函数 存在另一个零点，然后再用罗尔定理，另一种证明方法是 在 内取得最大值和最小值，再用费马定理。 【证明一】由于 与 同号，不妨设 与 ，于是由 以及右导数的定义知，必定存在一点 ，使得 由 以及左导数的性质可知，必然存在一点 ，使得 ，故由零点定理可知，必定存在一点 ，使得 ，在 上分别使用罗尔定理知存在 ，使得 ， 。 所以方程 在 内至少有两个不同的根。 【证明二】因为 在区间 上可微，所以 在 至少取得最大 值和最小值各一次，又由【证明一】可知，在区间 内存在两点 ，使得 ， ，于是有 ， ， 又因为 ，所以最大值 和最小值 必定在区间 内取得，即必有 ，使得 ， 。由因为 在 上可微由费马定理可知， ， 。 所以方程 在 内至少有两个不同的根。 例2 设 在 上三阶可导，并且满足 。设 ，求证：在 内存在 ，使得 。 【分析】通过命题分析把需要讨论的中值命题化为可直接应用的形是求解这类问题的基本途径。因此通常需要构造辅助函数或者改变讨论区间，有时候还要反复运用微分中值定理，此处需要反复应用罗尔中值定理。 【证明】由于 ，以及 在 上可导，所以存在 使得 。又 ，于是由 ，和 ，以及 在 上可导，可知存在 ，使得 ，又因为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，于是由 ， ，以及 在 上可导 ，可知存在 ，使得 。 例3 设 在 上连续，并且满足 ， 求证： 在 内至少存在两个零点。 【分析】 为证明 在 内至少存在两个零点，只需证明 的原函数 ，在闭区间 上有三点的函数值相等。由于 ，所以只需再考查 的原函数 ，证明 的导数在 上存在零点即可。 【证明】 令 ， ，很明显 在 上可导，且 ，又因为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 对 在闭区间 上运用罗尔定理可知，存在 ，使得 。 现在由于 在闭区间 上可导，而且 ，对于 分别在 上运用罗尔中值定理可知，存在 使得 ， 。 即 在 内至少存在两个零点。 4.3 用微分中值定理证明等式 下面所要证明的等式也即是导数的特征，运用微分中值定理可以得到一些形式比较简洁而又实用的结论。 例1 设 在闭区间 上满足 ，试证明存在唯一的 ，使得 。 【分析】证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。 【证明】存在性。 ∵ 在 上连续，在 内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点 ，使得 。 唯一性的证明如下： 【证明一】用反证法。假设另外存在一点 ，使得 ， 又因为 在 （或 ）上连续，在 （或 ）内可导， 所以由罗尔中值定理知，至少存在一点 （或 ），使得 ，这与 在闭区间 上满足 矛盾。从而结论成立。 【证明二】因为 在闭区间 上满足 ，所以 在 单调递增， 从而存在存在唯一的 ，使得 。 例2 设 在 上连续，在 上可导，且满足 ，又满足 在 上连续，求证：存在 使得 。 【分析】题目要求是对于任何的 ， 其中 是在 上的连续函数，在 可导，而且当 时满足如下条件的任意函数： ，且 这里实际上是一个简单的常微分方程求解的问题。只要 ，则可以直接得到 ，且 。 【证明】设 是 的某一个原函数，并且令 ，做辅助函数 ，对函数 在 上应用罗尔定理即可知结论成立。 例3 设 ， 在 上连续，在 上可导，且满足 ，试证明：存在 ，使得： 【分析】原式等价于证明： 在 存在零点， 在 存在零点， 对于常微分方程 求解可得： 所以原式等价于证明： 在 存在零点， 在 存在零点， 【证明】令 ，则 在在 上连续，在 上可导，且 ，此时用罗尔定理可知，存在 ，使得 化简即可得到： 例4 设 ， 在 上连续，在 上可导，试证明：存在 ，使得： 【证明一】将右端等式改写成 令 ， ，则 ， 在 上满足柯西中值定理的条件，于是至少存在 使得： 又因为 ， 将 ， 代入上式，即可得： 【证明二】令 ， 则原待证等式可以改写成 两端同时除以 ，并改写成 由此可知，若令 ，则 在 上连续，在 上可导，且 即 在 上满足罗尔定理的条件，因此至少存在 使得： 所以至少存在 使得： 例5 设 在 上连续，在 上可导，而且满足 ，求证：存在 使得： 【分析】把原待证等式改写成 并逐次使用柯西中值定理与拉格朗日中值定理即可。 【证明】记 ，由柯西中值定理可知，存在 ，使得: ， 即 ， 由拉格朗日中值定理知，存在 使得： ，代入上式即可得到： 4.4 用泰勒公式求极限 极限是数学分析的基本组成部分，求极限的方法有很多，包括极限的四则运算和幂指数运算法则，对于 等不定式极限可以使用洛必达法则（洛必达法则实际上是柯西中值定理的一个推论），另外还有利用变量替换法和两个重要极限求极限，利用等价无穷小因子替换求极限，利用函数的极限求极限，放缩法求极限，以及递归数列求极限和利用导数的定义求极限。但是有时候上述方法都