《解析几何》研究性教学
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专业数学与应用数学班级数学2015级授课教师曹锡芳授课团队几何教研室扬州大学教务处2016年1月22日根据研究性
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方案，《解析几何》分五个单元，已按照计划全部完成，现就教学情况做一个总结。解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，从而把几何问
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的讨论，从定性的研究上升到可以计算的定量层面。这就需要在几何与代数之间架起桥梁，把空间的几何结构代数化。第一单元系统介绍向量代数。通过向量，可以直接把代数运算引到几何中来；同时通过向量也可以定义空间各种坐标系，解析几何中用到的是直角坐标系，这就要用到空间三个两两垂直的单位向量。坐标法中的主要问题是用数
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示点，用方程表示图形。第二单元简单介绍轨迹与方程的一般概念。空间建立了坐标系之后，空间的点就与有序实数组之间建立了一一对应的关系。在此基础上可进一步建立作为点的轨迹的曲线、曲面与其方程之间的联系，从而把研究曲线与曲面的几何问题转化为研究其方程的代数问题。第三单元介绍平面和直线。导出平面和直线的各种形式的方程，并讨论它们之间的位置关系以及相关的计算问题。第四单元综合利用坐标法和向量运算来研究柱面、锥面、旋转面、椭球面、双曲面（单叶双曲面和双叶双曲面）、抛物面（椭圆抛物面和双曲抛物面），其中前三类曲面有着突出的几何特征，我们是从图形去导出它们的方程；后三类曲面的方程表现着特殊的简单形式，我们是从方程去讨论它们的图形。第五单元介绍二次曲线的一般理论，主要是利用坐标变换和不变量的方法讨论二次曲线的分类问题。本课程的重点是第二和第三单元，熟悉这些图形的几何性质和方程特征是课程的基本要求，为此在教学过程中着重训练学生两方面的能力：一是将几何问题转化为代数式子，例如把求点到直线的距离转化为求一个平行四边形的高，它等于面积除以底，从而得到相应的距离公式；二是理解代数方程所蕴含的几何含义，例如平面一般方程中的一次项系数即为该平面的法向量坐标。为了随时掌握学生的学习情况，安排三次单元测试。考试成绩大致反应了知识的难易程度以及学生的学习情况，其中第一单元由于引入了外积运算，需要学生具有较强的空间观念，部分学生学习过程中遇到了一定的困难，不及格的有十人；第三单元由于学生有中学解析几何基础，加上图形比较简单，考试成绩很高，大约一半学生都在九十分以上，不及格的人数也明显减少；第四单元由于几何图形比较复杂，并且要综合运用坐标法与向量运算，不及格的人数差不多达到了三分之一，九十分以上的也只有十人。为了鼓励部分学有余力的学生钻研解析几何内容，课程开始不久就布置了一道开放题，是2014年全国大学生数学建模竞赛题目，该题实际上是利用平面和直线的知识来设计一种平板折叠桌。附：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题创意平板折叠桌某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。图1图2图3图4
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