学业水平测试数学复习学案第7课时函数与方程一．知识梳理1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。(2)零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。注：函数零点的性质若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。3,二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0；②二次方程f(x)=0的两根都大于r③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。二．课前自测1.若函数有一个零点3，那么函数的零点是．答案：0和2.在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一个根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为。答案：3.已知函数在区间内有零点，则实数的取值范围是答案：三．典例解析例1．判断函数下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）（2）（3）小结：函数零点判断的常用方法主要有三种：（1）解方程（2）零点存在定理（3）图象法【变式训练1】方程lgx+x=3的解所在区间为（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C。【变式训练2】．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”。【例2】．已知关于x的方程，根据下列条件，求m的取值范围。（1）若方程的二根分别分布在区间（-1，0）和；（2）若方程的二根均在区间（0，1）内。评析与简答：同例1的解题理念，设函数f(x)=，根据条件（1），我们不难作出如下判断：f(-1)>0、f(0)<0、f(1)<0、f(2)>0，解不等式组得m的取值范围；根据条件（2），可得f(0)>0、f(1)>0、、对称轴x=-m（0，1），同样解不等式组得m的取值范围是。【变式训练1】已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。答案：【变式训练2】．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.如果，设函数的对称轴为，求证：；解析：设，则的二根为和。（1）由及，可得，即，即两式相加得，所以，；
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