2015全国高中数学联赛模拟试
题
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02填空题（每小题8分，共64分）在如下图所示的正方体中，二面角等于（用反三角
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表示）如果三角形的三个内角满足依次成等差数列，则角的最大值是3.实数列满足条件：，则通项公式。4.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则5.在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是6.已知正实数与非负实数满足(1);(2)，则的最大值为__________．7.已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是简答题（本大题共3小题，共56分）（16分）设数列的前项和组成的数列满足，已知求数列的通项公式。（20分）设是多项式方程的三个根。（1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：（20分）如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点，求证：三条直线和共点。2015全国高中数学联赛模拟试题02填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体中，二面角等于解：2.如果三角形的三个内角满足依次成等差数列，则角的最大值是解：.记，则.由于至多一个负数，故，且.即.消去后，得到，方程有实根，所以，故即且时等号成立3.实数列满足条件：，则解：.计算前几项可以猜出结果，再用数学归纳法可以证明.4.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则解：.不妨假定设.则的斜率为，的斜率为，因此，解得又，所以，点.从而，所以5.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是6.已知正实数与非负实数满足(1);(2)，则的最大值为__________．解：.由均值不等式知:,于是,即.取满足条件,且取到最大值.7.已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．解：147.设这20块砝码质量为.首先用归纳法证明:.（1）当时,显然,（2）设结论对成立，若，则由知克的物品无法称量，矛盾！于是，，所以，所以，即，又当，时，符合条件，故最小值为147克．8.在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列的前项和组成的数列满足，已知求数列的通项公式。10.（20分）设是多项式方程的三个根。（1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：11.（20分）如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点，求证：三条直线和共点。解答三：利用赛瓦定理2015全国高中数学联赛模拟试题02一（本题满分40分）对任意实数，定义运算“”为：．在直角坐标系中，设点集，求所对应的平面区域的面积．二（本题满分40分）如图，在中，，为的垂心，M为边BC的中点，点在边上且满足，点在直线上的射影为.证明：的外接圆与的外接圆相切.三（本题满分50分）整数满足.求的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组四（本题满分50分）设整数,，，对，记为满足，，的数组的个数，类似定义，.证明：.2015全国高中数学联赛模拟试题02一（本题满分40分）对任意实数，定义运算“”为：．在直角坐标系中，设点集，求所对应的平面区域的面积．解：根据运算“”的定义，为整数，进而，①其中表示的小数部分．同理可知．②比较①、②可知，当且仅当．由于，而与均是偶数，故上式成立的充分必要条件是，且．③若，则，．若，则，．若，则，．当取自、、中不同的区间时，③不成立．对，记，则根据上述讨论知，所对应的平面区域面积，因此点集所对应的平面区域面积为．二（本题满分40分）如图，在中，，为的垂心，M为边BC的中点，点在边上且满足，点在直线上的射影为.证明：的外接圆与的外接圆相切.证明：联接并延长交的外接圆于点，作与的外接圆交于点，易知关于对称，故,因此，由此推出，故为外接圆的直径.又由，结合知四边形为平行四边形，所以过点.设为在上的射影，延长交的外接圆于点，由得，共圆，以为直径.由有，所以（相等的圆周角所对弦长相等），故有.由得，，所以，结合有，由此推出，所以点共线，由得，四点共圆.过点作外接圆的切线，由知，也是圆的切线，故的外接圆与的外接圆相切，证毕.三（本题满分50分）整数满足.求的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组解:设原式,易知:.(1),则,故同号,同号.由于,故只须考虑如下两种情况:(i)；(ii);.对于(i),由,知:.对于(ii),由,知:.(2).则,所以.若,则,等号成立当且仅当.同理，若,则,等号成立当且仅当.(3).此时,若,则.若,则,取等号时有.但此时,与为整数矛盾!故等号取不到.若,则,,取等号时有.但,,这不可能!故,取等号时,.由知:.由知,中必有.若,则,故或.同理，若,则,或.综上所述,最小值为,取等号当且仅当为之一.四（本题满分50分）设整数,，，对，记为满足，，的数组的个数，类似定义，.证明：.证明：对，记，，，则由的定义知，．又记，，则，．考虑的元素个数．一方面，由于，且其中各个两两不交，故．①另一方面，注意到，而其中各个亦两两不交，因此．②由①、②得，．
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