函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性PAGE编写：黄文清第PAGE11页第二章函数函数的单调性与奇偶性第五讲函数的单调性与奇偶性高考要求：1、理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性，掌握单调区间求法，能利用单调性解决一些具体问题；2、理解函数的奇偶性的概念，并能判定一些简单函数的奇偶性；理解奇函数和偶函数的图象的对称性，并能用对称性描绘奇函数或偶函数的图象.知识要点扫描：1、单调性的定义：（1）增函数：。（2）减函数：。（3）函数的单调性：。2、判断函数单调性的方法：（1）定义法；（2）利用基本函数的单调性，如：二次函数的单调性。（3）利用复合函数的单调性的结论：同增异减（4）利用函数图象上升则函数单调递增，下降则函数单调递减进行判断，另外利用导数值的符号也能判断函数的单调性。3、奇偶性的定义：（1）偶函数：。（2）奇函数：。（3）函数的奇偶性：。4、奇、偶函数的性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于对称。（2）奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称。（3）奇函数的反函数也是。（4）若奇函数的定义域包含数0，则。（5）定义在R上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个与一个之和。5、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；6、互为反函数的两函数单调性相同。7、定义法判断函数单调性和奇偶性的一般步骤：基础训练：1、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则（）A．f(sin)f(cos1)C．f(cos)f(sin2)2、定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，，则的值为()(A)(B)(C)(D)3、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是（）A．B．C．D．4、设函数为奇函数，则（）A．0B．1C．D．55、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）（A）（B）（C）（D）6、若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是()(A)单调递减无最小值(B)单调递减有最小值(C)单调递增无最大值(D)单调递增有最大值9、函数则此函数的的单调递减区间是（）A.B.C.D.10、已知，函数为奇函数，则a＝（）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±111、设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)是奇函数(B)是奇函数(C)是偶函数(D)是偶函数12、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为()(A)－1(B)0(C)1(D)213、函数f(x)=a在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b的取值范围是.14、若函数是奇函数，则a=.例题解析：题型一、与单调性有关的问题例1、用函数的单调性证明函数上是减函数。Ex1、讨论函数上的单调性。Ex2、EX2已知函数，（1）若为增函数，求实数的取值范围，（2）解不等式。例3、求下列函数的单调区间。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）例3、已知在区间上是减函数，求实数的取值范围。Ex3、是否存在实数，使函数在区间上[2，4]是增函数？Ex4、若函数在区间内单调递增，求a的取值范围。例4、定义R上的函数当时，且任意的有。（1）证明：；（2）证明：对任意有；（3）证明：是R上的增函数；（4）若，求的范围。Ex5、若上的增函数，（1）求当时，x的取值范围；（2）若且f(6)=1,解不等式.题型二：考查函数奇偶性的问题。例5、判断下列函数的奇偶性。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）若是R上的奇函数，则的奇偶性是什么？例6、已知函数的定义域为D=且满足对任意的都有。（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明；（3）如果上是增函数，求x的取值范围。Ex6、已知函数对任意的实数x,y都满足，且，试证是偶函数。题型三:考查函数性质的综合问题.例7、是定义在[-1,1]上的奇函数,且,当且时有.（1）判断在[-1,1]上的单调性；（2）解不等式；（3）若对任意的恒成立，求的取值范围.Ex7、已知且求的表达式;(2)判断的奇偶性及单调性;(3)已知,求的取值范围.例8、已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求的值；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围Ex8、若为奇函数，求实数a的值。高考真题回放：1、，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件2、在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则()A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数3、设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4、若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是A．单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C．单凋递增的偶函数D．单调递增的奇函数5、设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为（A）（B）（C）（D）6、对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③7、设是奇函数，则使的的取值范围是（）A．B．C．D．8、已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|QUOTE|)f(7)(6)>f(9)(7)>f(9)(7)>f(10)10、函数的单调增区间为（）A．B．C．D．11、设函数为奇函数，则 ，设函数为偶函数，则 ．12、已知函数为奇函数，若，则 ．13、已知函数。（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。14、函数对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时f(x)>1.(1)求证：f(x)是Ｒ上的增函数；（２）若f(3)=4，解不等式.课后反思：
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