第=page11页，共=sectionpages11页2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷（文科）一、单选
题
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（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x<3}，B={x|2−x<1}，则A∩B=( )A.{x|1
0,b>0)的一条渐近线的斜率为2，焦距为25，则a=( )A.1B.2C.3D.43.已知向量|a|=2，|b|=1，且|a−3b|=7，则向量a,b的夹角是( )A.5π6B.π6C.2π3D.π34.如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础
设计
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的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是( )A.18B.14C.13D.125.已知函数f(x)=−2cos(2x+π3)sin2x−32，则( )A.f(x)的最小正周期是πB.f(x)在[π6,π4]上单调递增C.f(x)的图象关于点(kπ2+π12,0)(k∈Z)对称D.f(x)在[−4,0]上的值域是[−1,32]6.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bcosA−acosB=a，则3sinB+2sin2A的取值范围是( )A.(0,3+1)B.(2,3+1)C.(1,3]D.(2,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）7.已知实数x，y满足约束条件x−y−3≤0x≥2y≤3，则z=x+y的最大值为 ．8.已知α是第二象限角，且sin(α+π6)=13，则sin(2α+π3)= ．9.已知f(x)是定义在[−4,4]上的减函数，且f(x)的图象关于点(0,1)对称，则关于x的不等式f(2x)+f(x−3)+3x−5>0的解集为 ．10.已知抛物线：y2=8x的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1，l2分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.(本小题12.0分)国际足联世界杯(FIFAWorldCup)，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联
表
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：(1)求a的值，并完成列联表；少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷a+20a+20女球迷a+40a总计(2)若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(a+d)，其中n=a+b+c+d．参考数据：P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82812.(本小题12.0分)已知正项数列{an}的前n项和Sn满足4Sn=an2+2an．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=1an(an+2)，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<14．13.(本小题12.0分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//CD，PB=CD=2AB=2AD，PD=2AB，PC⊥DE，E是棱PB的中点．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若F是棱AB的中点，AB=2，求点C到平面DEF的距离．14.(本小题12.0分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的离心率为22，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点．(1)若k=1，|AB|=83，求椭圆E的
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方程；(2)若|AF2||AF1|=5，|BF2||BF1|=12，k<0，求k的值．15.(本小题12.0分)已知函数f(x)=ex−ax+e2−7．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；(2)若对任意的x≥0，f(x)≥74x2恒成立，求a的取值范围．16.(本小题10.0分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+3cosα,y=3sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2ρcosθ−ρsinθ−1=0．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点P(0,−1)，求1|PA|+1|PB|的值．
答案
