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相交线与平行线重点习题解析

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相交线与平行线重点习题解析相交线与平行线重点习题解析   相交线、平行线的知识在初中几何中应用非常广泛,题型常以填空题或选择题的形式出现,多以由结论探索条件为主要题型.   题型一 余角概念的运用   【例1】如图,AOB是一条直线,∠AOC=90°,∠DOE=90°,问图中互余的角有哪几对?哪些角是相等的?   INCLUDEPICTURE "http://www.swxl.com.cn:81/ybkt/UploadFiles_3584/200706/20070620170315968.gif" \* MERGEFORMATINET ...

相交线与平行线重点习题解析
相交线与平行线重点习 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解析   相交线、平行线的知识在初中几何中应用非常广泛,题型常以填空题或选择题的形式出现,多以由结论探索条件为主要题型.   题型一 余角概念的运用   【例1】如图,AOB是一条直线,∠AOC=90°,∠DOE=90°,问图中互余的角有哪几对?哪些角是相等的?   INCLUDEPICTURE "http://www.swxl.com.cn:81/ybkt/UploadFiles_3584/200706/20070620170315968.gif" \* MERGEFORMATINET   【思考与 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】 由互为余角的定义,只需找出图中和为90°的角即可.   解: 因为 ∠AOC=90°,∠AOB=180°,   所以 ∠BOC=90°,∠1与∠2、∠3与∠4互余.   因为 ∠DOE=90°, 所以 ∠2与∠3互余.   因为 ∠1+∠DOE+∠4=180°,∠DOE=90°,   所以 ∠1+∠4=90°.即∠1与∠4互余.   可以得到互余的角有:∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠4与∠1.   因为 ∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,   所以 ∠1=∠3(同角的余角相等).   因为∠3与∠4互余,∠3与∠2互余,   所以 ∠2=∠4(同角的余角相等).   可以得出相等的角有:∠1=∠3,∠2=∠4,∠AOC=∠DOE=∠BOC.   题型二 对顶角的定义及其性质的运用   【例2】 如图,已知直线AB,CD,MN相交于O,若∠1=22°,∠2=46°,则∠3的度数为                        (  ).      A.∠1=∠3    B.∠2=∠3   C.∠4=∠5    D.∠2+∠4=180°   【思考与解】 这道题主要考查平行线的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,观察图形,发现∠1和∠3是一组内错角,∠4和∠5 是一组同位角,∠2和∠4是一组同旁内角,而∠2和∠3三种角都不是.因此不能判定直线l1∥l2.所以应选B.   题型三 垂线的定义和性质   【例3】如图,已知FE⊥AB于E,CD是过E的直线,且∠AEC=120°,则∠DEF=      .     【思考与分析】我们仔细阅读题目,经过思考发现有两种解法,第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质, 因为∠AEC和∠DEB是对顶角,∠AEC=∠DEB=120°,又因为 FE⊥AB,∠BEF=90°,所以∠DEF=120°-90°=30°;第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义,由∠AEC和∠AED互为邻补角,可得∠AED=60°, 再由FE⊥AB于E,可得∠AEF=90°,则∠DEF=90°-60°=30°.   解:∠DEF=30°.   【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系,解答这类题目时,我们要清楚地知道有关概念,比如垂直,对顶角,邻补角等.   题型四、互余、互补魅力   【例4】如图3,先找到长方形纸的宽DC的中点E,将∠C过E点折起任意一个角,折痕是EF,再将∠D过E点折起,使DE和C E重合,折痕是GE,请探索下列问题:   (1)∠FEC 和∠GEC 互为余角吗?为什么?   (2)∠GEF是直角吗?为什么?   (3)在上述折纸图形中,还有哪些互为余角? 还有哪些互为补角?   解:(1)由折纸实验,知∠3=∠1,∠4=∠2,而∠1+∠2+∠3+∠4=1800 所以∠1+∠2=900,即∠FEC +∠GEC =900,故∠FEC 和∠GEC 互为余角.   (2)因为∠GEF=∠1+∠2=900,,所以∠GEF是直角.   (3)∠3和∠4,∠1和∠EFG互为余角,∠AGF和∠DGF、∠CEC 和∠DEC 互为补角等等(同学们还可以举出一些例子).   题型五 平行线的性质与判定证明   【例5】如图,如果∠1=∠2,∠C=∠D,那么∠A=∠F吗?为什么?     