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【精品】摩擦力-课件-(共30张PPT)解析幻灯片摩擦力-课件-(共30张PPT)解析选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点PAGE/NUMPAGES选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点3.1 空间向量及其运算知识点1.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)单位向量:模为1的向量称为单位向量(3)相等向量:方向相同且模相等的向量.(4)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.(5)共面向量:平行于同一个平面的向量.2.空间向量的加法、...

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空间向量及其运算知识点1.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)单位向量:模为1的向量称为单位向量(3)相等向量:方向相同且模相等的向量.(4)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.(5)共面向量:平行于同一个平面的向量.2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.运算律:①加法交换律:a+b=b+a②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)③数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.3.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.推论:点P在直线AB上的充要条件是:存在实数λ,使得①或对空间任意一点O,有②或对空间任意一点O,有其中x+y=1③【推论③推导过程:】(2)共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么p与a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使p=xa+yb推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y)使,或对空间任意一点O,有或对空间任意一点O,有,其中x+y+z=1【推论③推导过程:】(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc基底:把{a,b,c}叫做空间的一个基底,空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.4.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=eq\f(π,2),则称a与b互相垂直,记作a⊥b.②两向量的数量积:已知空间两个非零向量a,b,向量a,b的数量积记作a·b,且a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)空间向量数量积的运算律:①结合律:(λa)·b=λ(a·b);②交换律:a·b=b·a;③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.5.空间向量的坐标表示及应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(1)数量积的坐标运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示:a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式:|a|=eq\r(a·a)=eq\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3)),cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(a1b1+a2b2+a3b3,\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)+b\o\al(2,2)+b\o\al(2,3))).设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB=|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2).6.用空间向量解决几何问题的一般步骤:(1)适当的选取基底{a,b,c};(2)用a,b,c表示相关向量;(3)通过运算完成 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 或计算问题.题型一 空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量,应结合图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,表示为其他向量的和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系.例1:三棱锥O—ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(MG,\s\up6(→)),eq\o(OG,\s\up6(→)).解析:eq\o(MG,\s\up6(→))=eq\o(MA,\s\up6(→))+eq\o(AG,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\o(OC,\s\up6(→)))-eq\o(OA,\s\up6(→))]=-eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\o(OM,\s\up6(→))+eq\o(MG,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).例2:如图所示,ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是平行四边形.若eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→)),eq\o(A1F,\s\up6(→))=2eq\o(FD,\s\up6(→)),且,试求x、y、z的值..解 连接AF,eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(AF,\s\up6(→)).∵eq\o(EA,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))eq\o(AF,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(DF,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(FD,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\f(1,3)(eq\o(A1A,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))=∴eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(EA,\s\up6(→))+eq\o(AF,\s\up6(→))=题型二 共线定理应用向量共线问题:充分利用空间向量运算法则,用空间中的向量表示a与b,化简得出a=b,从而得出a∥b,即a与b共线.点共线问题:证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明A、B、C三点共线,即证明eq\o(AB,\s\up14(→))与eq\o(AC,\s\up14(→))共线.例3:如图所示,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断eq\o(CE,\s\up13(→))与eq\o(MN,\s\up13(→))是否共线?∵∴eq\o(CE,\s\up13(→))=2eq\o(MN,\s\up13(→)),∴eq\o(CE,\s\up13(→))∥eq\o(MN,\s\up13(→)),即eq\o(CE,\s\up13(→))与eq\o(MN,\s\up13(→))共线.例4:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且eq\o(A1E,\s\up13(→))=2ED1,F在对角线A1C上,且eq\o(A1F,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up13(→)).求证:E,F,B三点共线.证明: 设eq\o(AB,\s\up13(→))=a,eq\o(AD,\s\up13(→))=b,eq\o(AA1,\s\up13(→))=c.