相交线与平行线重点习
题
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解析
相交线、平行线的知识在初中几何中应用非常广泛,题型常以填空题或选择题的形式出现,多以由结论探索条件为主要题型.
题型一 余角概念的运用
【例1】如图,AOB是一条直线,∠AOC=90°,∠DOE=90°,问图中互余的角有哪几对?哪些角是相等的?
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【思考与
分析
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】 由互为余角的定义,只需找出图中和为90°的角即可.
解: 因为 ∠AOC=90°,∠AOB=180°,
所以 ∠BOC=90°,∠1与∠2、∠3与∠4互余.
因为 ∠DOE=90°, 所以 ∠2与∠3互余.
因为 ∠1+∠DOE+∠4=180°,∠DOE=90°,
所以 ∠1+∠4=90°.即∠1与∠4互余.
可以得到互余的角有:∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4,∠4与∠1.
因为 ∠1与∠2互余,∠2与∠3互余,
所以 ∠1=∠3(同角的余角相等).
因为∠3与∠4互余,∠3与∠2互余,
所以 ∠2=∠4(同角的余角相等).
可以得出相等的角有:∠1=∠3,∠2=∠4,∠AOC=∠DOE=∠BOC.
题型二 对顶角的定义及其性质的运用
【例2】 如图,已知直线AB,CD,MN相交于O,若∠1=22°,∠2=46°,则∠3的度数为 ( ).
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3
C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
【思考与解】 这道题主要考查平行线的判定
方法
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,观察图形,发现∠1和∠3是一组内错角,∠4和∠5 是一组同位角,∠2和∠4是一组同旁内角,而∠2和∠3三种角都不是.因此不能判定直线l1∥l2.所以应选B.
题型三 垂线的定义和性质
【例3】如图,已知FE⊥AB于E,CD是过E的直线,且∠AEC=120°,则∠DEF= .
【思考与分析】我们仔细阅读题目,经过思考发现有两种解法,第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质, 因为∠AEC和∠DEB是对顶角,∠AEC=∠DEB=120°,又因为 FE⊥AB,∠BEF=90°,所以∠DEF=120°-90°=30°;第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义,由∠AEC和∠AED互为邻补角,可得∠AED=60°, 再由FE⊥AB于E,可得∠AEF=90°,则∠DEF=90°-60°=30°.
解:∠DEF=30°.
【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系,解答这类题目时,我们要清楚地知道有关概念,比如垂直,对顶角,邻补角等.
题型四、互余、互补魅力
【例4】如图3,先找到长方形纸的宽DC的中点E,将∠C过E点折起任意一个角,折痕是EF,再将∠D过E点折起,使DE和C
E重合,折痕是GE,请探索下列问题:
(1)∠FEC
和∠GEC
互为余角吗?为什么?
(2)∠GEF是直角吗?为什么?
(3)在上述折纸图形中,还有哪些互为余角?
还有哪些互为补角?
解:(1)由折纸实验,知∠3=∠1,∠4=∠2,而∠1+∠2+∠3+∠4=1800
所以∠1+∠2=900,即∠FEC
+∠GEC
=900,故∠FEC
和∠GEC
互为余角.
(2)因为∠GEF=∠1+∠2=900,,所以∠GEF是直角.
(3)∠3和∠4,∠1和∠EFG互为余角,∠AGF和∠DGF、∠CEC
和∠DEC
互为补角等等(同学们还可以举出一些例子).
题型五 平行线的性质与判定证明
【例5】如图,如果∠1=∠2,∠C=∠D,那么∠A=∠F吗?为什么?
【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.∠2和∠3互为对顶角,∠2=∠3,由∠1=∠2可得∠1=∠3,而∠1和∠3是一对同位角,由平行线的判定条件可知BD∥CE,再根据平行线的性质可得∠4=∠C.又因为已知∠C=∠D,我们可以得到∠4=∠D,从而DF∥CA,从而可以推出∠A=∠F.