【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.∠2和∠3互为对顶角,∠2=∠3,由∠1=∠2可得∠1=∠3,而∠1和∠3是一对同位角,由平行线的判定条件可知BD∥CE,再根据平行线的性质可得∠4=∠C.又因为已知∠C=∠D,我们可以得到∠4=∠D,从而DF∥CA,从而可以推出∠A=∠F.   解:因为∠1=∠2,∠2=∠3,   所以∠1=∠3.   所以BD∥CE.   所以∠4=∠C.   又因为∠C=∠D,   所以∠4=∠D   所以DF∥CA.   所以∠A=∠F.   【例5】 如图所示,DE、BE分别为∠BDC,∠DBA的角平分线,且∠DEB=∠1+∠2.  求证:(1) AB∥CD ;   (2)∠DEB=90°.      【思考与分析】(1) 欲证AB∥CD,就应该设法去找同位角,内错角相等,或同旁内角互补,本题直接取证∠CDB与∠ABD互补有些困难,而∠1+∠2=∠DEB,若以E点为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2,则可构造EF∥CD,由角平分线不难证明EF∥AB,故可证得AB∥CD.(2) 由(1) 证得AB∥CD后,由同旁内角互补易证,∠1+∠2=90°,可得∠DEB=90°.   解:(1) 以点E为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2.   ∵ DE为∠BDC的平分线(已知),∴ ∠2=∠EDC(角平分线定义).   ∴ ∠FED=∠EDC(等量代换).   ∴ EF∥CD(内错角相等,两直线平行).   ∵ ∠FEB=∠DEB-∠DEF=∠DEB-∠2,∠1+∠2=∠DEB(已知),   ∴ ∠FEB=∠1(等量代换).   ∵ ∠1=∠ABE(角平分线定义),   ∴ ∠FEB=∠ABE(等量代换).   ∴ EF∥AB(内错角相等,两直线平行).   ∴ ∠DFE=∠FBA(两直线平行,同位角相等).   又∵ EF∥CD,∴∠CDF+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补).   ∴∠CDF+∠FBA=180°(等量代换).   ∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).   (2) ∵ AB∥CD(已知),   ∴ ∠BDC+∠DBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).   又∵ ∠1= ∠DBA, ∠2= ∠BDC(角平分线定义),   ∴ ∠1+∠2=90°.   ∵ ∠1+∠2=∠DEB,   ∴ ∠DEB=90°.   【小结】 (1) 综合运用了平行线的性质和判定定理,有利于帮助我们转化角或找到角与角之间的关系,也有利于我们确定两条直线的位置关系.  (2) 对条件进行单个分析或综合分析,对结论进行转化,这是解决几何问题甚至是数学问题,找寻思路的常用方法,要加强体会 题型六 利用平行线性质与判定进行运算   【例7】 如图,AB∥CD,若∠2=135°,则么∠1的度数是  (  )      A.30°   B.45°   C.60°   D.75°   【思考与分析】 本题主要考查平行线的性质、互为邻补角概念.   解:∠2与∠1的邻补角互为内错角,所以∠1=180°-∠2=45°.   【小结】 解答本题需要注意两点:第一,两直线平行,内错角相等,第二,互为补角与互为邻补角的区别.   题型七 条件开放性   【例8】 如图,直线AB、CD与直线EF相交,共形成八个角,请你添加一个条件,使得AB与CD平行.      【思考与解】 要识别两直线平行,常用的方法有三种:   ①利用“同位角相等,两直线平行”,可添加∠1=∠5,∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7中的任一个;   ②利用“内错角相等,两直线平行”,可添加∠3=∠5,∠4=∠6中的任一个;   ③利用“同旁内角互补,两直线平行”,可添加∠4+∠5=180°,∠3+∠6=180°中的任一个;   另外,还可以通过“对顶角相等”进行转化,可以添加∠1=∠7,∠2=∠8,∠1+∠8=180°,∠2+∠7=180°,∠4+∠7=180°,∠3+∠8=180°,∠2+∠5=180°,∠1+∠6=180°中的任一个.   【小结】 条件开放性 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 的特点是要得到某一个结论还缺少条件,需要补充完整,其解决方法类似于分析法,假如结论成立,逐步探索其成立的条件.   题型八 学科间的综合   【例9】 已知:如图,∠AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=40°.在OB上有一点P,从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则∠QPB的度数是(  )      A.60°   B.80°   C.100°   D.120°   【思考与分析】 观察题目,我们可以利用平行线的性质,“两直线平行,同位角相等”,以及PQ与OA的夹角,与QR与OA的夹角相等的原则,可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°,借助平角的定义,则∠QPB=80°.   