∴eq\o(A1E,\s\up13(→))=2eq\o(ED1,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up13(→))=eq\f(2,3)b,eq\o(A1F,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up13(→))=eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up13(→))=eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up13(→))-eq\o(AA1,\s\up13(→)))=eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\o(AD,\s\up13(→))-eq\o(AA1,\s\up13(→)))=eq\f(2,5)a+eq\f(2,5)b-eq\f(2,5)c∴Eeq\o(F,\s\up6(→))=eq\o(A1F,\s\up13(→))-eq\o(A1E,\s\up13(→))=eq\f(2,5)a-eq\f(4,15)b-eq\f(2,5)c=eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-\f(2,3)b-c)),eq\o(EB,\s\up13(→))=eq\o(EA1,\s\up13(→))+eq\o(A1A,\s\up13(→))+eq\o(AB,\s\up13(→))=-eq\f(2,3)b-c+a=a-eq\f(2,3)b-c,∴eq\o(EF,\s\up13(→))=eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up13(→)).所以E,F,B三点共线.题型三 共面定理应用点共面问题:证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P、A、B、C四点共面,只要能证明eq\o(PA,\s\up14(→))=xeq\o(PB,\s\up14(→))+yeq\o(PC,\s\up14(→)),或对空间任一点O,有eq\o(OP,\s\up14(→))=eq\o(OA,\s\up14(→))+xeq\o(PB,\s\up14(→))+yeq\o(PC,\s\up14(→))或eq\o(OP,\s\up14(→))=xeq\o(OA,\s\up14(→))+yeq\o(OB,\s\up14(→))+zeq\o(OC,\s\up14(→))(x+y+z=1)即可例5:已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外一点O,若eq\o(OP,\s\up13(→))=eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up13(→)),则点P是否与A、B、C一定共面?试说明理由.解析:∵∴eq\o(AP,\s\up13(→))=eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up13(→)),故A、B、C、P四点共面.例6:如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连结PA、PB、PC、PD,点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心,应用向量共面定理证明:E、F、G、H四点共面.证明:分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R.∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心,∴M、N、Q、R为所在边的中点顺次连结M、N、Q、R,所得四边形为平行四边形,且有eq\o(PE,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up13(→)),eq\o(PF,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up13(→)),eq\o(PG,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up13(→)),eq\o(PH,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up13(→)).∴eq\o(EG,\s\up13(→))=eq\o(PG,\s\up13(→))-eq\o(PE,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up13(→))-eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up13(→))=eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up13(→))=eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up13(→))+eq\o(MR,\s\up13(→)))=eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up13(→))-eq\o(PM,\s\up13(→)))+eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up13(→))-eq\o(PM,\s\up13(→)))=eq\f(2,3)(eq\f(3,2)eq\o(PF,\s\up13(→))-eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up13(→)))+eq\f(2,3)(eq\f(3,2)eq\o(PH,\s\up13(→))-eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up13(→)))=eq\o(EF,\s\up13(→))+eq\o(EH,\s\up13(→)).∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.例7:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和A1D1的中点,求证向量eq\o(A1B,\s\up13(→)),eq\o(B1C,\s\up13(→)),eq\o(EF,\s\up13(→))是共面向量.证明:如图所示,eq\o(EF,\s\up13(→))=eq\o(EB,\s\up13(→))+eq\o(BA1,\s\up13(→))+eq\o(A1F,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(B1B,\s\up6(→))-eq\o(A1B,\s\up13(→))+eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up13(→))=eq\f(1,2)(eq\o(B1B,\s\up13(→))+eq\o(BC,\s\up13(→)))-eq\o(A1B,\s\up13(→))=eq\f(1,2)eq\o(B1C,\s\up13(→))-eq\o(A1B,\s\up13(→)).由向量共面的充要条件知eq\o(A1B,\s\up13(→)),eq\o(B1C,\s\up13(→)),eq\o(EF,\s\up13(→))是共面向量.题型四 空间向量数量积的应用例8:①如图所示,平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1的长;(2)求BD1与AC夹角的余弦值.解析:(1)记eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AA1,\s\up6(→))=c,则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,∴a·b=b·c=c·a=eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+\f(1,2)+\f(1,2)))=6,∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|=eq\r(6),即AC1的长为eq\r(6).(2)eq\o(BD1,\s\up6(→))=b+c-a,eq\o(AC,\s\up6(→))=a+b,∴|eq\o(BD1,\s\up6(→))|=eq\r(2),|eq\o(AC,\s\up6(→))|=eq\r(3),eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.∴cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)=eq\f(\r(6),6).∴AC与BD1夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6).②已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点,则eq\o(AE,\s\up14(→))·eq\o(AF,\s\up14(→))的值为(  )A.a2B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2D.eq\f(\r(3),4)a2解析:设eq\o(AB,\s\up14(→))=a,eq\o(AC,\s\up14(→))=b,eq\o(AD,\s\up14(→))=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°.eq\o(AE,\s\up14(→))=eq\f(1,2)(a+b),eq\o(AF,\s\up14(→))=eq\f(1,2)c,∴eq\o(AE,\s\up14(→))·eq\o(AF,\s\up14(→))=eq\f(1,2)(a+b)·eq\f(1,2)c=eq\f(1,4)(a·c+b·c)=eq\f(1,4)(a2cos60°+a2cos60°)=eq\f(1,4)a2.