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和解析1.【答案】A 【解析】解：A={x|x<3}，B={x|2−x<1}={x|x>1}，∴A∩B={x|10,b>0)的渐近线方程为y=±bax，由题意可得ba=2，即有b=2a，又c=25，a2+b2=c2，∴a=1．故选：A．求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，考查运算能力，属基础题．3.【答案】D 【解析】解：∵|a−3b|2=|a|2−6a⋅b+9|b|2=13−6a⋅b=7，∴a⋅b=1，∴cos=a⋅b|a|⋅|b|=12，又∈[0,π]，∴=π3．故选：D．由|a−3b|2=7可求得a⋅b，根据向量夹角公式可求得结果．本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．4.【答案】A 【解析】解：将四块三角形区域编号如下，由题意可得总的涂色方法有24=16种，若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种，故所求概率P=216=18．故选：A．根据古典概型概率的计算公式即可求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．5.【答案】B 【解析】解：f(x)=−2(12cos2x−32sin2x)sin2x−32=3sin22x−sin2xcos2x−32=32−32cos4x−12sin4x−32=−sin(4x+π3)，对于A，f(x)的最小正周期T=2π4=π2，A错误；对于B，当x∈[π6,π4]时，4x+π3∈[π,4π3]，此时y=sin(4x+π3)单调递减，∴f(x)在[π6,π4]上单调递增，B正确；对于C，令4x+π3=kπ(k∈Z)，解得x=kπ4−π12(k∈Z)，此时f(x)=0，∴f(x)的图象关于点(kπ4−π12,0)(k∈Z)对称，C错误；对于D，当x∈[−π4,0]时，4x+π3∈[−2π3,π3]，则sin(4x+π3)∈[−1,32]，∴f(x)在[−π4,0]上的值域为[−32,1]，D错误．故选：B．利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简f(x)，再根据正弦型函数的图象与性质判断各选项即可．本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题．6.【答案】B 【解析】解：∵bcosA−acosB=a，∴bcosA=(cosB+1)a，∴由正弦定理得：sinBcosA=(cosB+1)sinA，即sinBcosA=sinAcosB+sinA，∴sin(B−A)=sinA，∴B−A=A或B−A+A=π，解得B=2A或B=π(舍去)，又∵△ABC为锐角三角形，则C=π−A−B=π−3A，∴00，得f(2x)+2x−1+f(x−3)+x−3−1>0，即g(2x)+g(x−3)>0，即g(2x)>−g(x−3)=g(3−x)，则2x>3−x−4≤2x≤4−4≤x−3≤4，解得13.841，所以有95%的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关． 【解析】(1)根据男、女球迷各200名，把表格填完整；(2)直接代入K2公式计算即可．本题考查独立性检验，属于基础题．12.【答案】解：(1)因为4Sn=an2+2an①，所以4Sn+1=an+12+2an+1②，由②−①得，4an+1=an+12−an2+2an+1−2an，即(an+1+an)(an+1−an−2)=0，因为an+1+an>0，所以an+1−an=2．又由4S1=a12+2a1解得a1=2，故数列{an}为等差数列，公差d=2．故an=2+(n−1)×2=2n；(2)证明：因为an=2n，所以bn=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)所以Tn=14(1−12+12−13+⋅⋅⋅+1n−1n+1)=14(1−1n+1 )<14． 【解析】(1)由4Sn=an2+2an⇒4Sn+1=an+12+2an+1，两式相减得(an+1+an)(an+1−an−2)=0，再由an>0得an+1−an=2，然后求出a1，说明数列{an}为等差数列，进而求得通项公式；(2)由an=2n先求出bn，然后利用裂项求和求出Tn即可证明．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．13.【答案】解：(1)证明：连接BD，∵AB=AD，AB⊥AD，∴BD=2AB，又PD=2AB，∴PD=BD，∵E为棱PB中点，∴DE⊥PB，又PC⊥DE，PC∩PB=P，PC，PB⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，∴DE⊥BC；在直角梯形ABCD中，取CD中点M，连接BM，∵CD=2AB，∴DM=AB，又DM//AB，AB=AD，AB⊥AD，∴四边形ABMD为正方形，∴BM=AD，BM⊥CD，∴BC=2BM=2AD=2AB，又BD=2AB，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，∵BD∩DE=D，BD，DE⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴BC⊥PD；∵PD=BD=2AB，PB=2AB，∴PD2+BD2=PB2，∴PD⊥BD，又BC∩BD=B，BC，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD．(2)∵AD=AB=2，CD=2AB=4，AB⊥AD，∴S△CDF=12×4×2=4，由(1)知：PD⊥平面ABCD，PD=22，则点E到平面ABCD的距离d1=12PD=2，∴VE−CDF=13S△CDF⋅d1=13×4×2=423；∵AD=2，PD=22，∴PA=AD2+PD2=23，∵E，F分别为棱PB，AB中点，∴EF=12PA=3，∵AB⊥AD，AB=AD=2，∴DF=5，BD=22，∵PD=BD=22，∴PB=4，∴DE=12PB=2，由余弦定理得：cos∠DEF=4+3−52×2×3=36，则sin∠DEF=336，∴S△DEF=12×2×3×336=112，设点C到平面DEF的距离为d2，∴VC−DEF=VE−CDF=13S△DEF⋅d2=116d2=423，解得：d2=82211，即点C到平面DEF的距离为82211． 