解:B.   【小结】在学习的过程中我们一定要注意学科间的综合,这是中考命题的热.   题型九 尺规作图   【例10】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m、n的距离也必须相等,发射塔P应修建在什么位置?     【思考与分析】 这是一道实际 应用题 小学应用题 下载一年级应用题应用题一年级一年级下册数学应用题一年级下册应用题 ,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点P应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点P应是它们的交点.   解:(1)作两条公路夹角的平分线OC;   (2)作线段AB的垂直平分线EF;则射线OC与直线EF的交点P就是发射塔的位置.     【小结】以尺规作图解决实际问题是近几年中考的常见题型,应引起注意.   题型十 垂线性质的应用   【例11】一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M.N是分别位于AB两侧的村庄.   (1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹).   (2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村越来越近?在哪一段路上,距离村庄N越来越近,而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论,不必证明).   【思考与分析】根据“垂线段最短”的性质,过M、N两点分别做AB的垂线MP、NQ.当汽车行驶到垂足的位置时,汽车离村庄的距离最近;离开村庄时,距离越来越远. 解:(1)过点M画MP⊥AB,垂足为P,过点N画NQ⊥AB,垂足为Q,点P、Q就是要画的两 点(如图).   (2)当汽车从A向B行驶时,在AP这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ这段路上,离村庄M越来越远,离村庄N越来越近.   点拨:本题主要是利用垂线段的性质来解决问题的,把实际问题“模型”化.   题型十一 探究性问题   【例12】 观察图1~图5.   (1)如图1,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠BED,你能说明为什么吗?   反之,若∠B+∠D=∠BED,直线AB与CD有什么位置关系?请说明理由;   (2)若将点E移至图2所示位置,此时∠B、∠D、∠BED之间有什么关系?请说明理由;   (3)若将E点移至图3所示位置,情况又如何?   (4)在图4中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?   (5)在图5中,若AB∥CD,又得到什么结论?   分析:要说明(1)的结论成立,若过点E作EF∥AB,则由平行线的特征即可说明;其余几个问题也都可以按照此方法说明.   解:(1)如图1,过点E作EF∥AB,则EF∥CD,∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF,而∠BED=∠BEF+∠DEF,故∠B+∠D=∠E.   反之,若∠B+∠D=∠E,则AB∥CD.   理由:如图1,过点E作EF∥AB,则∠B=∠BEF,又因为∠B+∠D=∠E,所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D,所以EF∥CD,故AB∥CD.   (3)若将点E移至图2所示位置,此时有∠B+∠BED+∠D=360°.理由:过点E作EF∥AB,则∠B+∠BEF=180°.因为AB∥CD,所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°,故∠B+∠BED+∠D=360°.   (3)若将E点移至图3所示位置,此时有结论:∠BED+∠D=∠B.   理由:因为AB∥CD,所以∠B=∠BMD,而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E,故∠E+∠D=∠B.   (4)仿照(1)可以猜想:在图3-4中,若AB∥CD,则有结论:∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.   提示:可以分别过点E、F、G作AB的平行线,仿照(1)即可说明.   (5)由(1)和(4)同样可以猜想:在图5中,若AB∥CD,则有结论:∠E1+∠E2+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.理由略,可仿照(4)来说明.   说明:处理这类问题一定要从特殊推导出一般,并能大胆地猜想、验证,从而得到正确的结果. 图3 � EMBED PBrush ��� PAGE _1211552356.unknown _1253171609.unknown _1253171617.unknown _1211552286.unknown
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分类:初中数学
上传时间:2013-08-29
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