第PAGE页中点常见的辅助线中点经常所在的三角形：全等三角形等腰三角形：三线合一直角三角形：斜边上的中线、三角形的中位线：一、一个中点常见的辅助线（1）利用中点构建全等形：倍长中线至二倍，构建全等三角形(2)有中点联想直角三角形的斜边上的中线（3）由中点联想到等腰三角形的“三线合一”1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是________．2、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．3、正方形ABCD中，E为CD的中点，BF⊥AE于F,连接CF，求证;CF=CB4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC．5．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为_________．6、已知梯形ABCD中，AD∥BC,且AD+BC=AB,E为CD的中点，连接AE、BE求证;(1)AE平分∠BAD(2)BE平分∠ABC(3)AE⊥BE
练习
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：1、已知正方形ABCD中，E为CD的中点，AE平分∠BAF．求证：AF=BC+CF6、在△ABC（AB≠AC）中，在∠A的内部任做一条射线，过B、C两点做此射线的垂线BE和CF，交此射线于E、F，M为BC的中点，求证：MD=ME．等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图所示放置，M为AE的中点，连接DM、BM，（1）求证：BM∥CE(2)若AB=a，DE=2a，求DM、BM的长。AMEDCBA二、两个或多个中点常见的辅助线：当图中有多个中点时，我们要细致分析图形特点，是否有直角三角形，等腰三角形，等边三角形，有时，要利用中点的性质分析，同时还要考虑中位线，(一)直接连接中点构建中位线：1．已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点．①求证：EF及GH互相平分；②当四边形ABCD的边满足_________条件时，EF⊥GH．（二）取三角形一边的中点，构建中位线：2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．（三）添加三角形的第三边，构建中位线：如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D，求证：四边形ABCD是平行四边形四、添加三角形的另一边并取中点，构建中位线：在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC．求证：∠EFM=∠FEM．如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连接MN．则AB及MN的关系是（）A．AB=MNB．AB＞MNC．AB＜MND．上述三种情况均可能出现已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．五、条件中无中点时，完善图形得中位线：如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．11．如图，自△ABC顶点A向∠C及∠B的角平分线CE、BD作垂线AM、AN，垂足分别是M、N，已知△ABC三边长为a、b、c，则MN=_______．在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，E为AB的中点,求证：DE=BC多个中点中点经常所在的三角形：等腰三角形：三线合一直角三角形：斜边上的中线、三角形的中位线：已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高．求证：∠EDG=∠EFG．（2019•广东模拟）某
数学
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活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）如图1所示在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，求证：①AF=AG=AB；②MD=ME．（2）在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．（直接写
答案
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，不需要写证明过程）．（3）在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD及ME有怎样的数量关系？6、△ABC中,∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做正△ABD和△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，(1)求证：PM=PN(2)试求∠MPN的度数ABCDEMNP变式一：△ABC中,∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，求证：PM=PN变式二：△ABC中,∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰△ABD和等腰△ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，求证：PM=PN变式三：△ABC中,∠CAB=120°,分别以AB、AC为边分别向外做等腰△ABD和等腰△ACE，M为BD的中点，N为CE的中点，P为BC的中点，求证：PM=PNABCDEMNP2．如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE．AFDEOCB122．如图，点O为△ABC内的一点，OD⊥AB,OE⊥AC,∠1=∠2,F为BC的中点，链接FD、FE，求证：FD=FE．
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