解:因为∠1=∠2,∠2=∠3,
所以∠1=∠3.
所以BD∥CE.
所以∠4=∠C.
又因为∠C=∠D,
所以∠4=∠D
所以DF∥CA.
所以∠A=∠F.
【例5】 如图所示,DE、BE分别为∠BDC,∠DBA的角平分线,且∠DEB=∠1+∠2.
求证:(1) AB∥CD ;
(2)∠DEB=90°.
【思考与分析】(1) 欲证AB∥CD,就应该设法去找同位角,内错角相等,或同旁内角互补,本题直接取证∠CDB与∠ABD互补有些困难,而∠1+∠2=∠DEB,若以E点为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2,则可构造EF∥CD,由角平分线不难证明EF∥AB,故可证得AB∥CD.(2) 由(1) 证得AB∥CD后,由同旁内角互补易证,∠1+∠2=90°,可得∠DEB=90°.
解:(1) 以点E为顶点,DE为一边在∠DEB的内部作∠DEF=∠2.
∵ DE为∠BDC的平分线(已知),∴ ∠2=∠EDC(角平分线定义).
∴ ∠FED=∠EDC(等量代换).
∴ EF∥CD(内错角相等,两直线平行).
∵ ∠FEB=∠DEB-∠DEF=∠DEB-∠2,∠1+∠2=∠DEB(已知),
∴ ∠FEB=∠1(等量代换).
∵ ∠1=∠ABE(角平分线定义),
∴ ∠FEB=∠ABE(等量代换).
∴ EF∥AB(内错角相等,两直线平行).
∴ ∠DFE=∠FBA(两直线平行,同位角相等).
又∵ EF∥CD,∴∠CDF+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠CDF+∠FBA=180°(等量代换).
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
(2) ∵ AB∥CD(已知),
∴ ∠BDC+∠DBA=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵ ∠1=
∠DBA, ∠2=
∠BDC(角平分线定义),
∴ ∠1+∠2=90°.
∵ ∠1+∠2=∠DEB,
∴ ∠DEB=90°.
【小结】 (1) 综合运用了平行线的性质和判定定理,有利于帮助我们转化角或找到角与角之间的关系,也有利于我们确定两条直线的位置关系.
(2) 对条件进行单个分析或综合分析,对结论进行转化,这是解决几何问题甚至是数学问题,找寻思路的常用方法,要加强体会
题型六 利用平行线性质与判定进行运算
【例7】 如图,AB∥CD,若∠2=135°,则么∠1的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【思考与分析】 本题主要考查平行线的性质、互为邻补角概念.
解:∠2与∠1的邻补角互为内错角,所以∠1=180°-∠2=45°.
【小结】 解答本题需要注意两点:第一,两直线平行,内错角相等,第二,互为补角与互为邻补角的区别.
题型七 条件开放性
【例8】 如图,直线AB、CD与直线EF相交,共形成八个角,请你添加一个条件,使得AB与CD平行.
【思考与解】 要识别两直线平行,常用的方法有三种:
①利用“同位角相等,两直线平行”,可添加∠1=∠5,∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7中的任一个;
②利用“内错角相等,两直线平行”,可添加∠3=∠5,∠4=∠6中的任一个;
③利用“同旁内角互补,两直线平行”,可添加∠4+∠5=180°,∠3+∠6=180°中的任一个;
另外,还可以通过“对顶角相等”进行转化,可以添加∠1=∠7,∠2=∠8,∠1+∠8=180°,∠2+∠7=180°,∠4+∠7=180°,∠3+∠8=180°,∠2+∠5=180°,∠1+∠6=180°中的任一个.
【小结】 条件开放性
试题
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的特点是要得到某一个结论还缺少条件,需要补充完整,其解决方法类似于分析法,假如结论成立,逐步探索其成立的条件.