题型五 空间向量坐标运算例9:如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈eq\o(DP,\s\up6(→)),eq\o(AE,\s\up6(→))〉=eq\f(\r(3),3),若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(  )A.(1,1,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,1,\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,1,\f(3,2)))D.(1,1,2)设PD=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,1,\f(a,2))),∴eq\o(DP,\s\up6(→))=(0,0,a),eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,1,\f(a,2))),cos〈eq\o(DP,\s\up6(→)),eq\o(AE,\s\up6(→))〉=eq\f(\r(3),3),∴eq\f(a2,2)=aeq\r(2+\f(a2,4))·eq\f(\r(3),3),∴a=2.∴E的坐标为(1,1,1).例10:已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若a,b,c三向量共面,则实数λ=________________解析:由题意得c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7=2t-μ,,5=-t+4μ,,λ=3t-2μ.)) ∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t=\f(33,7),,μ=\f(17,7),,λ=\f(65,7).))例11:已知△ABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),试求△ABC的面积eq\o(AB,\s\up14(→))=(1,1,1),eq\o(AC,\s\up14(→))=(2,1,3),|eq\o(AB,\s\up14(→))|=eq\r(3),|eq\o(AC,\s\up14(→))|=eq\r(14),eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))=2+1+3=6,∴cosA=cos〈eq\o(AB,\s\up14(→)),eq\o(AC,\s\up14(→))〉=eq\f(6,\r(3)·\r(14))=eq\f(6,\r(42)).∴sinA=eq\r(1-\f(36,42))=eq\f(1,\r(7)).∴S△ABC=eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up14(→))|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|·sinA=eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(14)×eq\f(1,\r(7))=eq\f(\r(6),2).例12:已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(  )A.2,eq\f(1,2)B.-eq\f(1,3),eq\f(1,2)C.-3,2D.2,2解析 由题意知:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ+1,6)=\f(2,2λ),,2μ-1=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=2,,μ=\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=-3,,μ=\f(1,2).))例13:已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=eq\o(AB,\s\up6(→)),b=eq\o(AC,\s\up6(→)).,若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴k=2或-eq\f(5,2),方法二 由(2)知|a|=eq\r(2),|b|=eq\r(5),a·b=-1,∴(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或-eq\f(5,2).例14:已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=eq\r(3),且a分别与eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))垂直,求向量a的坐标.解(1)cos〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉=eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)=eq\f(-2+3+6,\r(14)×\r(14))=eq\f(7,14)=eq\f(1,2).∴sin〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉=eq\f(\r(3),2),∴以eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积为S=2×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sin〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉=14×eq\f(\r(3),2)=7eq\r(3).设a=(x,y,z),由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0)),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,y=1,z=1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-1,y=-1,z=-1)),例15:如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=eq\f(2,3)A1D,AF=eq\f(1,3)AC,则(  )A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF与A1D、AC都垂直C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析:设AB=1,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),0,\f(1,3))),Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),\f(1,3),0)),B(1,1,0),D1(0,0,1),eq\o(A1D,\s\up6(→))=(-1,0,-1),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),\f(1,3),-\f(1,3))),eq\o(BD1,\s\up6(→))=(-1,-1,1),eq\o(EF,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(BD1,\s\up6(→)),eq\o(A1D,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.例16:已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当eq\o(QA,\s\up14(→))·eq\o(QB,\s\up14(→))取最小值时,点Q的坐标是__________.解析:设eq\o(OQ,\s\up14(→))=λeq\o(OP,\s\up14(→))=(λ,λ,2λ),则eq\o(QA,\s\up14(→))=(1-λ,2-λ,3-2λ),eq\o(QB,\s\up14(→))=(2-λ,1-λ,2-2λ).∴eq\o(QA,\s\up14(→))·eq\o(QB,\s\up14(→))=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-eq\f(4,3))2-eq\f(2,3).∴当λ=eq\f(4,3)时,eq\o(QA,\s\up14(→))·eq\o(QB,\s\up14(→))取最小值为-eq\f(2,3).此时,eq\o(OQ,\s\up14(→))=(eq\f(4,3),eq\f(4,3),eq\f(8,3)),综合练习选择题1、下列命题:其中不正确的所有命题的序号为__________.