江苏省姜堰中学2015届高三适应性考试定稿

江苏省姜堰中学2015届高三适应性考试（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知全集，集合，则▲．2．如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则z2的模为▲．3．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是▲人．已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数=▲．5．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数在处取得最值的概率是▲．6．当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为▲．7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为▲．8.已知等比数列各项都是正数，且，则前项的和为▲．9.在平行四边形中,,,为的中点．若,则的长为▲．10.的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为．若点是图象的一个对称中心，且，则▲．11.已知函数的值域为，则实数的取值范围为▲．已知圆O：直线，在圆O上，Q在直线上，满足，则的最大值为▲．13.在中，内角所对的边分别为，，，令．若函数（是常数）只有一个零点．则实数的取值范围是▲．14.一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数为大于0的实常数）的图像上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体体积的最大值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分14分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知．（1）求证：；（2）若求．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90o,ABEF为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点．AN⊥CF，垂足为N．（1）求证：BF∥平面PAC；（2）求证：AN⊥平面CDF．17.（本小题满分14分）据俄罗斯新罗西斯克2015年5月17日电记者吴敏、郑文达报道：当地时间17日，参加中俄“海上联合-2015（Ⅰ）”军事演习的9艘舰艇抵达地中海预定海域，混编组成海上联合集群。接到命令后我军在港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄军轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值并说明你的推理过程；（3）是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。18.（本小题满分16分）椭圆C：离心率，准线方程为，左、右焦点分别为（1）求椭圆C的方程（2）已知点点M在线段上，且，延长线交椭圆于点Q，求;点A、B的椭圆C上动点，PA、PB斜率分别为，当时，求的取值范围19.（本小题满分16分）已知函数其中（1）若曲线与曲线在它们的交点处有相同的切线（P为切点），求的值；（2）令若函数的单调递减区间为，若函数在区间上的最大值为,不等式恒成立，求的取值范围；记在[-2，0]上的最大值为，解关于的不等式。（本小题满分16分）已知数列满足：其中，数列满足：（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在正数k，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.第=2\*ROMANII卷（附加题分值40分）21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）求曲线在的作用下的新曲线方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点、分别在曲线（为参数）和曲线上，求的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点。求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.23.已知数列的通项公式为，．集合，．现在集合中随机取一个元素，记的概率为。（1）计算的值；（2）求的表达式．高三数学适应性考试参考答案1.2.53.6904.165.6.27.EQ\F(1,6)8.10239.10.11.112.13.或14.15.解：（1）∵∴整理得即∵∴∴……………………………………（7分）（2）∵∴又由（1）得：∴∴即……………………………………（14分）16.证明：（1）连接BD交AC于O,连接PO，PO为的中位线，∴,平面,平面,∴平面;………………………（6分）（2）平面ABEF⊥平面ABCD，,交线为AB,，∴平面,平面,∴又,且平面∴平面∴且CD,CF为平面CDF内二相交直线∴平面．……………………………………（14分）17.解：（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则，当……………………………………（4分）即小艇以的速度航行时，相遇时小艇航行距离最小。设小艇与轮船在B处相遇由题意得时，取得最小值……………………………………（8分）（3）由（2）知设小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于上述方程应有两个不等正根，解得：……………………………………（14分）18.解：（1）……………………………………（4分）（2）∵P，F2，∴设M（1>t>0）由MF1+MF2＝3有解得∴则直线F1M方程为：由且x>0得……………………………………（7分）∴故∴∽∴……………………………………（10分）（3）设PA：，则PB：由得同理∴……………………………………（13分）又点A、B在椭圆C上，则O为线段AB中点∴＝∵点A在椭圆C上，∴，∴………………………（16分）19.解（1）由为公共切点可得：则则又得：……………………………………（3分）（2）函数的单调递减区间为，是方程的一个根，得，，在增，在减，在增，当时，最大值为当时，（注意到），最大值为=综上：……………………………………（7分）不等式恒成立，由函数的单调性可知：记=，递增，，可知在处取得最小值1，故综上：。……………………………………（11分）在增，在减，在增，的极大值为，的极小值为，在[-2，0]上的最大值为，且，，解得……………………（16分）20.（1）经过计算可知：.求得.…………………………………………（3分）（2）由条件可知：.…………①类似地有：.…………②①-②有：.即：.因此：……………………………………（7分）即：……………………………………（9分）(3)假设存在正整数，使得数列的每一项均为整数。由（2）知由可知……………………………………（11分）当时，为整数，利用结合，反复递推，可知均为整数。……………………………………（13分）当时变为消去得：由为偶数,=2……………………………………（16分）故数列是整数列.综上所述，的取值集合是.第=2\*ROMANII卷（附加题分值40分）B．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由已知，即，，所以；……………………………………（5分）（2）设曲线上任一点，在作用下对应点，则即，解之得，代入得，……………………………………（10分）C．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线，曲线…………………………（5分），所以的最大值为8．……………………………（10分）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22.解：在直三棱柱中，，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,是的中点，，（1），设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量，而，，直线与平面所成角的正弦值为；…………………………（5分）（2），设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量，，二面角的大小的余弦值．……………………………………（10分）23.解：解：（1）（2）设，，．………………………3分当，时，∵……，∴．………………………5分当，时，∵……，∴．…………………7分又∵集合含个元素，∴在集合中随机取一个元素，有的概率．……………………10分