题型八 学科间的综合
【例9】 已知:如图,∠AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=40°.在OB上有一点P,从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则∠QPB的度数是( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
【思考与分析】 观察题目,我们可以利用平行线的性质,“两直线平行,同位角相等”,以及PQ与OA的夹角,与QR与OA的夹角相等的原则,可得出∠AQR=∠OQP=∠AOB=40°,借助平角的定义,则∠QPB=80°.
解:B.
【小结】在学习的过程中我们一定要注意学科间的综合,这是中考命题的热.
题型九 尺规作图
【例10】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m、n的距离也必须相等,发射塔P应修建在什么位置?
【思考与分析】 这是一道实际
应用题
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,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点P应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点P应是它们的交点.
解:(1)作两条公路夹角的平分线OC;
(2)作线段AB的垂直平分线EF;则射线OC与直线EF的交点P就是发射塔的位置.
【小结】以尺规作图解决实际问题是近几年中考的常见题型,应引起注意.
题型十 垂线性质的应用
【例11】一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M.N是分别位于AB两侧的村庄.
(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹).
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村越来越近?在哪一段路上,距离村庄N越来越近,而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论,不必证明).
【思考与分析】根据“垂线段最短”的性质,过M、N两点分别做AB的垂线MP、NQ.当汽车行驶到垂足的位置时,汽车离村庄的距离最近;离开村庄时,距离越来越远.
解:(1)过点M画MP⊥AB,垂足为P,过点N画NQ⊥AB,垂足为Q,点P、Q就是要画的两
点(如图).
(2)当汽车从A向B行驶时,在AP这段路上,离两个村庄越来越近;在PQ这段路上,离村庄M越来越远,离村庄N越来越近.
点拨:本题主要是利用垂线段的性质来解决问题的,把实际问题“模型”化.
题型十一 探究性问题
【例12】 观察图1~图5.
(1)如图1,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠BED,你能说明为什么吗?
反之,若∠B+∠D=∠BED,直线AB与CD有什么位置关系?请说明理由;
(2)若将点E移至图2所示位置,此时∠B、∠D、∠BED之间有什么关系?请说明理由;
(3)若将E点移至图3所示位置,情况又如何?
(4)在图4中,AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?
(5)在图5中,若AB∥CD,又得到什么结论?
分析:要说明(1)的结论成立,若过点E作EF∥AB,则由平行线的特征即可说明;其余几个问题也都可以按照此方法说明.
解:(1)如图1,过点E作EF∥AB,则EF∥CD,∠B=∠BEF.所以∠D=∠DEF,而∠BED=∠BEF+∠DEF,故∠B+∠D=∠E.
反之,若∠B+∠D=∠E,则AB∥CD.
理由:如图1,过点E作EF∥AB,则∠B=∠BEF,又因为∠B+∠D=∠E,所以∠BEF+∠D=∠E.所以∠DEF=∠D,所以EF∥CD,故AB∥CD.
(3)若将点E移至图2所示位置,此时有∠B+∠BED+∠D=360°.理由:过点E作EF∥AB,则∠B+∠BEF=180°.因为AB∥CD,所以EF∥CD.所以∠D+∠DEF=180°,故∠B+∠BED+∠D=360°.
(3)若将E点移至图3所示位置,此时有结论:∠BED+∠D=∠B.
理由:因为AB∥CD,所以∠B=∠BMD,而∠BMD=180°-∠DME=∠D+∠E,故∠E+∠D=∠B.
(4)仿照(1)可以猜想:在图3-4中,若AB∥CD,则有结论:∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.
提示:可以分别过点E、F、G作AB的平行线,仿照(1)即可说明.
(5)由(1)和(4)同样可以猜想:在图5中,若AB∥CD,则有结论:∠E1+∠E2+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.理由略,可仿照(4)来说明.
说明:处理这类问题一定要从特殊推导出一般,并能大胆地猜想、验证,从而得到正确的结果.
图3
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