①若A、B、C、D是空间任意四点,则有eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))+eq\o(DA,\s\up6(→))=0;②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;③若a、b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x、y、z∈R),则P、A、B、C四点共面.⑤设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:{a,b,c}为空间的一个基底,则命题p是命题q的充要条件解析:选②③④⑤,①中四点恰好围成一封闭图形,正确;②中当a、b同向时,应有|a|+|b|=|a+b|;③中a、b所在直线可能重合;④中需满足x+y+z=1,才有P、A、B、C四点共面;⑤只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底,应改为必要不充分条件2、有下列命题:其中真命题的个数是(  )①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;③若eq\o(MP,\s\up6(→))=xeq\o(MA,\s\up6(→))+yeq\o(MB,\s\up6(→)),则P,M,A、B共面;④若P,M,A,B共面,则eq\o(MP,\s\up6(→))=xeq\o(MA,\s\up6(→))+yeq\o(MB,\s\up6(→)).A.1B.2C.3D.4解析 其中①③为真命题.②中,若a,b共线,则p≠xa+yb;3、已知A(1,0,0),B(0,-1,1),eq\o(OA,\s\up14(→))+λeq\o(OB,\s\up14(→))与eq\o(OB,\s\up14(→))的夹角为120°,则λ的值为(  )A.±eq\f(\r(6),6)B.eq\f(\r(6),6)C.-eq\f(\r(6),6)D.±eq\r(6)解析:eq\o(OA,\s\up14(→))+λeq\o(OB,\s\up14(→))=(1,-λ,λ),cos120°=eq\f(λ+λ,\r(1+2λ2)·\r(2))=-eq\f(1,2),得λ=±eq\f(\r(6),6).经检验λ=eq\f(\r(6),6)不合题意,舍去,∴λ=-eq\f(\r(6),6).4、如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于(  )A.6eq\r(2)B.6C.12D.144解析eq\o(PC,\s\up6(→))2=(eq\o(PA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→)))2=eq\o(PA,\s\up6(→))2+eq\o(AB,\s\up6(→))2+eq\o(BC,\s\up6(→))2+2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=36+36+36+2×36cos60°=144∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|=12证明 设eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,eq\o(AD,\s\up6(→))=c,则eq\o(BG,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(AG,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\f(3,4)eq\o(AM,\s\up6(→))=-a+eq\f(1,4)(a+b+c)=-eq\f(3,4)a+eq\f(1,4)b+eq\f(1,4)c,eq\o(BN,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))+eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→)))=-a+eq\f(1,3)b+eq\f(1,3)c=eq\f(4,3)eq\o(BG,\s\up6(→)).∴eq\o(BN,\s\up6(→))∥eq\o(BG,\s\up6(→)),即B、G、N三点共线.5、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→)),N为B1B的中点,则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为(  )A.eq\f(\r(21),6)aB.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)aD.eq\f(\r(15),3)a解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,a,\f(a,2))).设M(x,y,z).∵点M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→)),∴(x-a,y,z)=eq\f(1,2)(-x,a-y,a-z)∴x=eq\f(2,3)a,y=eq\f(a,3),z=eq\f(a,3).∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3),\f(a,3),\f(a,3))),∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-\f(2,3)a))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a-\f(a,3)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)-\f(a,3)))2)=eq\f(\r(21),6)a.6、如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=eq\f(π,3),则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为(  )A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)解析 设eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,eq\o(OC,\s\up6(→))=c,由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=eq\f(π,3),且|b|=|c|,eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=a·(c-b)=a·c-a·b=eq\f(1,2)|a||c|-eq\f(1,2)|a||b|=0,∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))〉=0.7、如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AA1,\s\up6(→))=c,则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是(  )-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+cB.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+cC.-eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+cD.eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+c解析 eq\o(BM,\s\up6(→))=eq\o(BB1,\s\up6(→))+eq\o(B1M,\s\up6(→))=eq\o(AA1,\s\up6(→))+eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)))=c+eq\f(1,2)(b-a)=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+c.8、平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AD,\s\up6(→)),eq\o(AA1,\s\up6(→))两两的夹角均为60°,且|eq\o(AB,\s\up6(→))|=1,|eq\o(AD,\s\up6(→))|=2,|eq\o(AA1,\s\up6(→))|=3,则|eq\o(AC1,\s\up6(→))|等于(  )[A.5B.6C.4D.8设eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AA1,\s\up6(→))=c,则eq\o(AC1,\s\up6(→))=a+b+c,eq\o(AC1,\s\up6(→))2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,|eq\o(AC1,\s\up6(→))|=5.