【解析】(1)由线面垂直判定可证得DE⊥平面PBC，进而得到DE⊥BC；利用勾股定理和线面垂直的判定得到BC⊥平面PBD，从而得到BC⊥PD；利用勾股定理可证得PD⊥BD，由此可得结论；(2)设点C到平面DEF的距离为d2，利用等体积转换的方式，由VC−DEF=VE−CDF，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果．本题考查线面垂直的判定以及点到平面的距离求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．14.【答案】解：(1)由ca=22，a2=b2+c2，可得a=2c，b=c，∴椭圆E的方程化为：x2+2y2=2c2．直线l的方程为y=x+c，联立y=x+cx2+2y2=2c2，化为3x2+4cx=0，解得x=0，y=c；x=−4c3，y=−13c.∴|AB|=(0+43c)2+(c+13c)2=83，解得c=b=2，a=2．∴椭圆E的标准方程为x24+y22=1．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为my=x+c，m=1k．∵|AF2||AF1|=5，|BF2||BF1|=12，k<0，|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，解得|AF1|=13a，|BF1|=43a，∴y1y2=−14．联立 my=x+cx2+2y2=2c2，化为(m2+2)y2−2mcy−c2=0，Δ>0，y1+y2=2mcm2+2，y1y2=−c2m2+2，又y1y2=−14，解得m2=187，m<0，∴m=−327，∴k=−146． 【解析】(1)由ca=22，a2=b2+c2，可得a=2c，b=c，椭圆E的方程化为：x2+2y2=2c2.直线l的方程为y=x+c，联立化为3x2+4cx=0，解得点A，B坐标，利用两点之间的距离公式即可得出a，b，c，可得椭圆E的标准方程．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为my=x+c，m=1k.根据|AF2||AF1|=5，|BF2||BF1|=12，k<0，及其椭圆的定义可得|AF1|，|BF1|，y1y2=−14.直线l的方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2−2mcy−c2=0，利用根与系数的关系即可得出m，k．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相似三角形的性质、一元二次方程的根与系数的关系、转化方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=ex−2x+e2−7，所以f′(x)=ex−2，所以f(2)=2e2−11，f′(2)=e2−2，所以所求切线方程为y−(2e2−11)=(e2−2)(x−2)，即y=(e2−2)x−7．(2)对任意的x≥0，f(x)≥74x2恒成立，等价于对任意的x≥0，ex−ax+e2−7≥74x2恒成立．①当x=0时，e2−6≥0显然成立．②当x>0时，不等式ex−ax+e2−7≥74x2等价于4a≤4ex−7x2+4e2−28x．设g(x)=4ex−7x2+4e2−28x，所以g′(x)=4(x−1)ex−7x2−4e2+28x2．设h(x)=4(x−1)ex−7x2−4e2+28，则h′(x)=4xex−14x=2x(2ex−7)．当x∈(0,ln72)时，h′(x)<0，当x∈(ln72,+∞)时，h′(x)>0，所以h(x)在(0,ln72)上单调递减，在(ln72,+∞)上单调递增．因为h(0)=4(6−e2)<0，所以h(ln72)<0，又因为在h(x)=4(x−1)ex−7x2−4e2+28=0中，h(2)=0，所以当x∈(0,2)时，g′(x)<0，当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(2)=4e2−28，所以a≤e2−7，即a的取值范围为(−∞,e2−7]． 【解析】(1)根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；(2)分x=0，x>0，两种情况解决，当x>0时，参数分离得4a≤4ex−7x2+4e2−28x，设g(x)=4ex−7x2+4e2−28x，得g′(x)=4(x−1)ex−7x2−4e2+28x2，设h(x)=4(x−1)ex−7x2−4e2+28，求导讨论单调性，得g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，即可解决．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)x=2+3cosαy=3sinα⇒x−2=3cosα,①y=3sinα,②，①2+②2得(x−2)2+y2=9，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：2x−y−1=0；(2)由(1)可知点P(0,−1)过直线l，故直线l的参数方程可写为x=55ty=−1+255t(t为参数)，代入曲线C的普通方程得t2−855t−4=0，由韦达定理可知：t1+t2=855，t1⋅t2=−4<0，所以1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1|⋅|t2|=|t1−t2||t1⋅t2|=(t1+t2)2−4t1⋅t24=355． 【解析】(1)曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；(2)由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
浙公网安备 33021202002483