2019-2020年高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教A版必修

PAGE/NUMPAGES2019-2020年高中数学第1章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题课时作业新人教A版必修一、选择题1．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为eq\x(导学号54742113)(　D　)A．akm　　　　　　　　B．eq\r(2)akmC．2akmD．eq\r(3)akm[解析]　由图可知∠ACB＝120°，则AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，∴AB＝eq\r(3)akm.故选D．2．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为eq\x(导学号54742114)(　D　)A．10kmB．eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km[解析]　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－eq\f(1,2))＝700，∴AC＝10eq\r(7)，即A、C两地的距离为10eq\r(7)km.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时eq\x(导学号54742115)(　C　)A．5nmlieB．5eq\r(3)nmlieC．10nmlieD．10eq\r(3)nmlie[解析]　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(nmlie/h)．4．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为eq\x(导学号54742116)(　C　)A．500mB．600mC．700mD．800m[解析]　根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝3002＋5002－2×300×500×(－eq\f(1,2))＝490000，∴AB＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m由此可得河宽为(精确到1m)eq\x(导学号54742117)(　C　)A．170mB．98mC．95mD．86m[解析]　在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝eq\f(120sin45°,sin60°)＝40eq\r(6).设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，∴h＝BC·sin∠CBA＝40eq\r(6)×sin75°≈95(m)6．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是eq\x(导学号54742118)(　B　)A．eq\r(7)km　　　　　　B．eq\r(13)kmC．eq\r(19)kmD．eq\r(10－3\r(3))km[解析]　由题意知AM＝8×eq\f(15,60)＝2，BN＝12×eq\f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－eq\f(1,2))＝13，所以MN＝eq\r(13)km.二、填空题7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30nmile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为10eq\r(3)nmile.eq\x(导学号54742119)[解析]　如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BC⊥AD，∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，则在Rt△ACD中，DC＝ACsin∠DAC＝30sin60°＝15eq\r(3)nmile，AD＝ACcos∠DAC＝30cos60°＝15nmile，则在Rt△ADB中，DB＝ADtan∠DAB＝15tan30°＝5eq\r(3)nmile，则BC＝DC－DB＝15eq\r(3)－5eq\r(3)＝10eq\r(3)nmile.8．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是5.2km.(精确到0.1km)eq\x(导学号54742120)[解析]　作出示意图如图．由题意知，则AB＝24×eq\f(15,60)＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理eq\f(6,sin35°)＝eq\f(BS,sin30°)，可得BS≈5.2(km)．三、解答题9.如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)eq\x(导学号54742121)[ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ]　由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为Rt△作为突破口可简化计算．[解析]　在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝eq\f(CD·sin45°,sin60°)＝eq\f(\r(6),3)CD．在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝eq\f(CD·sin30°,sin135°)＝eq\f(\r(2),2)CD，∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\f(\r(42),6)CD＝1000eq\r(42)(m)．10．一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？eq\x(导学号54742122)[解析]　在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝eq\f(ABsin20°,sin45°)＝eq\f(16.1sin20°,sin45°)≈7.787(nmile)．设点S到直线AB的距离为h，则h＝SBsin65°≈7.06(nmile)．∵h>6.5nmile，∴此船可以继续沿正北方向航行．能力提升一、选择题11．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为eq\r(3)km，则A、B两船的距离为eq\x(导学号54742123)(　D　)A．2eq\r(3)kmB．3eq\r(2)kmC．eq\r(15)kmD．eq\r(13)km[解析]　如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，∴AB＝eq\r(13).12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为eq\x(导学号54742124)(　A　)A．eq\f(17\r(6),2)nmile/hB．34eq\r(6)nmile/hC．eq\f(17\r(2),2)nmile/hD．34eq\r(2)nmile/h[解析]　如图所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)(nmile/h)．13．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行eq\f(1,2)h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是eq\x(导学号54742125)(　B　)A．10kmB．10eq\r(2)kmC．15kmD．15eq\r(2)km[解析]　在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20·sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．二、填空题14．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90nmile.此时海盗船距观测站10eq\r(7)nmile,20min后测得海盗船距观测站20nmlie，再过eq\f(40,3)min，海盗船到达商船.eq\x(导学号54742126)[解析]　如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10eq\r(7)，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(400＋900－700,2×20×30)＝eq\f(1,2).∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，eq\f(20,90)×60＝eq\f(40,3)(min)．15.如图，一艘船上午8︰00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8︰30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4eq\r(2)nmile，则此船的航行速度是16nmile/h.eq\x(导学号54742127)[解析]　在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，∴∠ASB＝45°，∵BS＝4eq\r(2)，eq\f(BS,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ASB)，∴AB＝eq\f(BS·sin∠ASB,sinA)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝8，∵上午8︰00在A地，8︰30在B地，∴航行0.5小时的路程为8nmile，∴此船的航速为16nmile/h.三、解答题16．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12eq\r(6)nmile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)nmile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：eq\x(导学号54742128)(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．[解析]　由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.由正弦定理，得AD＝eq\f(ABsin45°,sin60°)＝24(nmile)(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)(nmile)答：A处与D处之间距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为8eq\r(3)nmile.17．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值.eq\x(导学号54742129)[解析]　由题意可得DE2＝502＋1202＝1302，DF2＝1702＋302＝29800，EF2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos∠DEF＝eq\f(16,65).温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！