[9、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是(  )A.eq\o(OM,\s\up13(→))=3eq\o(OA,\s\up13(→))-2eq\o(OB,\s\up13(→))-eq\o(OC,\s\up13(→))B.eq\o(OM,\s\up13(→))+eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\o(OB,\s\up13(→))+eq\o(OC,\s\up13(→))=0C.eq\o(MA,\s\up13(→))+eq\o(MB,\s\up13(→))+eq\o(MC,\s\up13(→))=0D.eq\o(OM,\s\up13(→))=eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up13(→))-eq\o(OA,\s\up13(→))+eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up13(→))解析: C中eq\o(MA,\s\up13(→))=-eq\o(MB,\s\up13(→))-eq\o(MC,\s\up13(→)).故M、A、B、C四点共面.填空题10、同时垂直于a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的单位向量是____________________.解析 设与a=(2,2,1)和b=(4,5,3)同时垂直b单位向量是c=(p,q,r),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p2+q2+r2=1,,2p+2q+r=0,,4p+5q+3r=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p=\f(1,3),,q=-\f(2,3),,r=\f(2,3),))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p=-\f(1,3),,q=\f(2,3),,r=-\f(2,3),))所求向量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),-\f(2,3),\f(2,3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),\f(2,3),-\f(2,3))).11.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为eq\f(8,9),则λ=________.解析 由已知得eq\f(8,9)=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(2-λ+4,\r(5+λ2)·\r(9)),∴8eq\r(5+λ2)=3(6-λ),解得λ=-2或λ=eq\f(2,55).12.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为________.解析 由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=0,|eq\o(AB,\s\up6(→))|=|eq\o(AC,\s\up6(→))|,可解得x=2.13.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=________.解析 由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2+16a·b-15|b|2=0,及(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0.两式相减,得46a·b=23|b|2,∴a·b=eq\f(1,2)|b|2.代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|.∴cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(\f(1,2)|b|2,|b|2)=eq\f(1,2).∴〈a,b〉=60°.14.如图所示,已知二面角α—l—β的平面角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))))),AB⊥BC,BC⊥CD,AB在平面β内,BC在l上,CD在平面α内,若AB=BC=CD=1,则AD的长为________.解析:eq\o(AD,\s\up6(→))2=(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→)))2=eq\o(AB,\s\up6(→))2+eq\o(BC,\s\up6(→))2+eq\o(CD,\s\up6(→))2+2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))+2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))+2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))=1+1+1+2cos(π-θ)=3-2cosθ.15.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为________.解析 b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|=eq\r(?1+t?2+?2t-1?2)=eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,5)))2+\f(9,5)),∴当t=eq\f(1,5)时,|b-a|取得最小值eq\f(3\r(5),5).解答题16、如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,eq\o(AA1,\s\up6(→))=c,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1)eq\o(AP,\s\up6(→));(2)eq\o(AM,\s\up6(→));(3)eq\o(AN,\s\up6(→));(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).(1)eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AA1,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA1,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(a+b+c).(2)eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AD1,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA1,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(a+2b+c).(3)eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC1,\s\up6(→))+eq\o(AD1,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA1,\s\up6(→)))+(eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AA1,\s\up6(→)))]=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(AD,\s\up6(→))+2eq\o(AA1,\s\up6(→)))=eq\f(1,2)(a+2b+2c)=eq\f(1,2)a+b+c.(4)eq\o(AQ,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CQ,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\f(4,5)(eq\o(AA1,\s\up6(→))-eq\o(AC,\s\up6(→)))=eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\f(4,5)eq\o(AA1,\s\up6(→))=eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(4,5)eq\o(AA1,\s\up6(→))=eq\f(1,5)a+eq\f(1,5)b+eq\f(4,5)c17、如图,已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,且G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B、G、N三点共线.18.(13分)直三棱柱ABC—A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.(1)证明:设eq\o(CA,\s\up6(→))=a,eq\o(CB,\s\up6(→))=b,eq\o(CC′,\s\up6(→
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分类:初中语文
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