曲线凹凸与拐点曲线凹凸曲线拐点第1页一.函数凹凸性前面我们应用导数判断了函数图形上升和下降规律，但这还不能完全反应它改变规律．如图所表示，图形在区间内即使一直上升，但却有着不一样弯曲情况.第2页定义3.2设函数在区间内，曲线弧位于其任意一点切线上方，则称曲线在内是凹；设函数在区间内，曲线弧位于其任意一点切线下方，则称曲线在内是凸.如左图所示图形在是凹.第3页如右图所示图形在内是凸由前面两图能够看出，假如曲线是凹，曲线切线斜率伴随增大而逐步增大，即函数是单调增加．假如曲线是凸，曲线切线斜率伴随增大而逐渐减小，即函数是单调递减．而第4页单调性可由符号决定，故曲线凹凸性与符号相关．定理3.8设函数在区间内二阶导数存在．(1)假如在内，那么曲线在内是凹；(2)假如在内，那么曲线在内是凸．第5页例1判断曲线凹凸性．解函数定义域为，，，在上，，所以曲线在内是凹．如图.第6页例2判断曲线凹凸性．解函数定义域为,,;当时，故曲线在内是凸.当时，故曲线在内是凹.点是曲线由凸变凹分界点．如图所表示.返回第7页二.曲线拐点定义3.3连续曲线上凹凸分界点称为这条曲线拐点．由拐点定义可知，拐点是曲线凹凸分界点，所以，在拐点左右近旁必定异号，而在拐点处或不存在．因而我们能够利用二阶导数符号来判别曲线拐点．第8页判定曲线拐点步骤为:(1)确定函数定义域；(2)求出，解出使和不存在全部点；(3)对解出每一个点，考查在左右近旁符号，假如符号相反，那么就是拐点；假如符号相同，那么就不是拐点．第9页例3判断曲线凹凸性，并求其拐点．解(1)所求函数定义域为；(2)(3)由，解得:(4)列表判断以下第10页拐点拐点表中符号“”、“”分别表示曲线是“凹”、“凸”.由上表可知，曲线在区间和是凹，在区间是凸．曲线拐点为和第11页例4判断曲线凹凸性，并求其拐点．解(1)所求函数定义域为；(2)，；(3)令，解得；(4)列表判断以下拐点第12页例5判断曲线是否有拐点?解(1)函数定义域为；(2)；(3)令，解得；(4)显然时,.所以曲线在定义域内全部是凹;所以曲线没有拐点．第13页
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